初中数学教师解题比赛训练讲义

1、中学数学综合讲义（1） 姓名一、挑选题k1如图，反比例函数y x的图象经过点a 1, 2就当 x1 时，函数值y 的取值范畴是a y 1b 0 y 1cy 2d 0 y 22如图， 是由 8 个相同的小立方块搭成的几何体的左视图，它的三个视图是2× 2 的正方形如拿掉如干个小立方块后（几何体不倒掉 ），其三个视图仍都为 2× 2 的正方形，就最多能拿掉小立方块的个数为a 1b 2c 3d 43 甲、乙两人沿相同的路线由a 地到 b 地匀速前进，a、b 两地间的距离为从正面看第 2 题20 千米他们前进的路程为s单位：千米 ，甲动身后的时间为t 单位：小时 ，甲、乙前进的路程

2、与时间的函数图象如下列图依据图象信息，以下说法正确选项a 甲的速度是4 千米 /小时 b乙的速度是10 千米 / 小时 c乙比甲晚动身1 小时d甲比乙晚到b 地 3 小时4如图，在平面直角坐标系中，p 的圆心是（ 2，a） a 2，半径y为 2，函数 y=x 的图象被 p 的弦 ab 的长为 23 ，就 a 的值是pa 22b 22c 23d 23二、填空题a5在四边形abcd 中， abdc ， ad bc，请再添加一个条件，使by=xbx四边形 abcd 是矩形，你添加的条件是（写出一种即可）6如图，在rt abc 中， abc90°， acb 30°，将 abc 绕

3、a第 4 题按逆时针方向旋转15°后得到 a1b1c1 ，b1c1 交 ac 于点 d，假如 ad 22，就 abc的周长等于cab第 6 题第 7 题7 abc 的顶点都在方格纸的格点上，就sina _8一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，就这个等腰梯形的对角长为_9如图，海边有两座灯塔 a、b，暗礁分布在经过 a、 b 两点的弓形（弓形的弧是 o 的一部分）区域内， aob=80°，为了防止触礁，轮船 p 与 a、b 的张角 apb 的最大值为 °padoa b第 9 题fb ce第 10 题第 12 题10 如图， e、f 分别是正方形abcd 的边

4、bc、 cd 上的点， be=cf ，连接 ae、bf，将abe 绕正方形的中心按逆时针方向转到bcf ，旋转角为a（ 0° a 180°），就 a= 11 甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报 6, 按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50 时，报数终止；如报出的数为3 的倍数，就报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为 12已知：如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，并与直线3y 3 x相切；设半圆 c1、半圆 c2、半圆 c

5、3 的半径分别是r 1、r2、r3 ，就当 r1 1 时，r3 三、解答题13一枚棋子放在边长为1 个单位长度的正六边形abcdef的顶点 a 处，通过摸球来确定 该棋子的走法，其规章是：在一只不透亮的袋子中，装有3 个标号分别为1、2、3 的相同小球，搅匀后从中任意摸出1 个，登记标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是几棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率（用列表或画树状图的方法求解）顺时针abfced第 13 题图 14如图，有牌面数学都是2，3，4 的两组牌从每组牌中各随机摸出一张，请用画树状图或列表的方法，求

6、摸出的两张牌的牌面数字之和为6 的概率(1) 从口袋内任取一张卡片，卡片上数字是偶数的概率是；(2) 从口袋内任取一张卡片登记数字后放回搅匀后再从中任取一张，求两张卡片上数字和为 5 的概率15 光明中学非常重视中同学的用眼卫生，并定期进行视力检测某次检测设a 、b 两处检测点，甲、乙、丙三名同学各自随机挑选其中的一处检测视力（1）求甲、乙、丙三名同学在同一处检测视力的概率；（2）求甲、乙、丙三名同学中至少有两人在b 处检测视力的概率16如图，自来水厂a 和村庄 b 在小河 l 的两侧，现要在a， b 间铺设一知输水管道为了 搞好工程预算，需测算出a，b 间的距离一小船在点p 处测得 a 在正

7、北方向， b 位于南偏东 24. 5°方向，前行1200m，到达点q 处，测得a 位于北偏东49°方向， b 位于南偏西 41°方向北（1）线段 bq 与 pq 是否相等？请说明理由；西东（2）求 a， b 间的距离（参考数据cos41° 0. 75）a南49 °pq41 °24 . 5°b17 如图， am 为 o 的切线， a 为切点， bd am 于点 d ，bd 交 o 于点 c，oc 平分aob，求 b 的度数18 已知：如图1， o 为正方形abcd 的中心，分别延长oa 到点 f ，od 到点 e，使 of 2

