代数基本定理的证明方法研究(论文)

1、青岛科技大学本科毕业设计（论文）前 言代数学基本定理在代数学中占有十分重要的地位，而在整个数学界中也起着基础作用。代数学基本定理有两种等价的陈述方式。第一种陈述方式为：“任何一个一元次复系数多项式（，）在复数域内至少有一根”，它的第二种陈述方式为：“任何一个一元次复系数多项式（，）在复数域内有个根，重根按重数计算”。尽管这个定理被命名为代数基本定理，但，迄今为止，该定理尚无纯代数方法证明。数学家J.P赛尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。美国数学家John Willard Milnor在数学名著从微分观点看拓扑中给了一个证明，是几何直观的，但其中用到了和临界点测度有关的萨尔德定

2、理。在复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中运用了很多经典的复变函数的理论成果。代数基本定理的第一个证明是由法国数学家达朗贝尔给出的，但其证明是不完整的。紧接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷。严格来说，第一个完整的证明是数学家高斯给出的，他在分析了拉格朗日的证明方法以后于1799年给出的，他是运用的纯解析的方法证明。而后，到高斯71岁时，共给出了四种证明方法。十九世纪七十年代，数学家H.W.Kuhn对于该定理给出了引人注目的构造性证明，这种方法的数学形象极好，并已实际用于复系数代数方程求根，堪称不动点算法的范例。如果将复数域理解为复平面，将（，）的根理解为它在复平面上的零点，

3、那么就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理。这种证明方法比较简洁，方法也有多种。近年来，诸多数学家又给出了其它的证明方法，例如2003年翁东东对代数基本定理进行了多种方法的分析，并给予了形象的证明。他并没有采用常用的刘维尔定理和儒歇原理运用复变函数的方法进行证明，而是采用了初等方法证明了代数基本定理，说明可不用复变函数理论中的有关概念和定理进行证明该定理。本论文结合有关知识点，主要目的是归纳总结代数基本定理几种代表性的证明方法。第一章运用复变函数理论中的柯西定理、刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最大模原理、最小模原理、留数定理来证明代数学基本定理，并对这些证明方法进行说明、比较与总结。第

4、二章主要介绍了翁东东的初等方法的证明。第三章介绍了Kuhn的两个构造性的证明方法。第四章简单介绍了高斯的纯解析证明方法。1代数基本定理的复变函数理论证明将复数域理解为复平面，将（其中，）的根理解为它在复平面上的零点，那么就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理。这种证明方法比较简洁，方法也有多种。本章主要针对于代数基本定理的两种陈述方式，运用复变函数理论中的柯西定理、刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最大模原理、最小模原理、留数定理来证明代数学基本定理，并对这些证明方法进行说明、比较与总结。1.1代数学基本定理的第一种陈述方式的证明代数学基本定理的第一种陈述方式为：任何一个一元次复系数多项式

5、（其中，）在复数域内至少有一根。1.1.1利用柯西定理证明 柯西于1825年给出了复变函数的积分和积分路径无关的条件，它是研究解析函数理论的基础，是复变函数的基本定理定理1.1.1（柯西定理） 设函数在整个平面上的单连通区域内解析，为内任何一条简单闭合曲线，那么。证明：设所围成的区域是，取一个四边平行于坐标轴的矩形，把包含在内。用线段连接矩形对边的中点，最多可把分成四块。不妨设分成，四块。由于沿的积分等于沿这四块区域边界积分的和，所以必有一块边界上的积分，满足用的同样的方法把分成四块，其中必有一块使得把这种做法一直进行下去可以得到曲线内的一串矩形区域或矩形被曲线截得的区域，使得 存在唯一一点属

6、于每个或，而且时，。因为在有导数，所以对任何，当与充分接近时，因为，所以当充分大时， 设最大矩形的周长是。当充分大时，对于，有的周长，所以 ，由以上两式得因为为任意正数，所以。基本定理的证明:设，其中，。假设在复平面上无零点，即对任意，有，于是在平面解析，由柯西定理 （其中是圆周） (1-1)另一方面，=其中函数满足当时，一致趋于零。又因为， （） (1-2)故，比较(1-1)与(1-2)得，这与定理的条件矛盾，所以在平面上至少有一个零点，即一元次方程在复数域内至少有一个根。 证毕。1.1.2利用刘维尔定理证明刘维尔定理是复变函数论中的一个著名定理，在复变函数中有着广泛的应用。下面介绍其内容及

