南京市高三第一次调研数学试卷及答案(苏教版)

1、南京市2012届高三第一次调研测试数 学2011.09注意事项：1 .本试卷共160分.考试用时120分钟.2 .答题前，考生务必将自己的学校、女4名、考试号写在答题纸上.考试结束后，交回答题纸.参考公式：1一组数据的万差s2（X1x）2（X2 x）2 L（Xnx）2,其中x为这组数据的平均数.n一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，共70分）101 .计算 cos。32 .若复数m 2i （m R,i是虚数单位）为纯虚数，则m=。1 i3 .某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,则其方差为。4 .已知等比数列an的各项均为正

2、数.若a1=3,前三项的和为 21,则a4+a5+a6=。5 .设P和Q是两个集合，定义集合P Q x|x P,且x Q.若P 1,2,3,4,Q x| jx 1 2,x R,则 P6 .根据如图所示的伪代码，可知输出的结果I为7 .已知扇形的周长为 8cm）则该扇形面积的最大值为2 cm。28 .过椭圆xyab 0）的左顶点A作斜率为1的直线，与该椭圆的另一个交点为 的离心率为,与y轴的交点为B.若AM =MB ,则该椭圆9 .若方程 lg |x|x|5在区间（k,k10 .如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔南方向.海上停泊着两艘轮船，甲位于灯塔S 1I 一 1While S<5I

3、1S II 1End WhilePrint I第（6）题1）（k R）上有解，则满足所有条件的k的值的和3五海里的D处；乙船位于灯塔 B的北偏西600方向，与B相距5海里的C处.则两艘船之间的距离为海里.11 .如图，在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，D为棱AAi的中点是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 ACB.若截面 BCiDAiBiDCAA , B ,灯塔B位于灯塔A的正 A的北偏西750方向，与A相距b第（11）题12.设p:函数f (x)2|xa|在区间(4,)上单调递增；q： loga2 1.如果“ p”是真命题，“p或q”也是真命题，那么实数 a的取值范围是 。13.如图

4、，在正方形 ABCD中，已知AB =2, M为BC中点.若N为正方形内(含边界)任意一点，则uuur umrAM gAN的最大值是1 一14.已知函数f(x) ax x4,x -,1, A, B是其图象上不同的两点1,，k 4 ,则实数a的值是。2、解答题(本大题共 6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本题满分14分)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 况如图所示，现从中随机抽取一名队员，球：(1)该队员只属于一支球队的概率；10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情(2)该队员最多属于两支球队的概率；1316.(本题满分14分)如图，在四棱锥 P-ABC

5、D中，底面ABCD为菱形，/ BAD =60、Q为AD中点.(1)若PA=PD,求证：平面 PQB，平面 PAD;(2)点M在线段PC上，PM=tPC,试确定实数t的值，使得PA平面MQB.17.(本题满分14分)已知函数 f (x) 2cos2x 2、3sinxcosx.(1)求函数f (x)在区间,上的值域；cos(A C),求 tan A 的值.6 3(2)在 ABC 中，若 f(C) 2 , 2sin B cos(A C)18. （本题满分16 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y2 2px 上横坐标为 4 的到该抛物线的焦的距离为5.（ 1 ）求抛物线的标准方程；（2）设点C

6、是抛物线上的动点.若以点C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4,求证：圆C过定点 .19. (本题满分16 分)设 a 0 ，函数 f (x) x2 a | ln x 1| .1 )当 a 1 时，求曲线y f (x) 在 x 1 处的切线方程；2)当 x 1,) 时，求函数f (x) 的最小值 .16分)20. (本题满分2*在数列an 中，已知a1p 0 ，且 an 1 an n 3n 2, n N .(1)若数列an为等差数列，求p的值;(2)求数列an的前n项和Sn；(3)当n 2时，求证:南京市2012届高三第一次调研测试2011.09数学附加题注意事项：1 .附加题供选修物理的考生使用

7、 .2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3 .答题前，考生务必将自己的学校、女4名、考试号写在答题纸上.考试结束后，交回答题纸.21.【选做题】在 A、B、C、D四小题中只能选做 2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区A.选彳41:几何证明选讲 如图，已知四边形 ABCD域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 内接于。O, EF/ CD, FG切。于点G.求证EF=FG.B.选彳42:矩阵与变换0 1已知矩阵M1 0对应的变换作用下得到曲线1F,求曲线1.在平面直角坐标系中， 设直线2x y 1 0在矩阵MN 0F的方程.C.选彳44:坐标系与参数方程x 4已知直线l的参

