初中数学定义、定理、公理、公式证明汇编

1、名师总结精品学问点中学数学定义、定理、公理、公式直线、线段、射线七上 p1281.过两点有且只有一条直线.（简：两点打算一条直线）七上 p1322. 两点之间线段最短七上 p1423. 同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.七下 p44. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直七下 p65. 直线外一点与直线上各点连接的全部线段中，垂线段最短.（简：垂线段最短）平行线的判定七下 p131. 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.七下 p132. 假如两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也相互平行 （简： 平行于同始终线的两直线平行）七下 p143. 同位角相等，两直线平

2、行.七下 p144. 内错角相等，两直线平行.七下 p155. 同旁内角互补，两直线平行.平行线的性质七下 p201. 两直线平行，同位角相等.2. 两直线平行，内错角相等.3. 两直线平行，同旁内角互补.三角形三边的关系七下 p641. 三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边.三角形角的关系七下 p731. 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180° .2. 直角三角形的两个锐角互余.已知： rtabc , c=90°求证： a+ b=90 °证明： c=90°， a+ b+ c=180 ° a+ b=90 °七下

3、 p753. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 .4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 .全等三角形的性质、判定八上 p31. 全等三角形的对应边、对应角相等.八上 p92. 边角边公理sas有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.八上 p113. 角边角公理 asa 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.八上 p124. 推论 aas有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.八上 p75. 边边边公理 sss 有三边对应相等的两个三角形全等 .八上 p146. 斜边、直角边公理 hl有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.角的平分线的性质、判

4、定八上 p20性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 .八上 p21判定： 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上.等腰三角形的性质八上 p501. 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 即等边对等角 .2. 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边名师总结精品学问点并且垂直于底边.已知：abc 中，ab=ac,ad是 bac 的角平分线求证： ad 平分 bc,ad bc.证明： ab=ac,ad是 bac 的角平分线 ad 平分 bc,ad bc. （三线合一） 八上 p503. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合.八上 p544. 推论 3

5、 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° .等腰三角形判定八上 p521 等腰三角形的判定定理假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 八上 p542. 三个角都相等的三角形是等边三角形.八上 p543. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 .线段垂直平分线的性质、判定八上 p331. 定理： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.八上 p332. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3. 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的全部点的集合.轴对称、中心对称、平移、旋转八上 p30

6、1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形八上 p32八上 p322. 假如两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线八上 p333. 两个图形关于某直线对称，假如它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上八上 p324. 如两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.九上 p645. 关于中心对称的两个图形是全等的.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.九上 p646. 如两个图形的对应点连线都经过某一点, 并且被这一点平分， 那么这两个图形关于这一点成中心对称.九上 p57 p627. 平移或旋转前后的图形是不

7、变的. 中心对称是旋转的特别形式；八下 p65222勾股定理直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a +b =c .八下 p73勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a、222b、c 有关系 a +b =c ，那么这个三角形是直角八上 p55直角三角形中，假如一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.八下 p95直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半. n 边形、四边形的内角和、外角和七下 p821. 四边形的内角和等于360° .七下 p832. 四边形的外角和等于360° 七下 p823. 多边形内角和定理n边形的内角的和等于（ n-

8、2 ）180° .七下 p83 . 推论任意多边的外角和等于360° .平行四边形性质八下 p841. 平行四边形的对角相等.八下 p842. 平行四边形的对边相等.3. 夹在两条平行线间的平行线段相等.名师总结精品学问点已知：直线a b,线段 ab cd.求证： ab=cd.证明： a b, ab cd ，四边形abdc是平行四边形设 菱 形 对 角 线 长 为x,y就s菱 形=4×1/2 ×x/2 ×y/2=1/2 ×xy所以菱形的面积等于其对角线乘积的一半 ab=cd八下 p85aca八下 p99菱形判定1. 有一组邻边相等的平

9、行四边形是菱形2. 四边都相等的四边形是菱形bdb3. 对角线相互垂直的平行四边形是菱形.4. 平行四边形的对角线相互平分.平行四边形判定八下 p831. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.八下 p872. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.八下 p873. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.八下 p874. 对角线相互平分的四边形是平行四边形.八下 p885. 一组对边平行相等的四边形是平行四边形八下 p94矩形性质1. 矩形的四个角都是直角.2. 矩形的对角线相等.矩形判定八下 p951. 有一个角是直角的平行四边形是矩形.八下 p962. 有三个角是直角的四边形是矩形.八下