7、运用该定理证明代数基本定理的方法。定理1.1.2（刘维尔定理） 有界整函数必为常数。证明：是有界整函数，即存在，使得对任意的，因此任意的及任意的,在上解析，从而有，令，可见对任意的，从而在复数域上恒等于常数。基本定理的证明:假设在平面上无零点。则为整函数且当时，。令，则也是整函数。又因为，所以在整个复平面上有界。由刘维尔定理知为常数，与不是常数矛盾。因此一元次方程在复数域内至少有一个根。 证毕。刘维尔定理的应用非常广泛。用刘维尔定理做证明题时常见的方法有两种：一种是利用反证法来证明，另一种是构造辅助函数来证明。而在刘维尔定理证明代数学基本定理的过程中巧妙地把这两种方法结合了起来。它的证明思路很

8、清晰：利用反证法，并构造辅助函数，由为整函数且在复数域上有界，得到为常数，这与假设相比得出矛盾，从而得出结论一元次方程在复数域内至少有一个根。它的证明过程也很简洁，很容易让初学者理解和掌握。1.1.3利用最大模原理证明最大模原理在复变函数理论中也是很重要的定理，它深刻反映着解析函数的性质。下面介绍运用该定理证明代数基本定理的方法。定理1.1.3（最大模原理） 设函数在区域内解析，且恒不为常数，则在区域内任意点都取不到最大值。证明：假定在内不恒等于一常数，那么是一区域。设在达到最大值。显然，且必有一充分小的邻域包含在内，于是在这邻域内可找到一点满足，从而在内有一点满足以及，这与题设矛盾。因此在内

9、恒等于一常数。基本定理的证明:假设在复平面上没有零点，即，则在平面上解析。显然当且充分大时有因此，在上且充分大时，有，从而由最大模原理，有 特别地，在处，有。而这对于充分大的显然不成立。这就说明了“在平面上没有零点”的假设是不成立的，从而可以得到在平面至少有一个零点，即一元次方程在复数域内至少有一个根。1.1.4利用最小模原理证明 最大模定理和最小模定理都是描述解析函数的重要特性的定理，但用最小模定理可更为简单地证明代数基本定理。定理1.1.4（最小模原理） 若解析函数在区域内不恒为常数，且在内的点有，则不可能是在内的最小值。证明：假设是在内的最小值，即。已知在内解析且不为常数，由保域定理知：

10、为平面上的区域。因，则存在，又，因此存在满足，故存在，使得， ，这显然与为在内的最小值矛盾，所以不可能是在内的最小值。基本定理的证明:设，假设对，有，并且。又因为在复平面上解析，且不为常数，所以由最小模原理知：对于，只能在上取得 (1-3)另一方面，从而当充分大时，在上有，则这与(1-3)式矛盾，所以假设不成立。即在复平面上至少存在一个零点，亦即一元次方程在复数域内至少有一个根。 证毕。最小模原理与最大模原理在证明代数学基本定理的时候的证明方法是极其相似的：首先都是假设一元次方程在复数域内无零点，然后通过在区域内某一点能取到最大值或最小值，但是却不是常数，与定理的内容产生矛盾，从而得出一元次方

11、程在复数域内至少有一个根。这两个定理证明的关键之处是找到在区域内能达到最大值或最小值的某一点，如果找到了这一点，那么我们所要解决的问题就会迎刃而解了。以上四种证明方法均采用反证法，假设一元次方程在复数域内无零点，通过证明，得到的结论都是：一元次方程在复数域内至少有一个根。1.2代数学基本定理的第二种陈述方式的证明代数基本定理第二种陈述方式为：任何一个一元次多项式（其中，）在复数域内有个根，重根按重数计算。1.2.1利用留数定理证明在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。定理1.2.1（留数定理） 设是在复平面上的一个有界区域，其边

12、界是一条或有限条简单闭合曲线。设函数在内除去有孤立奇点，外，在每一点都解析，并且它在上每一点也解析，则有，这里沿闭曲线的积分是按照关于区域的正向取的。证明：以内每一个孤立奇点为心，作圆，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从中除去以这些为边界的闭圆盘得一区域，其边界是以及。在及其边界所组成的闭区域上，解析。因此由柯西定理， ，这里沿的积分是按照关于区域的正向取的，沿的积分是按反时针方向取的。根据留数的定义，由此可立即推出。基本定理的证明:设，其中，由知，存在正数，当时，有，这就是说的根只可能在圆盘之内，又因为在内解析，由留数定理得，表示在内部的零点个数，

13、另一方面，根据无穷远点多个的留数定义，有=而当时，为的可去奇点，于是有，其中的最高次幂为，所以，因此有。故在复平面上有且仅有个根。 1.2.2利用辐角原理证明 辐角原理为确定解析函数零点个数提供了一个有效的工具。定理1.2.2（辐角原理） 设在闭围线上解析，在其内部除了个极点外解析，在上不为零，则在内零点的个数等于。基本定理的证明:设（）显然，有唯一奇点，它是的级极点，即，所以，作一个充分大的圆，充分大，则的所有零点都在内，设的全部零点个数为，由辐角原理（其中）下面需证：显然，由上式有 (1-4)而其中以无穷远点为不低于级的零点。从上式可知关于无穷远点的留数为，因此，由(1-4)可知，即证。1