8、数方程为y t线i距离的最大值.2t22（t为参数），P是椭圆42y 1上任息一点，求点P到直D.选彳4> 45:不等式选讲1 49已知a, b为正数，求证：-a b a b(2)若过原点的直线方程.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内 作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .已知圆R：(x 1)2 y2 16,定点F2(1,0).动圆M过点F2,且与圆F1相内切.(1)求点M的轨迹C的方程；l与(1)中的曲线C交于A, B两点，且 ABF1的面积为,求直线l的n23n*23 .已知(x 1) a0 a1(x1)a2(x1) a3(x1

9、) L an(x1) (n 2,n N).(1)当 n 5 时，求 a0 a1a2 a3a4 a5 的值；a.(2)设bn /，Tn b2 b3 b4Lbn .试用数学归纳法证明：当n 2时，n(n 1)(n31)南京市2012届高三第一次模拟考试数学参考答案2011.9一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，共70分）11. -2. 23. 24.1685. 46. 57. 48.坐9. - 110.#311. 8-7312. （4,十8）913. 614.-二、解答题（本大题共 6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分14分）解：从图中可以看出，3个

10、球队共有20名队员. 2分（1）记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件A. 4分则 P(A) =3+5+4_ 20=一 3.答：随机选取一名队员，只属于一支球队的概率为3. 8分5（2）记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件 B. 10分一 29则 p（b）=1-p（b）=1-20=10-答：随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为-9-. 14分 16.（本题满分14分）证明：（1）因为PA=PD, Q为AD的中点，所以PQ AD.连接BD,因为ABCD为菱形， DAB =60 ,所以AB= BD ,所以BQ AD . 2分因为BQ 平面PQB, PQ 平面

11、PQB, BQAPQ=Q.所以 AD 平面PQB. 2分因为AD 平面PAD,所以平面 PQB 平面PAD. 2分1 ,(2)当且仅当t=，时，PA/平面 MQB.3证明如下：连接AC,设ACnBQ=O,连接OM.在4AOQ与 COB中，因为 AD / BC, 所以 OQA= OBC, OAQ= OCB.所以 AOQA COB.AO AQ 1 AO 1c 八所以OC = cB=2所以AC=32分在 CAP与 COM中，当t =；时，因为嗡二瞿:2， ACP= OCM , 3CA CP 3所以 CAPCOM.所以 CFA= CMO ,所以 AP / OM . 2 分因为 OM 平面 MQB, P

12、A/平面 MQB,所以PA/平面MQB.以上每步可逆，当 PA/平面MQB可得t = 2分317.（本题满分14分）解：(1) f(x)= 1 + cos2x+黄sin2x= 2sin(2x+ )+1.因为-6-w3,所以一b2H鹏5r1所以一2& Sin(2x+6)< 1,所以1W2sin(2x+ g)w2所以f(x)C0, 3.即函数f(x)在6, 3上的值域为0, 3. 7分1(2)由 f(C)= 3 得，2sin(2C+6)+1 = 2,所以 sin(2C + d)= 5.在4ABC 中，因为 0VCV ,所以 7vZC + v1!-. 666所以 2C + 6=-. 所

13、以 0 = 3，所以 A+B = g. 9 分因为 2sinB= cos(A-O)- ccs(A + 0).所以 2sinB= 2sinAsinC. 11 分22因为 B="3"A, 0 = 3.所以 2sin(- A) = /3sinA.即 3cosA+ sinA =/sinA. IP (3 1)sinA =/cosA.所以 tanA = snA; = -3- = 3J3. 14分cosA -3- 1218.(本题满分16分)解：（1）根据题意，抛物线 y2=2px的准线方程为x= *且p>0. 2分因为抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为 5,所以该点到准线 x=

14、鸟的距离也为5.所以p=2.故所求抛物线的标准方程为y2 = 4x. 5分（2）因为点0在抛物线上，故可设点C为（£, t）.4t2所以点0到y轴的距离为%因为圆0在y轴上截得的弦长为4,所以圆C的半径=" £，22 =小 + 64. 8分所以圆 0 的方程为（x 4-）2+ （y- t）2= （4>/t4+ 64）2.t210分即 x2+y22x2ty+t24=0.（方法一）因为圆 所以当t=0时，圆当t=2时，圆0是动圆.0的方程为0的方程为x2 + y2 4= 0, x2 + y2 2x 4y= 0.联立，得x2+ y2 4= 0 ,x2+ y2 2x

