BB81二重积分概念课件

1、BB81二重积分概念PPT课件1高等数学 第二十二讲BB81二重积分概念PPT课件2第八章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分与曲 线 积 分BB81二重积分概念PPT课件3三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念和性质 第八章 BB81二重积分概念PPT课件4柱体体积柱体体积= =底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶. .柱体体积柱体体积= =？特点：曲顶特点：曲顶. .),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积问题的提出问题

2、的提出BB81二重积分概念PPT课件51xix1ixxabyo求曲边梯形面积的解题步骤求曲边梯形面积的解题步骤 :1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限.niiAA10limniiixf10)(limBB81二重积分概念PPT课件6解法解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积

3、给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D),(yxfz BB81二重积分概念PPT课件7D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kkBB81二重积分概念PPT课件84)“取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max

4、)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kkBB81二重积分概念PPT课件92. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量 M .度为),(),(常数若yx设D 的面积为 , 则M若),(yx非常数 , 仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小区域 .DyxBB81二重积分概念PPT课件102)“常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“

5、取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量yxBB81二重积分概念PPT课件11两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: BB81二重积分概念PPT课件12二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使nkkkkfI10),(li

6、m可积可积 , ),(yxf则称),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和dyxfD,积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , dyxfD,BB81二重积分概念PPT课件13引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作,kkkyx 这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作ydxdyxfD,dyxfVD,ydxdyxfD,ydxdyxD,dyxMD,BB81二重积分概念PPT课件14关于二重积分定义的几点说明:nkkkkf10),(limdyxfD,1、二重积

7、分的值与D域的分法及kkk,上的取法无关。2、二重积分是个极限值，是个数值。其大小只与yxf,及D有关而与积分变量的记号无关。dtsfD,dvufD,dyxfD,3、,id对应和式中的对D的分割是任意的，若用平行于坐标轴的直线段来划分D ,那么除了靠边的一些小区域外，绝大部分的小区域都是矩形的，由于, 0i靠边的小区域不作计较。BB81二重积分概念PPT课件15二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续, 则若有界函数在有界闭区域 D 上除

8、去有 例如例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重积分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重积分不存在 . BB81二重积分概念PPT课件160),()2(yxfz),(yxfz DVdyxfD),(上变号在Dyxfz),()3(面等于xoydyxfD),(上方的体积下方的体积。二重积分的几何意义二重积分的几何意义0),() 1 (yxfzxyz),(yxfz DDdyxfV ),(BB81二重积分概念PPT课件17三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(. 1( k 为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(.

9、3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在Dd1 为D 的面积, 则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(Dd（共8个）BB81二重积分概念PPT课件18特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. （二重积分的估值定理）),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为 ,MyxfmDd),(则有设DDDdMdyxfdm,BB81二重积分概念PPT课件197.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(

10、),(fdyxfD证证: 由性质6 可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理, 至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此此性质的几何意义是：总可以在D内找到一点),(使得以D为底),(yxf为曲顶的曲顶柱体的体积等于以D为底，),(f为高的平顶柱体体积。BB81二重积分概念PPT课件20 xyo D8. 设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇

11、偶性时, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0BB81二重积分概念PPT课件21例例1. 比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域 D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它与 x 轴交于点 (1,0) ,.1相切与直线 yx而域 D 位, 1 yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方, 故在 D 上 1y2xo1DBB81

12、二重积分概念PPT课件22例例2. 估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面积为2001022由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyo1、BB81二重积分概念PPT课件235 . 04 . 0I2. 其中 D 为DxyyxI162d22. 20, 10yx解解: 被积函数16)(1),(2yxyxf2D 的面积41)0 , 0( fM的最大值),(yxfD上在51431)2, 1 (22 fm),(yxf的最小值,4252 I故yox2D1BB81二重积分概念PPT课件243、 4:)94(2222yxDdyxID解：解： 先求94,22yxyxf在D上的最值yfxfyx82令00yxff得驻点：00yx在在D的边界上的边界上422 yx22239,yyxyxf2313y402 y25,13yxf2525