14、.2.3利用儒歇定理证明 儒歇定理是复变函数的一个重要定理，主要用于计算一个复变函数在复平面一个区域中解的数目，下面运用该定理来证明代数基本定理。定理1.2.3（儒歇定理） 设是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭合曲线。设函数及在及所组成的闭区域上解析，并且在上，那么在上，及的零点的个数相同。证明：由于在上，可见及在上都没有零点。如果及分别是及在内的零点的个数，那么有， 下面证明,为此只需证明当时，从而点，总在平面上的圆盘内，当在上连续变动一周时，从起始值连续变动仍然回到它的起始值（不围绕）,亦即，于是得证，从而定理得证。基本定理的证明:设，（）令，当在充分大的圆周：上时（不

15、妨取）由儒歇定理：与在内部有相同个数的零点，即个零点。所以原方程在复数域内有且仅有个根。 证毕。这个证明的突破点在于取，之后就能顺利地得到，然后由儒歇定理就能得到结论：原方程在复数域内有且仅有个根。这三种证明方法都是采用直接证明的方法，得出代数学基本定理的第二种陈述方式：“一元次复系数多项式（其中，）方程在复数域内有且仅有个根”。2代数基本定理的初等方法证明 本章采用了初等方法来证明代数基本定理，说明可不用复变函数理论中的有关概念和定理进行证明该定理。主要是针对于代数基本定理的第一种陈述方式（即任何一个一元次复系数多项式（其中，）在复数域内至少有一根）来证明的，为此需要先证明几个引理。引理2.

16、1 设是复系数多项式，其中 ，令，则当时，有。证明：（数学归纳法）当 时,当时， 因此时命题成立。设时成立，即当时，有当时， 由数学归纳法,命题得证。引理2.2 设是复系数多项式,， 则必存在，使。证明：设,。取，使，。 由引理2.1，取，则 ，令则 (2-1)）由(2-1)式易得 ，故。推论2.1 设是复数域上多项式,， ， ，则存在，使得。证明： 因为为次多项式，所以。令，由泰勒公式而 。所以， 不全为零。设第一个不为零的是 则因而上式是关于 的多项式,由引理2.2,选取,使，即引理2.3 是复多项式,任给 ,则存在,当时，有。证明：当，时， 取，则当时，有。基本定理的证明： 设(1) 任

17、取复数，使,(若取不到 ,则结论已成立)。(2)取 ，使。由引理2.3,存在 ,当 时,有 (2-2) (3)可使。 连续函数在有界闭区域上可达到最小值。即当时，有 (2-3) 由(2)知，从而。否则，由引理2.2，可取复数，使得 (2-4) 由(2-3)式：从易得。于是从(2-2)式得出,与(2-4)矛盾。故,即至少有一个零点。用初等方法证法是先对多项式系数进行充分分析和论证, 再应用泰勒公式和连续函数的性质, 通过对复数域上点的取法进行充分的讨论和论证,得出结论。3代数基本定理的Kuhn的构造性证明 Kuhn关于代数基本定理的构造性证明引人注目，Kuhn方法的数学形象极好，并已实际用于复系

18、数代数方程求根，堪称不动点算法的典范。本章对Kuhn的方法作一介绍。3.1 Kuhn的1974年的证法 从几何上看，多项式函数是复数平面到复数平面的一个变换。Kuhn方法的指导思想是：对平面进行三角剖分，寻求在变换之下三个顶点的象在平面上包围着原点的那种三角形。当剖分加细时，这种三角形的极限点就是多项式的根。3.1.1标号法设是由确定的映射。诱导出的标号法：如下： ，这时， 我们说是由标号的。3.1.2完全标号三角形及其与多项式根的关系 称平面三角剖分中的一个三角形为完全标号三角形，如果，容易证明命题3.1.1 若是由标号的完全标号三角形，其直径为，那么，对，成立，这里，常数被完全确定。3.1

19、.3三角剖分设，对复数平面用直线族， ，进行三角剖分，这里， ， 为整数。 在这个剖分中，记，的意义见3.1.5。3.1.4算法过程 在平面上取正的定向。平面的定向诱导出的边沿的一个定向。算法过程可描述为下述命题及其证明。 命题3.1.2 如果上存在标号(1,2)的棱而没有标号(2,1)的棱，内包含完全标号三角形。这是因为：设想有一条藤从(1,2)这个棱出发向 内按照遇到有1和2两个标号的棱就穿过去的规则生长。显然，这个生长过程的每一步都走到一个新的三角形，并且，沿前进方向，总是标号1的顶点在左，标号的顶点在右。如果藤生长到某个有一个顶点标号为的三角形，那么完全标号三角形已找到。否则，藤就要没

