初中数学实际问题与二次函数详解与练习

1、中学数学：实际问题与二次函数_详解与练习 含答案中学数学专项训练：实际问题与二次函数一、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例 1、 如图 1，用长为 18 米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃；(1) 设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y 关于 x 的函数关系式；(2) 当 x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽；解：（ 1）设矩形的长为x（米），就宽为（18- x）（米），依据题意，得： yx18xx218x；又x 0,0x18 18x 0（ 2）yx18xx218

2、x 中， a= -1 0，y有最大值， b184acb201829 时， ymax即当 x81 2a214a41故当 x=9 米时，苗圃的面积最大，最大面积为81 平方米；点评：在回扣问题实际时，肯定留意不要遗漏了单位；2、 只围三边的矩形的面积最值例 2、 如图 2，用长为 50 米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙；问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能精确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），就宽为（依据题意，得： yx50x）（米），250x1x225x； 22x 0又50x,0 x 50 02yx50x11x225x

3、 中， a=0，y有最大值，222b 即当 x2a2512225 时，ymax4acb2025262514a242625 平方米； 2故当 x=25 米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为点评：假如设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成；3、 围成正方形的面积最值例 3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形2 1要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段 后的长度分别是多少.2 2两个正方形的面积之和可能等于12cm吗. 如能，求出两段铁丝的长度；如不能，请说明理由（ 1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，就另一段为（

4、 20-x ） cm 20x217 解得： x116,x24 4当 x116 时， 20-x=4 ；当 x24 时， 20-x=16由题意得：2x4答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16 厘米、 4 厘米；（ 2）不能；理由是：设第一个正方形的边长为xcm，就其次个正方形 的边长为围成两个正方形的面积为ycm，依据题意，得： yx25x22x210x25，yx25x22x210x25 中， a= 2 0，y有最小值， 2204x5xcm， 4b1054acb2422510225时， ymin即当x=12.5 12,2a2224a422故两个正方形面积的和不行能是12cm.练习 1、如图，正方形

5、efgh的顶点在边长为a 的正方形 abcd的边上，如 ae=x，正方形 efgh的面积为 y.(1) 求出 y 与 x 之间的函数关系式；(2) 正方形 efgh有没有最大面积？如有，试确定e 点位置；如没有，说明理由 .2二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题例题 1如图（ 1）是一个横断面为抛物线外形的拱桥，当 水面在 l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽 4m如图（ 2）建立平面直角坐标系，就抛物线的关系式是 .图（ 1） 图【解析】试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，可设此函数解2 析式为： y=ax，利用待定系数法求解.试题解析：设此函数解

6、析式为：y=ax，a1就-2=4a即得 a=-2y=-12x. 20； 那么（ 2， -2 ）应在此函数解析式上 112 ， 那么 y=-x 22考点：依据实际问题列二次函数关系式.练习 1某地要建造一个圆形喷水池，在水池中心垂直于水面安装一个花形柱子oa，o恰在水面中心，安置在柱子顶端 a 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿外形相同的抛物线路径落下，且在过 oa的任一平面上，抛物线外形如图（ 1）所示 . 图（ 2）建立直角坐标系，水流喷出的高度 y（米）与2 水平距离 x（米）之间的关系是yx2x5. 请回答以下问题：4(1) 柱子 oa的高度是多少米？(2) 喷出的水流距水平面的最大高

7、度是多少米？(3) 如不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？2一座桥如图，桥下水面宽度ab是 20 米，高 cd是 4 米. 要使高为 3米的船通过，就其宽度须不超过多少米 .（ 1）如图 1，如把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.求抛物线的解析式；要使高为3 米的船通过，就其宽度须不超过多少米.（ 2）如图 2，如把桥看做是圆的一部分.求圆的半径；要使高为3 米的船通过，就其宽度须不超过多少米.三、利用抛物线解决最大利润问题例题 1某市政府大力扶持高校生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20 元的护眼台灯销售过程中发觉，每月销售量y 件 与销售单

8、价 x 元 之间的关系可近似的看做一次函数：y 10x 500.（ 1）设李明每月获得利润为w 元 ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6 分）（ 2）假如李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（ 3 分）（ 3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32 元，假如李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ 成本进价×销售量（ 3 分）答案：（ 1） 35；（ 2）30 或 40；（ 3）3600.【解析】试题分析：（ 1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，依据利润=（定价 - 进价）