8、oa， oe 2od，连接 ef将 foe 绕点 o 逆时针旋转角得到 f o e （如图 2）（1）探究 ae 与 bf 的数量关系，并赐予证明；（2）当 30°时，求证： ao e 为直角三角形19（ 7 分）已知函数y=mx2 6x1（ m 是常数）求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；如该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值20如图，已知二次函数y x2 bx3 的图象与x 轴的一个交点为a 4,0，与 y 轴交于点 b（1）求此二次函数关系式和点b 的坐标；（2）在 x 轴的正半轴上是否存在点p，使得 pab 是以 ab 为底边的等腰三角形？如存

9、在，求出点 p 的坐标；如不存在，请说明理由21如图，抛物线y12x2 x a 与 x 轴交于点a， b，与 y 轴交于点c，其顶点在直线y 2x 上y（1）求 a 的值；（2）求 a， b 的坐标；（3）以 ac， cb 为一组邻边作 acbd ，就点 d 关于 x 轴的对称点d是 否在该抛物线上？请说明理由aobxc22已知 aob 60°，半径为3cm 的 p 沿边 oa 从右向左平行移动，与边oa 相切的切点记为点 cb（1） p 移动到与边ob 相切时（如图） ，切点为 d ，求劣弧的长；（2） p 移动到与边ob 相交于点e，f ，如 ef 42cm，求 oc 的长；dp

10、oca第 22 题23 如图，在 rt abc 中， acb =90°， ac=6 ， bc=8 ，p 为 bc 的中点动点q 从点 p 动身，沿射线pc 方向以 2 /s 的速度运动，以p 为圆心， pq 长为半径作圆设点 q 运动的时间为t s当 t=1.2 时，判定直线ab 与 p 的位置关系，并说明理由；已知 o 为 abc 的外接圆，如p 与 o 相切，求 t 的值aoc qpb第 23 题24 如图， p 为 abc 内一点，连接pa、pb 、pc，在 pab、 pbc 和 pac 中，假如存在一个三角形与abc 相像，那么就称p 为 abc 的自相像点如图，已知rt a

11、bc 中， acb=90°， acb a，cd 是 ab 上的中线，过点 b 作 be cd ，垂足为 e，试说明e 是 abc 的自相像点在 abc 中， a b c如图，利用尺规作出abc 的自相像点p（写出作法并保留作图痕迹）；如 abc 的内心 p 是该三角形的自相像点，求该三角形三个内角的度数aaadpebcbcbc第 24 题25小华观看钟面（题27 1 图），明白到钟面上的分针每小时旋转360 度，时针每小时旋转 30 度他为了进一步探究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午 2: 00 开头对钟面进行了一个小时的观看为了探究便利，他将分针与分针起始位置op（题 27 2

12、图）的夹角记为y1 度，时针与op 的夹角记为y2 度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t 分钟观看终止后，他利用获得的数据绘制成图象（题27 3 图），并求出了y1 与 t 的函数关系：y16t（0 t 30） 6t 360（ 30 t 60）请你完成：（1）求出题27 3 图中 y2 与 t 的函数关系式；（2）直接写出a、b 两点的坐标，并说明这两点的实际意义；（3）如小华连续观看一个小时，请你在题273 图中补全图象26如图，在 rt abc 中， c 90°， ac 8， bc 6，点 p 在 ab 上， ap 2当 e、f同时从点 p 动身，分别沿 pa、pb 以每

13、秒 1 个单位长度的速度向点 a、 b 匀速运动，当点 e 到达点 a 后马上以原速度沿 ab 向点 b 运动，点 f 运动到点 b 时停止， 点 e 也随之停止 在点 e、 f 运动过程中，以 ef 为边作正方形 efgh ，使它与 abc 在线段 ab 的同侧设 e、f 运动的时间为t 秒（ t 0），正方形efgh 与 abc 的重叠部分面积为s（1）当 t 1 时，正方形efgh 的边长是；当 t 3 时，正方形efgh 的边长是；（2）当 0 t 2 时，求 s 与 t 的函数关系；（3）直接答出：在整个运动过程中 ，当 t 为何值时，s 最大？最大面积是多少？27某课题争论小组就图