15、 4y= 0.6 x=匚 x= 2,5解得y = 0,或8 y=5-14分,，一一 、， c c t2c，、 一，一把（2, 0）代入圆0万程，左边=22+ 02 彳22t0+t2 4=0 =右边，万程成立，所以圆 0恒过定点（2, 0）.把（一5,5）代入圆0的方程得，左边=5/,不恒为0,即随着t的变化而变化. 5 555故点（一|, 8）可能不在圆0上.所以圆0恒过定点（2, 0）. 16分t2（万法二）将万程x2+y2jx2ty+t24=0整理为14分x=2, y= 0.16分(1 -1)t2-2yt+(x2+y2-4)= 0.x 八式对任意实数t都成立的充要条件是1 2=0，-2y=

16、0, x2 + y2 4= 0.所以圆C恒过定点(2, 0).19 .(本题满分16分)解：(1)当 a=1 时，f(x) = x2+|lnx1|,1八当 0vxve 时，f(x) = x2lnx+ 1, f (x)= 2x - 2 分x令x=1得f(1)=2, f (1)=1,所以切点为(1, 2),切线的斜率为1.所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为 x-y+1 = 0. 5分(2)当 x>e 时，f(x) = x2+ alnx a, f(x) = 2x+a (x>e). x8 )上为增函数. 7分11 v x< e).时为正数，所以f(x)在1, e上为增函数.故

17、当与时为负数,在xC(a/2，e)时为正数，所因为a>0,所以f(x)>0恒成立.所以f(x)在e, + 故当 x=e 时，ymin= f(e) = e 当x<e,即xC 1 , e时，f(x)=x2-alnx+a，f(x)=2xa=x(x+qi)(x_yi(i)当 aJ|wi,即 0vaW2 时，f (x)在 xC (1, e) x=1 时，ymin = 1 + a,且此时 f(1)vf(e).(ii)当 1VAy| v e,即 2vav2e2 时，f (x)在 xC (1 以f(x)在1,、/a)上为减函数，在(、工，e上为增函数. 故当 x=/i 时，ymin = 3a

18、 |ln|,且此时 fCx/|)<f(e).(iii)当、y|>e,即a>2e2时，f (x)在xC(1, e)时为负数，所以f(x)在1, e上为减函数.在故当x = e 时，ymin = f(e) = e2 . 13 分综上所述，当a>2e2时，f(x)在x>e时和1WxWe时的最小值都是 e2,所以此时f(x)的最小值f(e)=e2;当2vav2e2时，f(x)在x>e时最小值为e2,在1WxWe时，最小值为f(a) =3a |1m|),而 fQ/BvWe)，所以此时 f(x)的最小值 f(-J|)=3|-|lnf .当0vaW2时，f(x)在x>

19、;e时最大值为e2,在1Wxw e时最小值为f(1)=1 + a,而f(1)vf(e),所以 此时f(x)的最小值为f(1) = 1 + a.1 + a, (0<a< 2),所以函数y=f(x)的最小值为ymin= 32' 2尾，(2vaw 2e2), 16分e2, (a>2e2).20 .(本题满分16分)解：(1)设数列an的公差为 d,则 an= n + (n 1)d, an+1=a + nd.由题意得，a + (n1)d(a1+nd)=n2+3n+2 对 nC N* 恒成立.即 d2n2+ (2ad d2)n+ (n2 a1d)= n2+ 3n + 2.d2=

20、 1， -rl = 1所以 2a1d d2=3,即 d 1'2a1 = 2,a a1d= 2,因为a1 = p>0,故p的值为2.或；1 二 12.(2)因为an所以an+2 n+ 3= .ann+ 1当n为奇数，且n>3 时,更a142,a5 6a34'ann+ 1an 2n 1相乘得ann+1ai,所以ann+ 1-2-p-时也符合.当n为偶数，且n>4时,a4a253,2=7a4 5ann+ 1an 2n 1相乘得*三,所以时号a2.一、，一 6因为a1a2=6,所以a2=.所以an = p2(n+1),当n = 2时也符合.所以数列an的通项公式为an