9、×销售量，从而列出关系式；（ 2）令 w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）依据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可试题解析：（ 1）由题意得出：wx20yx2010x50010x2700x10000，a10<0，b35， 2a当销售单价定为35 元时，每月可获得最大利润（ 2）由题意，得：10x2700x100002000， 解这个方程得： x1=30，x2=40李明想要每月获得2000 元的利润，销售单价应定为30 元或 40 元（ 3）a10<0，抛物线开口向下 .当 30x40 时， w2000.x32，当30x32 时， w2000

10、.设成本为 p（元），由题意，得：p2010x500200x10000，k=200 0，p随 x 的增大而减小当 x=32 时， p 最小 =3600答：想要每月获得的利润不低于2000 元，每月的成本最少为3600 元考点：二次函数的应用练习 1某玩具批发商销售每只进价为40 元的玩具，市场调查发觉， 如以每只 50 元的价格销售，平均每天销售90 只，单价每提高1 元，平均每天就少销售3 只（ 1）平均每天的销售量y 只 与销售价 x 元只 之间的函数关系式为 ；（ 2）求该批发商平均每天的销售利润w元 与销售只 x 元只 之间的函数关系式；（ 3）物价部门规定每只售价不得高于55 元，当

11、每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元2为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农夫收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20 元，市场调查发觉，该产品每天的销售量y 千克 与销售价 x 元/ 千克 有如下关系： y2x80.设这种产品每天的销售利润为 w元.（ 1）求 w 与 x 之间的函数关系式；（ 2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？3某公司营销a,b 两种产品，依据市场调研，发觉如下信息：信息 1：销售 a 种产品所获利润y 万元 与所售产品 x 吨 之间存在二次函数关

12、系yax2bx. 当 x1 时， y1.4；当 x3 时， y3.6 信息 2：销售 b 种产品所获利润 y 万元 与所售产品 x 吨 之间存在正比例函数关系 y 0.3x 依据以上信息，解答以下问题： 1 求二次函数解析式；2 该公司预备购进a,b 两种产品共10 吨，请设计一个营销方案，使销售 a,b 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？4为勉励高校毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府和谐，本市企业按成本价供应产品给高校毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明依据相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件10 元，出厂价为每件12

13、元，每月销售量 y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满意一次函数：y10x5001 李明在开头创业的第一个月将销售单价定为20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（ 2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（ 3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25 元假如李明想要每月获得的利润不低于3000 元，那么政府为他承担的总差价最少为多 少元？5某文具店销售一种进价为10 元/ 个的签字笔，物价部门规定这种签 字笔的售价不得高于14 元/ 个，依据以往体会：以12 元/ 个的价格销售，平均每周销售签字笔100 个；如每个签字笔的销售价格每提

14、高1 元，就平均每周少销售签字笔10 个.设销售价为x 元/ 个.（ 1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含 x 的式子表示）；（ 2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/ 个）之间的函数关系式；（ 3）当 x 取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？ 最大利润是多少元？6一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100 辆公司在经营中发觉每辆车的月租金x 元 与每月租出的车辆数y（ 1）观看表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关学问求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.（2）已知租出的车每辆每月需要保护费150

15、元，未租出的车每辆每月需要保护费 50 元用含 x（x3000）的代数式填表:（ 3）如你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？恳求出公司的最大月收益是多少元四、利用二次函数解决动点问题例 1 如图 8，如图 9，在平行四边形abcd中， ad=4 cm， a=60°，bdad. 一动点p 从 a 动身，以每秒1 cm 的速度沿 abc的路线匀速运动，过点p 作直线 pm，使 pmad .(1) 当点 p 运动 2 秒时，设直线pm与 ad相交于点 e，求 ape的面积；(2) 当点 p 运动 2 秒时，另一动点q也从 a 动身沿 abc的路线运动

16、，且在ab上以每秒 1 cm 的速度匀速运动，在bc上以每秒 2 cm 的速度匀速运动 .过 q作直线 qn，使 qnpm. 设点 q运动的时间为t秒0 t210 ，直线 pm与 qn截平行四边形abcd所得图形的面积为s cm . 求 s 关于 t 的函数关系式；求 s 的最大值 .解： 1当点 p 运动 2 秒时， ap=2 cm，由 a=60°，知 ae=1， pe. s ape=. 22 当 0t 6时，点 p 与点 q都在 ab上运动，设pm与 ad交于点g， qn与 ad交于点 f，tt，qf=t， ap=t+2，ag=1+， pg=3t. 22223 此时两平行线截平行