10、p963. 对角线相等的平行四边形是矩形.八下 p98菱形性质1、菱形的四条边都相等.2.菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角.八下 p100正方形性质1. 正方形的四个角都是直角，四条边都相等.2. 正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角.正方形判定八下 p1001. 四个角都是直角， 四条边都相等的四边形是正方形2. 对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形 .证明：对角线相互平分平行四边形；对角线相互垂直的平行四边形菱形；对角线相等的平行四边形矩形形； 菱形 +矩形正方形八下 p107等腰梯形性质1. 等腰梯形在同一底上的两个角相等.2. 等腰梯形

11、的两条对角线相等.等腰梯形判定八下 p1081. 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2. 对角线相等的梯形是等腰梯形.已知：梯形abcd中， ad bc,ac=bd.求证：梯形abcd 是等腰梯形；证明：过d点作deac交bc延长线与 e点， adbc四边形 aced是平行四边形3、菱形面积 =对角线乘积的一半，即 s1 ab2ac=de,acb=debbd=ac证明：菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形 , 且菱形对角线相互平分bd=dedbc=deb dbc=acb ac=bd,bc=cb名师总结精品学问点三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.梯形中位线定理

12、：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l1 a2b ， s=lh已知：梯形abcd中， ad bc, ef 是梯形的中位线，设ad=a,bc=b,ef=l, 梯形高为h；求证： l1ab2s=lh经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 .已知：梯形abcd中， ad bc ef，其中e是 ab 中点；求证： f 是 cd 中点证明：连接af 交 bc延长线与g点ef是中位线df=cfadbcg=dag,d=dcg adfgcfad=cg= a, affg证明：ef是 abg 的中位线1efbg,ef=bg2l1 ab 2ss1连接 ac 交 ef 于点 g adbc ef ae

13、g abc e 是 ab 中点abgs1 lh2梯形 abcd=bgh 2 aeag1 abac2cg1ac2同理可证cfcg1cdac2九下 p36 f 是 cd 中点 .经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.（证法参照上题）八下 p89比例的基本性质假如 a:b=c:dad=bc相像三角形判定九下 p421. 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相像.名师总结精品学问点九下 p462. 两角对应相等，两三角形相像.九下 p443. 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像九下 p434. 三边对应成比例，两三角形相像九下 p475. 假如一个直

14、角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像 .已知： rtabc 和 rt def ，ac 与 df 为斜边， ab ： de=ac ：df求证： rt abcrt def已知：abc 与def 是以 o 为位似中心的位似图形，位似比为1：k求证：abc 与def 的相像比为1：kabc 与def 是以o 为位似中心的位似图形证明：由勾股定理得：bc=ac 2 -ab 2bcef obcoefef=de 2 -ef 2obocbc1设 ab ： de=ac ： df=koeofefkab:ac=de:df=k（ ab:ac ） 2=（ d

15、e:df ） 2=k2理可得,oboaac1 oeodedkab2=k2ac2,de2=k2df2ocoaac1ofodfdkbc=ac 2 -k 2ac 2=1-k 2 ac2222acbabcoa1 fdedefodkef=df-k df=1-kdf22abcdef ，abc 与def 的相像比为 1： kbc:ef=1-k ac ：1-k df圆=ac:df=ab：de三边对应成比例rt abcrt def相像三角形性质九下 p521. 相像三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比.2. 相像三角形周长的比等于相像比.3. 相像三角形面积的比等于相像比的平方.九下 p

16、59-604. 位似图形是相像图形的特别形式；位似比等于相像比；以三角形为例：九上 p791. 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.九上 p902. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径. 的点的集合 .3. 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.九上 p794. 同圆或等圆的半径相等.九上 p925. 不在同始终线上的三点确定一个圆；垂径定理九上 p811. 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧.推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于名师总结精品学问点弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 .已知：ab为圆 o的一条弦，ce垂直平分

17、ab，垂足为 d求证： ce是过点 o，acbc , aebe证明：假设ce不过点 o5. 在同圆或等圆中， 假如两个圆心角、 两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等.以下是等弦推出等弦心距的情形，其他的类似已知： ab， cd为圆 o的两条等弦 , oeab,ofcd求证： oe=of连接 oa,od,oboaob, adbd证明：bacdodaboeab, ofcd又cdabae1 ab, cf1 c过点 d 有两条直线与ab 垂直，这与“过22aecf一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生冲突，所以假设不成立在rtoae 和rtocfce 是过点 o

