初三复习二次函数专题

1、优秀教案欢迎下载二次函数复习专题（二）、学问要点1. 二次函数解析式的几种形式：2一般式：yaxbxc （ a、b 、c 为常数， a0）2顶点式：ya xhk （ a、h、k 为常数， a 0），其中（ h， k）为顶点坐标；交点式：ya xx1 xx2 ，其中 x1， x2 是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程ax 2bxc0 的两个根，且a 0，（也叫两根式）；22. 二次函数yax2二次函数yaxbxc 的图象bxc 的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，假如a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即外形）完全相同，只是位置不同；任意抛物线ya

2、xh2k 可以由抛物线yax 2 经过适当的平移得到，移动规律可简记为： 左加右减，上加下减，详细平移方法如下表所示；在画 yax 2bxc 的图象时，可以先配方成ya xh 2k 的形式，然后将2yax 的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将yax2bxc 配成 ya xh 2k 的形式， 这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标；然后取图象与y 轴的交点（ 0， c），及此点关于对称轴对称的点（2h， c）；假如图象 与 x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x1， 0），（ x2， 0）就行了；假如图象与x 轴只有 一个交点或无交点，那应当在对称轴两侧取对称点

3、，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5 个点；3. 二次函数的性质函数2二次函数yaxbxcya xh 2k（ a、h、k 为常数， a0 ）（ a、b、c 为常数， a 0）a 0a 0a 0a 0优秀教案欢迎下载图象1 抛物线开口向上，并向上无限延长性b1 抛物线开口向下，并向下无限延长b1抛物线开口向上， 并向上无限延长2对称轴是 x h，顶点是（ h，k）1抛物线开口向下， 并向下无限延长2对称轴是x h，顶点是（ h， k）2 对称轴是x顶点是2a ，2 对称轴是 x顶点是2a ，b，（2a质4acb 24a） （bb4acb 2，2a4ab）3当 xh 时， y 随

4、 x 3当 xh 时， y 随 xx3 当2a 时， y 随x3 当2 a 时， y 随的增大而减小；当x的增大而增大；当xx 的增大而减小；当x 的增大而增大；当xbxb h 时，y 随 x 的增大而增大； h 时，y 随 x 的增大而减小2a 时， y 随 x 的2a 时， y 随 x 的增大而增大4 抛物线有最低点，当b增大而减小4 抛物线有最高点，当b4抛物线有最低点， 当 xh 时， y 有最小4抛物线有最高点， 当 x h 时， y 有最大x2ay最小值值，时， y 有最小4 acb 24ax2ay最大值值，时， y 有最大4acb 24a值 y最小值k值 y最大值k24. 求抛物

5、线的顶点、对称轴和最值的方法2配方法： 将解析式yaxbxc 化为 ya xhk 的形式， 顶点坐标为 （ h，k），对称轴为直线xh ，如 a0 ，y 有最小值，当x h 时， y最小值k ；如 a0 ，y 有最大值，当x h 时， y最大值k ；，b4acb 2公式法： 直接利用顶点坐标公式（2 a4a），求其顶点；对称轴是直线2xba 2a ，如0， y有最小值，当xb 时， y 2a2最小值4acb 4a；如 a0，y 有最大值，当xb 时， y 2a最大值4 acb4 a5. 抛物线与x 轴交点情形：2对于抛物线yaxbxca 0当b24ac0 时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成

6、立；优秀教案欢迎下载当b24ac当b24ac（三）、考点解读0 时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点；0 时，抛物线与x 轴无交点，反之也成立；例 1.已知某二次函数的图象经过点a（ 1， 6）， b（ 2，3）， c（ 0， 5）三点，求其函数关系式；2分析：设 yaxbxc ，其图象经过点c（ 0， 5），可得 c5 ，再由另外两点建立关于 a、b 的二元一次方程组，解方程组求出a、b 的值即可；2解： 设所求二次函数的解析式为yax由于图象过点c（ 0， 5）， c5bxc又由于图象经过点a（ 1， 6）， b（ 2， 3），故可得到：ab56ab1a1即解得：4a2

7、b532ab4b22所求二次函数的解析式为yx2 x5说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为yax 2bxc ，然后确定 a、b、c 的值即得，此题由c（ 0， 5）可先求出c 的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便；2例 2. 已知二次函数yax求该二次函数的函数关系式；bxc 的图象的顶点为 （ 1，92 ），且经过点 （ 2，0），分析：由已知顶点为（1，a 的值即可92 ），故可设2ya x192 ，再由点（ 2， 0）确定设ya x解：1 292 ，就图象过点（2， 0），0a21 292a1 ， y21 x21 29 ，2y1 x 2x4即：22说明