17、四边形abcd的面积为 s=. t22当 6t 8时，点 p 在 bc上运动，点q仍在 ab上运动 .设 pm与 dc交于点 g， qn与 ad交于tt，df=4-， qf=t，bp=t-6 ， cp=10-t ，pg=10t ， 222532t3t34.而 bd=4，故此时两平行线截平行四边形abcd的面积为 s=8当 8t 10 时，点 p 和点 q都在 bc上运动 .设 pm与 dc交于点 g， qn与 dc交于点 f，就就 aq=t，af=点 f，就 aq=t， af=cq=20-2t， qf=20-2t， cp=10-t ， pg=10t. 此时两平行线截平行四边形abcd的面积为

18、s=332t3t. 2 0t62 故 s 关于 t的函数关系式为s6t8 28t107当 6t 8时， s 的最大值为6 2当 8t 10 时， s 的最大值为6所以当 t=8时， s 有最大值为63 .当 0t 6时， s 的最大值为中学数学专项训练：实际问题与二次函数参考答案一、 122（ 1） y=2x-2ax+a 2有. 当点 e 是 ab的中点时，面积最大.【解析】此题考查了二次函数的应用.（ 1）先由 aas证明 aef dhe，得出ae=dh=x米， af=de=（ a-x ）米，再依据勾股定理，求出2ef，即可得到 s 与 x 之间的函数关系式；（ 2）先将（ 1）中求得的函数

19、关系式运用配方法写成顶点式，再依据二次函数的性质即可求解解：四边形abcd是边长为 a 米的正方形， a=d=90°， ad= a 米 四边形 efgh为正方形， feh=90°，ef=eh 在 aef 与 dhe中， a=d， aef=dhe=9°0- deh， ef=eh aef dhe（ aas），ae=dh=x米， af=de=（a-x ）米， 2222222y=ef=ae+af=x（+ a-x ） =2x-2ax+ a ，22即 y=2x-2ax+ a；a2a2（ 2） y=2x -2ax+ a=2 （ x- ） +， 2422当 x= a时， s 有最

20、大值2故当点 e 是 ab的中点时，面积最大 二、练习 1（1）955（ 2） （ 3） 442【解析】此题考查了二次函数的应用.（ 1）此题需先依据已知条件把 x=0 代入抛物线的解析式，从而得出 y 的值，即可求出答案 （ 2）通过抛物线的顶点坐标求得 （3）此题需先依据已知条件把 y=0 代入抛物线求出所要求的式子，再得出 x 的值，即可求出答案 解：（ 1）把 x=0 代入抛物线的解析式55，即柱子 oa的高度是 4492=1 时， y=, 即水流距水平面的最大高度（2）由题意得：当x= 42（1）得： y=（ 3）把 y=0 代入抛物线155=0，解得， x1= 舍去，不合题意 ，

21、x2= 2245故水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外22得：x2x2（ 1）y12x4； 10；（ 2） 14.5； 25【解析】试题分析：（ 1）利用待定系数法求函数解析式即可；依据题意得出y=3 时，求出 x 的值即可；222（ 2）构造直角三角形利用bw=bc+c，w求出即可； 222在 rtwgf中，由题可知， wf=14.5， wg=14.51=13.5 ，依据勾股定理知： gf=wf wg，求出即可试题解析：（ 1）设抛物线解析式为：yax2c，桥下水面宽度ab是 20 米，高 cd是 4 米， 1a100ac0a（ 10， 0）， b（ 10， 0）， d（ 0，4

22、），解得：25，抛物线解析式c4c4为： y 12x4； 2512x4，解得： x5， ef=10 米； 25要使高为3 米的船通过，y3，就 3222（ 2）设圆半径r 米，圆心为w， bw=bc+c，wr2r42102，解得： r14.5 ；在 rtwgf中，由题可知， wf=14.5， wg=14.51=13.5 ，依据勾股定理知： gf=wf wg，即 gf=14.513.5=28 ，所以gf=ef=222222考点： 1二次函数的应用；2垂径定理的应用2三、 1 1 ） y=-3x+240 ； 2w=-3x+360x-9600；3 定价为 55 元时，可以获得最大利润是1125 元.

