全国初中数学竞赛试题及答案(2001年)

1、中国数学教育网http:/第 1 页http:/http:/共 3 页2001 年全国初中数学联赛一、选择题（每小题7 分，共 42 分）1、a，b，c 为有理数，且等式62532cba成立，则 2a+999b+1001c的值是（）（a） 1999（b）2000（c）2001（d）不能确定2、若1ab，且有 5a2+2001a+9=0 及05200192bb，则ba的值是（）（a）59（b）95（c）52001（d）920013、已知在 abc 中，acb=900，abc=150，bc=1，则 ac 的长为（）（a）32（b）32（c）30（d）234、如图，在 abc 中，d 是边 ac 上

2、的一点，下面四种情况中，abdacb 不一定成立的情况是（）（a）bdabbcad（b）acadab2（c）abd=acb（d）bdacbcab5、在实数范围内，一元二次方程02cbxax的根为aacbbx242；在 abc中， 若222abbcac， 则abc是锐角三角形；在 abc和111cba中 ， a， b， c 分 别为 abc 的 三 边，111,cba分 别 为111cba的 三 边 ， 若111,ccbbaa，则 abc 的面积 s 大于111cba的面积1s。以上三个命题中，假命题的个数是（）（a）0（b）1（c）2（d）3 6、某商场对顾客实行优惠，规定：如一次购物不超过2

3、00 元，则不予折扣；如一次购物超过200 元但不超过 500 元的，按标价给予九折优惠；如一次购物超过 500元的，其中 500元按第条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168 元和 423 元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（）（a）522.8 元（ b）510.4 元（c）560.4 元（d）472.8 二、填空题（每小题7 分，共 28 分）1、已知点 p 在直角坐标系中的坐标为 （0，1） ，o 为坐标原点， qpo=1500，且 p 到 q 的距离为 2，则 q 的坐标为。2、已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点p， 则点 p 到

4、两圆外公切线的距离为。中国数学教育网http:/第 2 页http:/http:/共 3 页3 、 已 知yx,是 正 整 数 ， 并 且120,2322xyxyxxyy， 则22yx= 。4、一个正整数，若分别加上100和 168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为。三、解答题（共 70 分）1、在直角坐标系中有三点a（0，1） ，b （1，3） ，c （2，6） ；已知直线baxy上横坐标为 0、1、2 的点分别为 d、e、f。试求ba,的值使得 ad2+be2+cf2达到最大值。 （20 分）（1） 证明：若x取任意整数时，二次函数cbxaxy2总取整数值，那么cbaa,2都是整数；（

5、2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25 分）3、如图，d，e 是abc 边 bc 上的两点，f 是 bc 延长线上的一点， dae=caf。 （1）判断 abd 的外接圆与 aec 的外接圆的位置关系，并证明你的结论； （2）若abd 的外接圆的半径的2 倍，bc=6，ab=4，求 be 的长。解答题：1、如图， efgh 是正方形 abcd 的内接四边形，两条对角线eg 和 fh 所夹的锐角为，且beg 与cfh 都是锐角。已知eg=k，fh=l，四边形 efgh 的面积为 s。（1）求证： sin=kls2；（2）试用slk,来表示正方形的面积。2、求 所 有 的 正 整 数a， b， c， 使 得 关 于 x 的方 程0232baxx，abcdefabcdefgh| o中国数学教育网http:/第 3 页http:/http:/共 3 页0232cbxx，0232acxx的所有的根都是正整数。3、在锐角 abc中，adbc，d 为垂足， deac，e 为垂足， dfab，f 为垂足。 o 为abc 的外心。求证： （1） aefabc；（2）aoef4、如图，在四边形abcd 中