18、，即 ce是圆 o的直径依据推论1，可得 acbc , aebeaecfoaoc平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.已知： o 为圆心， ce 是九上 p85rtoae oeofrtocf 直径， acbc求证： aebe ，ceab ， adbd acbc aoc boc. oa=ob aob 为等腰三角形，ce 平分它的顶角；从 “三线合肯定理”，ceab ， adbd圆周角定理 ：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.半圆 （或直径） 所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的

19、弦是直径.九上 p87假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.三角形的外心， 三角形外接圆的圆心， 它是三边的中垂线的交点，到三个顶点的距离相等 . 如图， 三种 abc中， l1 为 ab 的垂直平分线， l 2 为 bc 的垂直平分线， l1 与 l2 交于点 o，连又 aoe 180°- aoc 180°- boc boe. aebe九上 p823. 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.九上 p834. 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等， 所对的弦的弦心距相等.接 oa、ob、oc， l1 是 ab 的垂直平分线， o

20、b oa 又 l 2 是 bc的垂直平分线 ob oc故 oa ob oc o在 bc的垂直平分线上， 即 ac的垂直平分线过点o；名师总结精品学问点九上 p97三角形的内心， 三角形内切圆的圆心，它是三个内角的平分线的交点，到三边的距离相等. 四边形 cdoe是矩形，又oe=od矩形 cdoe是正方形， ec=cd=r 由切线长定理可得：bd=bf=a-r af=ae=b-raf+bf=c已知， i 是三角形 abc中abc 和acb 的 a-r+ b-r=c角平分线的交点求证： ai 平分cab ， i 到三边的距离相等 rabc2abc 和证明：作idbc , ieac , ifabi是

21、三角形abc中acb 的角平分线的交点九上 p94直线和圆的位置关系直线 l 和o 相交 d r直线 l 和o相切 d=r直线 l 和o相离 d r 九上 p95切线的判定： 经过半径的外端且垂直于这切线idif , idie ifie九上 p96切线的性质 ：圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 i 在cab 的角平分线上，即ai 平分点 .cab 且 idifie直角三角形三边为a、b、c ， c 为斜边，就已知：直线l是圆 o 切线， a为切点， obl ，垂足为b外 接 圆 的 半 径 rab cc ； 内 切 圆 的 半 径2求证：直线ob 不经过 a 点

22、证明：假设直线ob 不 过 a 点直线 l 是圆 o切线， a 为切r2点已知例2：如图， rt abc， c=90°，两直oal又obl角边 a，b，斜边为 c ，它的内切圆o分别与bc， ac，ab相切于点d、e、f（ 1）求这个三角形外接圆半径r 和内切圆的半径 r.解：做出如图帮助线,c=90°ab 为外接圆直径直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点外接圆半径r= c2（ 2） rt abc的内切圆 o分别与 bc，ac， ab 相切于点d、e、f oeac ,odbc过点 o有两条直线oa和 ob与直线 l 垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生冲突

23、，所以假设不成立直线 ob 过 a 点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.已知：直线 l 是圆 o切线，a 为切点， abl ，ab与圆 o 交于点 b求证：直线 ab 过圆心 o 证明：假设直线 ab 不经过圆心 o直线 l 是圆 o切线， a 为切点oal又a bl过点 a 有两条直线oa和 ab 与直线 l 垂直，这名师总结精品学问点与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生冲突，所以假设不成立直线 ab 过圆心 o九上 p97切线长定理 .从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.圆和圆的位置关系假如两个圆相切，那么切点肯定在连心线上 证

24、明： 圆是轴对称图形， 过圆心的直线是它的已五边形为例，经过圆的五等分点作圆的切线，观看以相邻切线的交点为顶点的五边形是不是正五边形？已知， pq、qr、rs、st分别是经过分点a、b、c、d、e 的 o的切线 求证： 五边形 pqrst是 o的外切正五边形证明：对称轴， 两圆组成的图形也是轴对称图形，连心线是它的对称轴，假设切点不在连心线上，oaoboe , aboaeo ,aobaoeabobao ,aeoeao就它关于连心线的对称点也不在连心线上，而是两圆的另一个公共点，这跟两圆相切只有一个公共点冲突，所以切点肯定在连心线上九上 p100两圆外离d r+r两圆外切d=r+r两圆相交r-r