14、形面积问题进行专题争论，他们发觉如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；,现请你连续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论（ s 表示面积）问题 1：如图 1，现有一块三角形纸板abc，p1，p2 三等分边ab，r1，r2 三等分边ac经探究知s四边形 p p r r 1，请证明sabc3p1p2ba1 2 1 2r1r2图 1c问题 2：如有另一块三角形纸板，可将其与问题1 中的拼合成四边形abcd ，如图2，q1， q2 三等分边dc 请探究s四边形 p q q p与 s 四

15、边形 abcd 之间的数量关系1 1 2 2ap1p2b r1r2dq1q2c图 2问题 3：如图 3， p1， p2， p3， p4 五等分边ab， q1， q2 ，q3， q4 五等分边 dc 如 s 四边形 abcd 1，求s四边形 p q q p 2 2 3 3p1p2p3p4badq1q2q3q4c图 3问题 4：如图 4，p1， p2，p3 四等分边ab，q1， q2，q3 四等分边dc ，p1q1，p2q2，p3q3将四边形abcd 分成四个部分， 面积分别为s1，s2，s3，s4请直接写出含有s1，s2， s3， s4 的一个等式p1p2p3bas1s2s3s4dq1q2q3c

16、图 428 问题情境已知矩形的面积为a（a 为常数， a 0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设该矩形的长为x，周长为y，就 y 与 x 的函数关系式为y探究争论2 xa x0 x我们可以借鉴以前争论函数的体会，先探究函数填写下表，画出函数的图象：yx1 x0 的图象性质 xy5x,114311234,24y,321 1o12345x观看图象，写出该函数两条不同类型的性质；1（第 28 题）在求二次函数y=ax2 bxc（ a 0）的最大（小）值时，除了通过观看图象，仍1可以通过配方得到请你通过配方求函数解决问题yxx 0的最小值x用上述方法解决“问题情境”中的问题

17、，直接写出答案29 已知 a 1,0、b 0,1、c 1,2、d 2, 1、e 4,2 五个点，抛物线y ax1 2 k a 0经过其中三个点（1）求证： c、e 两点不行能同时在抛物线y ax 12 k a 0上；（2）点 a 在抛物线 y ax 12 k a 0上吗？为什么？（3）求 a 与 k 的值m30 如图，直线l 经过点 a 1,0，且与曲线y xx 0交于点 b 2,1过点 pp,p 1 p1作 x 轴的平行线分别交曲线ymxx 0和 ymxx 0于 m 、n 两点（1）求 m 的值及直线l 的解析式；（2）如点 p 在直线 y 2 上，求证： pmb pna ；（3）是否存在实

18、数p，使得 s amn 4s apm ？如存在，恳求出全部满意条件的p 的值；如不存在，请说明理由1.d 2.b3. a4.b5.对角线相等6.3+7.558. 229. 4010. 90°11. 412. 913解：列表如下：123123423453456和为 2 的有 1 次，和为 3 的有 2 次，和为 4 的有 3 次，和为 5 的有 2 次，和为6 的有 1次，所以走到 e 点的可能性最大？p（走到 e 点） 1/314.画树状图：共有 9 种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和为6 的占三种，摸出的两张牌的牌面数字之和为6 的概率 =15： 1 列出甲、乙、丙三名同学各

19、自随机挑选其中的一处检测视力的全部情形： 三人都不选a 处，就三人都选b 处，计 1 种情形；三人中一人选a 处，另二人选b 处，计 3 种情形；甲选a 处，乙、丙选b 处；乙选 a 处，甲、丙选 b 处；丙选a 处，甲、乙选b 处；三人中二人选a 处，另一人选b 处，计 3 种情形；甲、乙选a 处，丙选b 处；甲、丙选a处，乙选 b 处；乙、丙选a 处，甲选b 处；三人都选 a 处，就三人都不选b 处，计 1 种情形；全部可能情形计8 种情形，甲、 乙、丙三名同学在同一处检测视力的情形计2 种情形：都选a 处或都选b 处；因此甲、乙、丙三名同学在同一处检测视力的概率为21；842 甲、乙、丙

20、三名同学中至少有两人在b 处检测视力的情形计4 种情形：三人中有二人选41b 处和三人都选b 处；因此甲、乙、丙三名同学中至少有两人在b 处检测视力的概率为；8216解：（ 1）相等由图易知， qpb 65. 5°， pqb 49°， aqp 41°， pbq 180° 65. 5° 49° 65. 5° pbq bpq bq pq（ 2）由（ 1）得， bq pq 1200 m在 rtapq 中， aq pqcos aqp1200 0. 75 1600（ m）又 aqb aqp pqb 90°， rtaqb 中，