20、完没了地穿行下去，每步都走到新三角形，但内三角形数目有限，所以藤就要穿过走出，此时，出口就是上的一个(2,1)棱，与所设矛盾。基本定理的证明：注意，变换将高度对称地在平面上绕行原点圈，而,当。按照3.1.4的算法过程，容易证明。命题3.1.3 存在 ，使得对所有充分大的，上至少有一个(1,2)棱而没有(2,1)棱，因而每个都包含一个完全摆好三角形。现在，令，因，固定，有。由命题3.1.2，诸的聚点是多项式的一个根。这就得到代数基本定理的一个构造性的证明。3.2 Kuhn的1976年的证法3.2.1半空间的一个部分记，整数。给定，对平面，用直线族， 进行三角剖分。对平面，用直线族 进行三角剖分，

21、越往上，剖分越细。在复平面剖分的基础上与间的一个方块,，与之间剖分，得到半空间的一个单纯剖分。 3.2.2标号法，如3.1.1对 进行标号，而上的顶点，由幂函数标号。由此易证。命题3.2.1 当时，上，正好有个(1,2)棱而没有(2,1)棱，外没有完全标号三角形。由此，等到一个只依赖于次数而不依赖于具体多项式的计算出发点。3.2.3 算法 取定。从上的个(1,2)棱出发，向内寻找(1,2,3)三角形。然后，按照“遇到(1,3,2)三角形就穿过去”的规则，计算序列向空中发展。如果所遇到的(1,3,2)三角形在平面上（因而就在内），那么，(1,2,3)三角形，然后重新向空中发展。显然，每个计算序列

22、都在以为轴的半径的大圆筒内无限发展，不相交，不分叉，因而必须无限向上发展。每向上一层，误差就缩小一半，也就是说，每向上一层，都利用了“先一层”的计算结果，只要足够大，就能算得满足任何精度要求的根。这里，如同3.1中的基本定理的证明，但与已不相干，保证了算法的规范化处理。Kuhn算法的实施，是一种顶点替换的过程：从这个三角形（四面体）到下一个三角形（四面体）。每次只替换一个顶点。现在的算法可以描述为：现在的算法可以描述为从只依赖于的出发，个计算序列以的增大为标志，可以任意接近多项式的个根。从构造性证明的角度来讲，新算法在逼近多项式根的动态形象亦较之前出色。按照Kuhn算法编制的一次算出任意复余数

23、多项式全部根的算法程序，在数值试验中取得令人满意的结果，并可以存入计算中心应用软件库，供用户调用。4代数基本定理的纯解析证明（高斯） 高斯曾用多种方法证明代数基本定理，他于1797年曾向友人说明关于这一定理的最初证明，下面给出的这个证明是1816年发表的纯解析证明，其证明清晰优美。4.1代数学基本定理的纯解析证法我们需要证明系数为实数的多项式 (4-1)至少有一个（实数或复数）解，使。令 ， (4-2)因而如果处处不为零，函数 （在有限平面上）应是处处连续和可微的，只要作为分子的函数具有这样的性质（分母应是非零的）。在这种情况下可以运用人们较为熟悉的实分析定理，在以半径，圆心在原点处的圆上面，

24、计算积分 (4-3)的值。首先可以从到对半径积分，然后从到对积分，或采取相反的次序。的值与积分次序是无关的。如果能表明，对于某个特定的函数，计算(4-3)式时会因积分次序不同而导致结果不同，那就表明假设不成立。而如果能证明确存在这种情况，那么代数基本定理也就可以从反面得到证明了。为做到这一点，引入以下定义：， ， ， (4-4)由(4-4)所规定的量分别与所给函数的实部与虚部有关： ， (4-5) (4-6)这里 ， (4-7)我们进一步注意下述关系：， ， ， (4-8)这种关系很容易从(4-4) (4-5) (4-6)和(4-7)推到出来。最后引入下列辅助定义： (4-9)和 ， (4-10)这里 是一个满足不等式 ， (4-11)的正实数。对于这种选择， 、 、 和 的值总是正的。以为例，可以立即看到这一点。如果把写成下面的形式 (4-12)由于，且(4-11)成立，那么(4-12)中没有一项是负的。另外，很明显这些项不会全都为零，所以总是正的。用类似的方法，可以证明，也总是正值。下面我们再来看，如果，那么由(4-4)、(4-5)定义的，和所应