8、：假如题目已知二次函数图象的顶点坐标（h ，k），一般设ya xh k ，2再依据其他条件确定a 的值；此题虽然已知条件中已设yaxbxc ，但我们可以不用这种形式而另设ya xh 2k 这种形式； 由于在 yax 2bxc 这种形式中， 我们必2须求 a、b、 c 的值，而在ya xhk 这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a 的值，明显这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式；例 3.已知二次函数图象的对称轴是x3 ，且函数有最大值为2，图象与x 轴的一个优秀教案欢迎下载交点是（ 1， 0），求这个二次函数的解析式；分析：依题意，可知顶点坐标为（3， 2），因此，可设解析式为顶点

9、式解： 设这个二次函数的解析式为图象经过（1， 0），y=ax32220=a1321a2所求这个二次函数的解析式为y=-1 x3222即：125y=-x3x-22说明：在题设的条件中，如涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式；例 4. 已知：抛物线在x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（ 2，4），求这个函数的关系式 分析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x 轴的两个交点为（x1 ，0），（ x2，0），1就有对称轴x=x 12x2 ，利用这个对称性很便利地求二次函数的解析式解： 顶点坐标为（2， 4）对称轴是直线x 2抛物线与x 轴两交点之间距离为4两交点坐标为（0

10、， 0），（ 4， 0）设所求函数的解析式为ya x图象过（ 0， 0）点2 24 04a4 ， a12所求函数的解析式为yx4 x例 5. 已知某抛物线是由抛物线yb（ 2， 4），求其函数关系式；2 x2 经过平移而得到的， 且该抛物线经过点a（ 1，1），分析：设所求抛物线的函数关系式为yax 2bxc ，就由于它是抛物线y2 x 2 经过平移而得到的，故a 2，再由已知条件列出b、c 的二元一次方程组可解此题；解： 设所求抛物线的函数关系式为yax 2a（1， 1）， b（ 2， 4）bxc ，就由已知可得a 2，又它经过点2bc1故：82bc4bc1b3即2bc4 解得：c2所求抛物

11、线的函数表达式为：y2 x23x2说明：此题的关键是由所求抛物线与抛物线y22x的平移关系，得到a2例 6. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ；（ 1）在如下列图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（ 2）在正常水位的基础上，当水位上升hm优秀教案欢迎下载时，桥下水面的宽度为dm，试求出用d 表示 h 的函数关系式；（ 3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺当航行，桥下水面的宽度不得小于 18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺当航行？分析：（ 1）拱桥是一个轴对称图形，对称轴为图中y 轴，因此可知抛物线上一些特别点坐标，用待定系

12、数法可求解析式；（ 2）当水位上升时，抛物线与水面交点在变化，设为（式可得 d 与 h 关系式；d， h42）代入抛物线解析（ 3）依据逆向思维可求水面宽度为18m ，即 d 18 时，水位上升多少米？解： （ 1）设抛物线的解析式为y ax2，且过点（ 10， 4）4a× 102 ， a12512yx故25d， h4（ 2）设水位上升hm 时，水面与抛物线交于点（2）2h41 × d就254 d104h（ 3）当 d 18 时， 181040.7622.76h ， h0.76当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺当航行；说明： 要求抛物线的函数关系式，关键是确定其

13、上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式；此题第（ 2）小题中，仍可以求出抛物线上纵坐标为7 的点的坐标（有两个），再比较这两点间的水平距离是否大于4；y例 7. 求抛物线1 x 22x32 的顶点坐标写出对称轴与坐标轴交点坐标，当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大，当x 取何值时， y 随 x 的增大而减小？y1 x 2x3解：221 x12221 x222 x1132抛物线的顶点坐标是（1， 2），对称轴是直线x 1x 0， y令3 ，32抛物线与y 轴交点（ 0， 2 ）y 0，令1 x22x302的解为 x13，x21抛物线与x 轴交于点（ 3， 0），（ 1， 0）当 x1

14、时， y 随 x 的增大而增大，当x1 时， y 随 x 的增大而减小；2例 8. 已知抛物线yaxbxc 如下列图，直线x1 是其对称轴（ 1）确定 a，b，c，b24ac 的符号；（ 2）求证： abc0优秀教案欢迎下载（ 3）当 x 取何值时，y0 ，当 x 取何值时，y0 ；分析：（ 1）由抛物线的开口向下，得a0由抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，得c0b由2a0 ， a0 ，得 b0由抛物线与x 轴有两个不同的交点b 24ac0（ 2）由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x1当 x1时， yabc0（ 3）由图象可知，当3x1时， y0由 x3或x1时， y0例 9. 如图，半圆的