21、 abaq2 bq2 16002 12002 2000（ m）答： a， b 间的距离是2000 m17： oc 平分 aob， aoc cob ， am 切 o 于点 a，即 oa am ，又 bd am ， oa bd ， aoc ocb又 oc ob， ocb b， b ocb cob 600；18： 1 ae1 bf1，证明如下：o 为正方形abcd 的中心， oaob od ，oe of e1of 1 是 eof 绕点 o 逆时针旋转角得到， oe1 of1； aob eof 900， e1oa 900 f1oa f 1ob oe1 of1在 e1oa 和 f1ob 中，e1oa f

22、1 ob， e1oa f 1ob （ sas）oaob ae1 bf 1 ；2取 oe1 中点 g，连接 ag； aod 900， 30°， e1oa 900 60°； oe1 2oa ， oa og ， e1oa ago oag 60°； ag ge1， gae 1 ge1a30°；e1ao 90°； aoe1 为直角三角形；19：当 x=0 时， y1所以不论 m 为何值，函数ymx26x1的图象经过y 轴上的一个定点（0， 1）当 m0 时，函数y6x1 的图象与x 轴只有一个交点； 当 m0 时 ， 如 函 数ymx26x1 的 图 象

23、 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 ， 就 方 程2mx6x10 有两个相等的实数根，所以64m0 ， m9 综上，如函数ymx26x1的图象与 x 轴只有一个交点，就m 的值为 0 或 9220.（ 1）把点 a （4， 0）代入二次函数有：0= 16+4b+3得： b=+x+3 所以二次函数的关系式为：y= x 2当 x=0 时， y=3点 b 的坐标为（ 0， 3）（2）如图：作 ab 的垂直平分线交x 轴于点 p，连接 bp，就： bp=ap设 bp=ap=x ，就 op=4 x，在直角 obp 中， bp2=ob22+op即： x2=322+（4 x）解得： x=op=4=所以点

24、p 的坐标为：（， 0）21解：（ 1）抛物线的顶点坐标为1,a 1 2顶点在直线y 2x 上， a 123 2即 a2（2）由（ 1）知，抛物线表达式为y 122 x 3x，2令 y0，得 122x 3x2 0解之得： x1 1， x3 3 a 的坐标 1,0， b 的坐标3,0；y（3）解法一：四边形abcd 是平行四边形，d点 c， d 关于对角线交点1,0对称bx又点 d 是 点 d 关于 x 轴的对称点，aoec点 c， d关 于抛物线的对称轴对称 d在 抛物线上d解法二：如图，过点d 作 de ab 于 e， a 的坐标 1,0 ， b 的坐标3,0 ， c 的坐标0, 32 ao

25、1， bo 3oc 32在acbd 中， ac db， ac db， cab dba在 aoc 和 bde 中ac db cab dba aoc deb 90° aoc bde aobe 1oc de 32 oe2 d 的坐标2, 32 d的 坐标2, 32把 x2 代入函数关系式得1y 2× 22 2 31223× 42 23 2 d在 抛物线上22解：（ 1）连接 pc， pd（如图） oa，ob 与 p 分别相切于点c， d pdo pco 90°，又 pdo pco cpd aob 360 °b aob 60°d cpd 12

26、0°p120× × 3l 180 2 oca（ 2）可分两种情形 如答图 2，连接 pe ，pc，过点 p 作 pm ef 于点 m ，延长 cp 交 ob 于点 n ef 42， em 22cmb在 rt epm 中， pm 32 222 1 aob60°， pnm 30° pn 2pm 2 nc pnpc5在 rt ocn 中， oc nc· tan30 ° 5×33533cm fnmepoca 如答图 3，连接 pf ，pc，pc 交 ef 于点 n，过点 p 作 pm ef 于点 m 由上一种情形可知， p

27、n 2， ncpc pn1在 rt ocn 中， oc nc· tan30 ° 1×33533 cm 33综上所述， oc 的长为23:直线 ab 与 p 相切3cm 或3cm如图，过点p 作 pdab , 垂足为 d在 rt a bc 中， acb 90°， ac=6cm， bc=8cm ，22 abacbc10cm p 为 bc 的中点， pb=4cm pdb acb 90°， pbd abc pbd abcpdpbpd,即4， pd =2.4cmacab610当 t1.2 时， pq2t2.4 cm pdpq ，即圆心p 到直线 ab 的

