二项式定理.版块四.二项式定理的应用1证明整除或求余数.学生版

1、智康高中数学 .板块四 .二项式定理的应用1 证明整除或求余数.题库1 1二项式定理二项式定理011222.nnnnnnnnnnabcac abcabc bnn这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式系数、二项式的通项011222.nnnnnnnnncac abcabc b叫做nab的二项展开式，其中的系数0 , 1, 2, .,rncrn叫做二项式系数，式中的rnrrnc ab叫做二项展开式的通项，用1rt表示，即通项为展开式的第1r项：1rnrrrntc ab二项式展开式的各项幂指数二项式nab的展开式项数为1n项，各项的幂指数状况是各项的次数都等于二项式的幂指数n字母a的按降幂排列，从第一

2、项开始，次数由n逐项减 1 直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1 直到n几点注意通项1rnrrrntc ab是nab的展开式的第1r项，这里0, 1, 2 , .,rn二项式nab的1r项和nba的展开式的第1r项rnrrnc ba是有区别的， 应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的注意二项式系数（rnc）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负知识内容证明整除或求余数智康高中数学 .板块四 .二项式定理的应用1 证明整除或求余数.题库2 通项公式是nab这个标准形式下而言的，如nab的二项展开式的通项公式是11rrnrrrntc a

3、b（只须把b看成b代入二项式定理）这与1rnrrrntc ab是不同的， 在这里对应项的二项式系数是相等的都是rnc，但项的系数一个是1rrnc，一个是rnc，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念设1,abx，则得公式：12211.nrrnnnnxcxcxcxx通项是1rtrnrrnc ab0, 1, 2 , .,rn中含有1,rtabnr五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1)nx的近似值2二项式系数的性质杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算杨辉三角有如下规律

4、： “左、右两边斜行各数都是1 其余各数都等于它肩上两个数字的和”二项式系数的性质：nab展开式的二项式系数是：012, .,nnnnncccc，从函数的角度看rnc可以看成是r为自变量的函数fr，其定义域是：0 , 1, 2 , 3 , ., n当6n时，fr的图象为下图：这样我们利用 “杨辉三角” 和6n时fr的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等智康高中数学 .板块四 .二项式定理的应用1 证明整除或求余数.题库3 事实上，这一性质可直接由公式mnmnncc得到增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式

5、的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大由于展开式各项的二项式系数顺次是01211,11 2nnnn nnccc，3121 2 3nn nnc，112 .21 2 3 .1knn nnnkck，12 .211 23.1knn nnnknkckk，1nnc其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1 的数（如,1,2 , .nnn），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，, ）因为，一个自然数乘以一个大于1 的数则变大，而乘以一个小于1 的数则变小，从而当k依次取 1，2， 3，, 等值时，rnc的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，

6、所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间当n是偶数时，1n是奇数，展开式共有1n项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nnc当n是奇数时，1n是偶数，展开式共有1n项，所以有中间两项这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122nnnncc二项式系数的和为2n，即012.2rnnnnnnnccccc奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351.2nnnnnnncccccc常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题二项式定理的应用1证明整除或者求余数【例 1】利用二项式定理证明：22389nn是 64 的倍数典例分析智康高中数学 .板块四 .二项式定理的应用1 证明整除或求余数.题库4 【例 2】若*nn，证明：2332437nn能被64整除【例 3】证明：22(13)(13)(*)nnnn能被12n整除【例 4】证明：2121(13)(13 )(*)nnnn能被12n整除【例 5】3023除以7的余数 _；5