(完整版)3.1辅助角公式及应用

1、2021-11-20sincoscossinsin1.两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式sin)(2.两角和与差的正弦公式的应用两角和与差的正弦公式的应用sin65sin65sin6sin6sincoscossin6655sincoscossin6655sincoscossin66sincoscossin6631sincos2231sincos22 31sincos22 31sincos22sincoscossin2021-11-20通过前面四个题目我们发现，一个角的通过前面四个题目我们发现，一个角的三角函数值可以用同角的异名函数的关系表三角函数值可以用同角的异名函数的关系表示出来，反过

2、来，是不是任何一个同角的异示出来，反过来，是不是任何一个同角的异名函数也可转换成一个角的三角函数值呢？名函数也可转换成一个角的三角函数值呢？如果能，那么又是怎么转化的呢如果能，那么又是怎么转化的呢?那么这节那么这节课我们就来研究一下这个问题。课我们就来研究一下这个问题。思考：思考：2021-11-20辅助角公式的推导及简单应用辅助角公式的推导及简单应用小池中学小池中学 方国华方国华 xcosbxsina)xsin(ba 222021-11-201 1、了解辅助角公式、了解辅助角公式 的的推导过程推导过程 xcosbxsina)xsin(ba 223 3、会利用辅助角公式解决三角函数问题、会利用

3、辅助角公式解决三角函数问题2 2、 会将会将 （a a、b b不全为零）化为只含不全为零）化为只含有一个正弦的三角形式有一个正弦的三角形式sincosaxbx2021-11-20例例1:求证：求证：3sincosxx2sin()6x分析：分析：其证法是从右往左展开证明其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右也可以从左往右 “凑凑”, 使等式得到证明使等式得到证明,并得出结论并得出结论:可见，可见， 可以化为一个角的三角函数形式可以化为一个角的三角函数形式 3sincosxx思考：思考：一般地，一般地， 是否可以化为是否可以化为一个角的三角函数形式呢一个角的三角函数形式呢?sincosaxbx2

4、021-11-20例例2：将将 化为一个角的三角函数形式化为一个角的三角函数形式解：解：若若a=0或或b=0时，时， 已经是一个角的已经是一个角的三角函数形式三角函数形式 ，无需化简，故有，无需化简，故有ab0. sincosaxbxsincosaxbx从三角函数的定义出发进行推导从三角函数的定义出发进行推导2021-11-20在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,以以a为为横坐标横坐标,b为纵坐标描一点为纵坐标描一点p(a,b)如图如图1所示所示,则总有一则总有一个角个角 ,它的终边经过点它的终边经过点p.设设op=r,r= ,由三角函由三角函数的定义知数的定义知22ab r图1o的终边的终

5、边p(a,b)xy22sinbbrab22cosaarab所以所以sincosaxbx2222cossinsincosabxabx22sin()abx(tan)ba其中，2021-11-20 xcosbxsina)xsin(ba 22)ba( 其 中 t a n=因为上述公式引入了辅助角因为上述公式引入了辅助角 ，所以把，所以把上述公式叫做上述公式叫做辅助角公式辅助角公式2021-11-20由点由点p(a,b)的位置可知的位置可知,终边过点终边过点p(a,b)的角的角可能有四种情况可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三第一象限、第二象限、第三象限、第四象限象限、第四象限)，所以一般情况下辅助

6、角，所以一般情况下辅助角 的取值范围为（的取值范围为（ ），点），点 p(a,b)决定了决定了 所在的象限所在的象限02 决定了决定了 的大小的大小tanba2021-11-20例例3：试将以下各式化为试将以下各式化为 的形式的形式sin(),(0,)axa 31sincos222sin6cos3sincos26sin()cos()6363答案：答案：sin()62 2sin()352sin()627sin()362021-11-204y = sinx+3cosx。例 ：求函数的周期，最大值和最小值y = sinx+3cosx解：13= 2( sinx+cosx)22= 2(sinxcos+c

7、osxsin)33= 2sin(x+)322- 2。所以，所求函数的周期为，最大值为 ，最小值为2021-11-20例例5:如图，已知如图，已知opq是半径为是半径为1，圆心角为，圆心角为 的扇形，的扇形，c是扇形弧上的动点，是扇形弧上的动点，abcd是扇形的内接矩形，记是扇形的内接矩形，记cop= cop= ，问当角，问当角 取何值时，矩形取何值时，矩形abcdabcd的面积最大？的面积最大？并求出这个最大面积。并求出这个最大面积。3oabpcdq2021-11-20分析分析: :在求当在求当取何值时取何值时, ,矩形矩形abcdabcd的面积的面积s s 最大最大 , ,可分二步进行可分二

8、步进行: :(1)(1)找出找出s s与与之间的函数关系之间的函数关系; ; (2) (2)由得出的函数关系由得出的函数关系, ,求求s s的最大值。的最大值。rtobcob = cos,bc = sin解：在中，o，dartoad= tan60 =3oa在中2021-11-20333oa = 3da =bc =sin333所以3ab = ob-oa = cos-sin3所以，abcds设矩形的面积为则s = ab bc3= (cos-sin)sin32021-11-2023= sincos-sin 313=sin2-(1-cos2)26133=sin2+cos2-2661313=(sin2+

9、cos2)-226313=sin(2+)-6632021-11-200 3由,得2o 2 35 2+666进而2+=62所以当时，最大时133 =,s=-=.6663即3 =abcd66因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为2021-11-201.把下列各式化为一个角的三角函数形式把下列各式化为一个角的三角函数形式31sincos22(1)sincos(2)-sincos(3)-sin()3cos()66(4)-32已知函数已知函数y3sinxcosxxr.，（1 1）当函数）当函数y y取得最大值时，求自变量取得最大值时，求自变量x x的集合；的集合；（2 2）该函数的图象可由）该函数的图象可由y ysinsinx x（x xrr）的图象经）的图象经 过怎样的平移和伸缩变换得到过怎样的平移和伸缩变换得到? ?2021-11-20一个公式：一个公式： xcosbxsina)xsin(ba 22两个应用：两个应用：利用辅助角公式将三