25、 d r+rr r两圆内切d=r-rr rabobaoaeoeaopq、qr、rs、st 分别是经过分点a、b、c、d、e 的 o的切线 oaptoap= oatoap- oab= oat- oae即pab=tae两圆内含dr-rr r正多边形和圆papb,tate pabpba,taetea依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形nn 3:以五边形为例pabpbataetea abaepabtae asa已知：圆o中,abbccddeeapapbtate ,pt求证：五边形abcde是 o的内接正五边形同理， rc=cq=qb=bp,es=sd=dr=rc, t=s=r=qpab

26、bccddeea abbccddepapbtaterc=cq=qb=es=sd=dr pqqrrssttp五边形pqrst是 o的外切正五边形 定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内ea, bcecda ab3 ab切圆，这两个圆是同心圆.以五边形为例证明：假如正五边形abcde有外接圆， 就 a 、同理bcde又，五边形 abcde的顶点都在圆o 上，五边形 abcde是圆 o的内接正五边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线 的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形；b 、c、d、e 五点应都在同一个圆上，且它们到圆心的距离相等 不在同始终线上的三点确定一个圆，不妨过正五边形abcde

27、的顶点 a 、b 、c 作 o，连结 oa 、ob、oc 、od 、oe就oa=ob=oc ；名师总结精品学问点成十个全等的直角三角形.证明：正五边形abcde,oq,op,os,ot,or为,五边形各边的边心距opae, otabpa1 ae, at1 ab22aeabpaat , opot（弦等推出弦心距等证明参见p4）oab odc在 opa 和oat中abcde 有一个外接圆 opaatopotopaoat（hl 在 opa 和 ope 中既然正五边形有一个外接o，那么正五边形的五条边也就应是o 的五条等弦依据弦等、弦心距相等，证明 参见 p4，可知点 o 到五边的距离等 以该弦心距为

28、半径作圆，可得该圆与各边 都相切，所以同样，正n 边形也应有一个内切 o，且两圆同心oaotopopopaope（hl opaoatope同理其他直角三角形也全等，每条边和圆心以及对应半径一共组成5 个三角形， 每个三角形可以分割成两个直角三角形，所以一共有10个全等的直角三角形；定理正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分正三角形面积s3 a 2 ， a 表示边长 .4成 2n 个全等的直角三角形.以五边形为例已知，正abc 边长为 a求证：正三角形面积s3 a 24证明：作adbc于 d，正abc 边长 a已知： 正五边形 abcde,oq,op,os,ot,or为, 五边形各边的边心距求

29、证：正五边形的半径和边心距把正五边形分名师总结精品学问点abacbca八上 p30bd1 bca22adab2bd 2a 23a2a42k>0 ，y 随 x 的增大而增大k<0 ，y 随 x 的增大而削减八上 p23正比例函数y=kx（ k 0）八上 p25s1 adbc13 aa3 a 2 k>0， y 随 x 的增大而增大, 直线 y=kx 经过abc九上 p1102224（ 0， 0），（ 1， k） ,经过第一、三象限 k<0， y 随 x 的增大而削减, 直线 y=kx 经过扇形弧长 ：lnr180（ 0， 0），（ 1， k），经过其次、四象限八下 p39九

30、上 p111nr 21 nr1反比例函数yk （ k 0）x扇形面积 ：srlr3602 1802圆拄的侧面积s2rh圆柱绽开图是矩形， 长和宽中其中一条是圆柱的高 h，另一条是圆柱底面周长2r ，所以面积为 2rh2八下 p43 k>0 ，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随 x 的增大而削减.k<0 ，双曲线在其次、四象限，在每个象限内，随x 的增大而增大当22九上 p36圆拄的表面积s九上 p1132 rh2r一元二次方程ax +bx+c=0（ b -4ac 0）根为圆锥的侧面积s1 . 2rlrlbb2x12a4acx 2bb22a4ac22圆锥的表面积srlr九上 p41bb24acbb24acb幂的运算：八上 p160 a0 时 a0=1 ， 八下 p19x1x2x 1x 22abb22a4ac2abb22aa4acc aa-p=1 a p八上 142 am an= am+n；（ am） n= am n 0 的 0 次幂没有意义八上 p151九上 p36222一元二次方程ax +bx+c=0 根的判别式 . b -4ac=0方程有两个相等的实根. b2-4ac>0方程有两个不等的实根. b -4ac<0方程没有实根 .平方差 ：a2-b八上 p1542=a+ba-b九下 p182二次函数y=ax2+bx+c（a 0）；222222b -4