23、【解析】试题分析：（ 1）依据题意知销售量y 只 与销售价x 元只 之间的函数关系式为y=90-3 （ x-50 ）=-3x+240 ；2(2) 依据“总利润 =每件商品的利润×销售量”可知w=（ x-40 ） y=（ x- 40）（ -3x+240 ） =-3x+360x-9600 ；2(3) 求获得最大利润，也就是求函数w=-3x+360x-9600 的最大值 .试题解析： 1 ） y=90-3 （ x-50 ）即 y=-3x+240 ；2（ 2） w=（ x-40 ） y=（ x-40 ）（ -3x+240 ） =-3x+360x-9600 ； 3当x60， y 随 x 的增大

24、而减小， 当 x=55 时， w最大 =1125所以定价为55 元时，可以获得最大利润是1125 元.考点：（ 1）一次函数；（ 2）二次函数2（ 1） w 2x2 120x 1600；（ 2）该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元. 【解析】 试题分析：（ 1） 依据销售额 =销售量×销售价单 x，列出函数关系式；（ 2）用配方法将（ 2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.试题解析：（ 1）由题意得：wx20yx202x802x2120x1600，w与x 的函数关系式为：w2x2120xw16002x22120xx301600.（

25、 2）200， 2 0，当 x=30 时， w有最大值 w最大值为 200.答：该产品销售价定为每千克30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元.考点： 1. 二次函数的应用；2. 由实际问题列函数关系式；3. 二次函数的最值 . 3见解析【解析】试题分析：（ 1）由于当 x=1 时， y=1.4 ；当 x=3 时， y=3.6 ，代入yaxbx得22ab1.4a0.12解得，所以，二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x；9a3b3.6b1.5（ 2）设购进 a 产品 m吨，购进 b 产品（ 10-m）吨，销售 a、b 两种产品获得的利润之和为w元，222依据题意可列函数关系式为

26、：w=-0.1m+1.5m+0.3（10-m） =- 0.1m+1.2m+3=-0.1 （ m-6） +6.6 ，由于 -0.1 0，依据二次函数的性质知当m=6时， w有最大值 6.6 ， 试题解析：（ 1）当 x=1 时， y=1.4 ；当 x=3时， y=3.6 ， ab1.49a3b3.6a0.1，b1.52解得所以，二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x； 3分（ 2）设购进 a 产品 m吨，购进 b 产品（ 10-m）吨，销售 a、b 两种产品获得的利润之和为w元，222就 w=-0.1m+1.5m+0.3（ 10-m） =-0.1m+1.2m+3=-0.1 （ m-6） +6.

27、6 ， -0.1 0，当 m=6时， w有最大值 6.6 ，购进 a 产品 6 吨，购进 b 产品 4 吨，销售 a、b 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6 万元考点： 1. 待定系数法求解析式.2. 二次函数性质 . 4（ 1）政府这个月为他承担的总差价为600 元；（ 2）当销售单价定为30 元时，每月可获得最大利润 4000；（ 3）销售单价定为25 元时，政府每个月为他承担的总差价 最少为 500 元.【解析】试题分析：（ 1）依据每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能 灯的差价，就可得到总差价. （ 2）求每月可获得

28、最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值. （ 3） w3000 同时满意 x25，依据函数图象的性质知道，k<0 随 x 的增大而减小，当x=25时，该函数有最大值时，p 有最小值 500.试题解析：（ 1）当 x=20 时， y1x05001020， 300.1210=300.2600 ，政府这个月为他承担的总差价为600 元；（ 2）依题意得， w=x-1010x+500=10x2+600x-5000=- 10x-30+4000，a=-10<0 ， 2当 x=30 时， w 有最大值 4000.当销售单价定为30 元时，每月可获得最大利润4000 （3）由题意得：10x2+600x-50003000， 解得： x1=20， x2=40.a=-10<0 ，抛物线开口向下，结合图象可知：当20 x40 时， w33000.又 x25，当20x25 时， w3000.设政府每个月为他承担的总差价为p 元，p121010x50020x1000.k=-20<0 ， p随 x 的增大而减小 .当 x=25 时， p 有最小值 500.销售单价定为25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为