21、 =nyp, （n为奇数）如"，（n为偶数）P当n为偶数时,Sn=p + 6+ 2p+10+- +p pn2P +n n 2(n+ 1)2(1 + 2)p =Pn 213+n+1) 6当n为奇数时,n(n + 2)n(n+ 4)8p+ 2PSn= p + 6+ 2p+ 10+3p+ 14 + .'ppp2n n +1+ +pn + 1 n+1 n 12 (1 + 2 ) 2 2=p 2+p (3+n)(n+ 1)(n + 3)(n1)(n+3)8 p+2p(n+ 1)(n + 3)P+(n1)(n +3)2p,（n为奇数）n(n + 4) p+ 2p ,（n为偶数）.10分n

22、 2（3）当n为偶数时，”正a1a2a32c 2an 1211+ 2 > 4(+anaa2 a3a41anan)=4+- + 12X3 4X5 nX(n+1)>2+2X3 3X4 4X5nX(n+1) (n +1)X(n +2)=2'2 3 3 4n+1 n+213分, 一，一，222222当n为奇数，且22时，31a?=彳+a?+彳+小+2an2、，/ 1112>4(+ )+ >4 (a1a2 a3a4an 2an， an2X3 + 4X 5+>2 ( +2X3 3X4(n 1)x n+ nx (n+ 1)+1 an=n2+3n + 2=(n+1)(n+

23、2),所以 an+2an+1= (n+2)(n+3).又因为对任意 n C N* ,者B有 上二<n+ 1 n+ 2故当n>2时，£刍>曰 16分i=iai n+1南京市2009届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2009.31 .（几何证明选讲）（本题满分10分）证明：因为FG切。O于点G,所以FG2=FB FA. 2分因为 EF/CD,所以/ BEF=/ECD. 又A、B、C、D四点共圆，所以/ ECD = ZEAF,所以/ BEF = /EAF. 5分又/ EFA=/BFE ,所以 EFAs BFE. 7 分所以 E5 =瞿,即 EF2=FB FA

24、. Af fe所以 FG2= EF2,即 EF=FG. 10分2 .（矩阵与变换）（本题满分10分）解：由题设得MN =. 3分1 01 00 -1y),设（x, y）是直线2x-y+1=0上任意一点，点（x, y）在矩阵MN对应的变换作用下变为（x1 0xxxxx=x则有= ，即 = ，所以 '7分0 -1yy-yyy=-y .因为点（x, y）在直线 2xy+ 1 = 0 上，从而 2 x （y ）+1 = 0,即 2x+y+1 = 0.所以曲线 F的方程为2x+y+1 = 0. 10分3.（坐标系与参数方程）（本题满分10分）解：直线l的参数方程为x=4 2t）、y_ t_ 2

25、（t为参数），故直线l的普通方程为x+ 2y =0.2分因为P是椭圆x4+y2=1上任意一点，故可设 P（2cos , sin ）其中 R.因此点P到直线l的距离是d =I 2cos + 2sin I2版 I sin( +4) I所以当 =k12+22+ 4, ke z时, d取得最大值坐10分4.（不等式选讲）（本题满分10分）18证明：(方法一)因为a>0, b>0,所以(a+b)(1 + 4) = 5+b +4a a b a b>5+2A =910分b>0,1 4、 9所以a+尸丁;2（方法二）因为 a>0由柯西不等式得(a + b) (1+4)=()2+

26、(>/b)2( a b2=9.一 1 4所以a+产a+ b10分（方法三）因为 a>0, b>0,1 49 b(a b) 4a(a b) 9aba b a bab(a b)4a24ab b2ab(a b)(2 a b)2ab(a b)1 4、 9所以+ - a b a+ b10分5.（本题满分10分）解：（1）设圆M的半径为r.因为圆M与圆Fi相内切，所以 MFi=4r.因为圆M过点F2,所以MF2=r.所以 MFi = 4- MF2,即 MFi+MF2=4.所以点M的轨迹C是以Fi, F2为焦点的椭圆.22且此椭圆的方程形式为A+、=1（a>b>0）.a b其中 2a = 4, c= 1,所以 a = 2, b=3.所以曲线c的方程x2+ y2=1.43（2）（方法一）当直线l的斜率不存在时，A, B两点的坐标分别是（0,淄），（0,一回此时SaABFLW堂，不合题意.，、"x2 y2口设直线l的万程为y=kx （20）,代入椭圆万程工十 71,得y-12k23+4k212k2y2-2 =记1所以 SaABF= SaAOFi + SaBOF= 2OF 1因为S"BF1雪，所以 '仔邑=