15、直径ac 2，点 b 在半圆上， cb不与 ca 重合， f 在 ac 上，且 ae bc，ef ac于 f，设 bc x， ef y，求 y 与 x 的函数关系式和自变量的取值范畴，并在直角坐标系中画出它的图象；分析： 求几何图形中的函数关系式，通常就是寻求自变 量与函数之间的一个等量关系式，可用几何的方法证aef acb得到比例式求出y 与 x 的函数关系式；解： ac 是直径，b 90°又 efac， b afe， a a aef acbaeefxy，即 acybc2x1 x 22当 b 为 abc 的中点时， e 与 b 重合，此时bc2 ，自变量 x 的取值范畴是0x2 ，

16、它的图象如下列图例 10. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000 千克，购进价格为每千克30 元，物价部门规定其销售单位不得高于每千克70 元，也不得低于30 元，市场调查发觉： 单价定为 70 元时，日均销售60 千克；单价每降低1 元，日均多售出2 千克，在销售过程中，每天仍要支出其它费用500 元（天数不足一天时，按成天运算），设销售单价为x 元，日均获利为y 元；（ 1）求 y 与 x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范畴；（ 2）将（ 1）中所求出的二次函数配方成ya xb 22a4 acb 24 a的形式， 写出顶点坐标， 在如下列图的坐标系中画出草图，观看图象，指出单

17、价定为多少元时日均获利最多，是多少？（ 3）如将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？分析： 第一明确获利的含义，即每千克获利销售单价购进单价， 其次留意自变量的取值范畴由此在画图象时只优秀教案欢迎下载能是原函数图象的一部分；在（3）中必需分别运算这两种销售方式的总获利，通过比较大小作答：解： （ 1）如销售单价为x 元，就每千克降低了（70 x）元，日均多售出2（70 x）千克，日均销售量为60 2（ 70 x） 千克，每千克获利（x 30）元；依题意得：y x30 60270x5002x 2260 x650030x70（ 2）由（ 1

18、）有 y2x 2260 x65002 x65 21950顶点坐标为（65， 1950），其图象如下列图，经观看可知，当单价为65 元时，日均获利最多是1950 元；（ 3）当日均获利最多时：单价为65 元，日均销售量为602706570kg那么获总利为1950×700070195000 1177000元，当销售单价最高时：单价为70 元，日均销售 60kg，将这批化工原料全部售完需60天，那么获总利为7030 × 7000117×500221500元，而 221500195000时且 22150019500026500 元；销售单价最高时获总利最多，且多获利265

19、00 元；（四）、智能训练（一）、细心选一选：练习四（二次函数）21.已知：抛物线yx6 xc 的最小值为1，那么 c 的值是（）a.10b.9c.8d.722.已知二次函数yax那么它的对称轴是直线（）bxc 的图象过点（ 1， 1），（ 2， 4），（ 0，4）三点，a. x3b. x1c. x1d. x32223.一个二次函数的图象过（1，5），（ 1， 1）和（ 3， 5）三个点，就这个二次函数的关系式为（）2a. yx2 x2b. yx2 x2c. yx2 x1d. yx2 x224.已知函数yaxbxc 的图象如图1，就此函数的关系式为（）2a. yx2 x2c. yx2 x3 b

20、. yx2 x3223 d. yx2 x35.以下命题中，错误选项（）2a.抛物线 yx1不与 x 轴相交yx 23x 的图象关于直线x38 对称b.函数yc.抛物线1 x 221与y1 x21 2外形相同，位置不同优秀教案欢迎下载d.抛物线 y22 x3x经过原点26.已知函数yaxb 的图象经过第一、二、三象限，那么yax致为（）bx1 的图象大（二）、细心填一填27.抛物线 ya xhk 与 yax 2 外形 ，位置 ；当 a>0 时，抛物线的开口 ；当 a<0 时，开口 ；28.抛物线 ya xkm 的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ；29. yax2bxc ，配方后可得到y=

21、 ；因此，抛物线yaxbxc 的对称轴是 ，顶点坐标是 ；y10.抛物线1 x 22向上平移两个单位，就抛物线的解析式为 ，它的顶点坐标为 ，它的对称轴方程为 ；11.抛物线 y3x 2 的图象向右平移2 个单位，那么抛物线的解析式为 ，顶点为 ，对称轴为 ；0，112.假如函数 y2 x 24xc的图象过6，就 c 的值为 ；13.假如函数yax 24x16 的图象的顶点的横坐标为1，就 a 的值为 ；214.把二次函数yx3x（三）、专心做一做：210 化成 ya xhk 的形式，结果是 ；15 依据以下条件，求二次函数的解析式（ 1）图象经过点（1， 3），（ 1， 3），（ 2，6）（ 2）抛物线顶点坐标为（1， 9），并且与y 轴交于（ 0， 8）