28、距离等于 p 的半径直线 ab 与p 相切 acb90°， ab 为 abc 的外切圆的直径1 obab 25cm 1连接 op p 为 bc 的中点，opac 23cm点 p 在o 内部， p 与o 只能内切 52t3 或 2t53 ， t =1 或 4 p 与o 相切时， t 的值为 1 或 424: 在 rt abc 中， acb 90°， cd 是 ab 上的中线，cd1 ab ， cd =bd 2 bce abc be cd ， bec 90°， bec acb bce abc e 是 abc 的自相像点作图略作法如下：（ i）在 abc 内，作 cbd

29、 a；（ ii ）在 acb 内，作 bce abc； bd 交 ce 于点 p就 p 为 abc 的自相像点连接 pb 、pc p 为 abc 的内心，1pbcabc ，21pcbacb 2 p 为 abc 的自相像点，bcp abc pbc a， bcp abc= 2pbc = 2a， acb 2bcp= 4 a a+ abc+ acb 180° a+2a+ 4a 180°180a该三角形三个内角的度数分别为71807360、7720、725.（ 1） y2=0.5t ；（2） a （ 12， 6）， b （55，）；a 表示时针与分针第一次重合的情形，b 表示是时针与

30、分针与起始位置op 的夹角的和是360度（3）26.（ 1）当时 t=1 时，就 pe=1， pf=1 ，正方形 efgh 的边长是 2； 当 t=3 时， pe=1， pf=3，正方形 efgh 的边长是 4；（2）：当 0 t 时， s 与 t 的函数关系式是y=2t ×2t=4t 2；当 t 时， s 与 t 的函数关系式是：y=4t+11t 3；22t（ 2t） ×2t （ 2t ） ，=t 2当 t 2时； s 与 t 的函数关系式是：y=（ t+2）× （ t+2）（ 2 t ）（ 2 t） =3t ；（3）当 t=5 时，最大面积是：s=16

31、5; × =；sap1r1ap1·ar1127解：问题1：方法 1：由结论（ 2），可知sap2 r2ap2·ar24s ap rs同理可得1 1sabc19 ，ap2 r2s abc4 9 ，1 2 1 2 s四边形 p p r r4 19s abc 13s abc方法 2： p1， p2 三等分边ab， r1 ，r2 三等分边ac，p1r1 p2r2bc ap1 r1 ap2r2 abc，且面积比为1: 4: 9 s四边形 p p r r4 19s abc13 s abcpp21 2 1 2a1b问题 2：连接 q1r1 ，q2r2，如图，由问题1 的结论，可

32、知r1 s四边形 p p r r1，3 s abcs四边形 q r r q1r23 s acd1 2 1 21 1 2 21dq1q2c图 21212 s四边形 p p r r s四边形 q r r q 3 s 四边形 abcd1122由 p1， p2 三等分边ab， r1， r2 三等分边ac，q1，q2 三等分边dc ，可得 p1r1: p2 r2 q2r2: q1r1 1: 2，且 p1r1 p2r2， q2r2 q1r1 p1r1a p2r2a， q1r1a q2r2a p1r1 q1 p2r2 q2由结论（ 2），可知s pr q s p r q 1 1 12 2 2 s四边形s四边

33、形 s四边形1s 四边形p1q1q2 p2p1r1 r2 p2q1r1 r2q23abcd问题 3：设s四边形 p q q p a ，s四边形 p q q p b ，设s四边形 p q q p c，1 1 2 23 3 4 42 2 3 3由问题 2 的结论，可知a 1s四边形， b 1s四边形3adq3p3311p2q2cba b 3 s 四边形 abcd c 3 1 c11又 c3 a b c，即 c3 1 1 c c 31整理得 c 512 2 3 3，即 s四边形 p q q p 5问题 4： s1s4s2 s3x,1111234,432y43223428:

34、函数 yx1 x x0 的图象如图此题答案不唯独，以下解法供参考当 0x1 时，y 随 x 增大而减小；当x1 时 , y 随 x 增大而增大；当x1 时函数yx1 x x0 的最小值为2 yx1 = x 21 2 = x21 22x12x1xxxxx= x1 22x当x1 x=0，即 x1 时，函数yx1 x0 的最小值为2x仿y2 xa = 2 x2a 2= 2x 2a 22xa2xaxxxxx= 2xa 24a x当xa x=0，即 xa 时，函数y2 xa x0 的最小值为4a x当该矩形的长为a 时，它的周长最小，最小值为4a 29： 1 证明：用反证法；假设c 1， 2和 e4，2都在抛物线y ax 12 ka 1 12 k