平面几何地26个定理

1、高一数学竞赛班二试讲义第1讲平面几何中的26个定理姓名班级 一、知识点金1. 梅涅劳斯定理： 若直线丨不经过 ABC的顶点， 并且与JABC的三边BC,CA,AB或它们的延长线分别交于PQR，则聖CQ AR =1PC QA RB注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2. 塞瓦定理： 设P,Q,R分别是 ABC的三边BC,CA,AB或它们的延长线上的点,若AP, BQ,CR三线共点，则BP CQ AR =1PC QA RB注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理： 在四边形 ABCD中，有AB CD - BC AD _ AC BD，并且当且仅当四边形 ABCD内接于圆时，等式成立。证：

2、在四边形 ABCD内取点E,使.BAE =/CAD, ABE =“ACDab be贝y： . ABE禾和 ACD相似-= AB CD =AC BEAC CD又：AB =AE 且 BAC "EAD . ： ABC和：AED相似AC ADBC ED AD BC 二 AC EDAC AD.AB CD AD BC =AC (BE ED).AB CD AD BC _ AC BD且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当 A B、C、D四点共圆时成立;4. 西姆松定理：若从.ABC外接圆上一点P作BC, AB,CA的垂线, 垂足分别为D,E,F，则D,E,F三点共线。西姆松定理的逆定理：从一点P

3、作BC, AB ,CA的垂线，垂足分别为 D,E,F。若D,E,F三点共线，则点P在ABC的外接圆上。5. 蝴蝶定理：圆0中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB, CD弦AD与BC分别交PQ于 X, Y,贝U M为XY之中点。证明：过圆心0作AD与BC的垂线，垂足为 S、T, 连接 OX OY, OM SM, MT/ AMOA CMB AM/CM=AD/BC/ AS=1/2AD, BT=1/2BC AM/CM=AS/CT又/ A=Z CAMOA CMT/ MSXM MTY/ OMXW OSX=90OMX乂 OSX=180 O, S, X, M四点共圆同理，O, T, Y, M四点共圆/ MTY

4、2 MOY / MSXM MOX/ MOX/ MOY,/ OML PQ XM=YM注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立6. 坎迪定理：设AB是已知圆的弦， M是AB上一点，弦CD,EF过点M，连结CF,ED，分别交AB于L,N，贝卩LM MN AM MB7.斯特瓦尔特定理：设P为 ABC的BC边上任一点，则有AP2 =AB2 匹 AC2BC聖- BC2 BPBCBCPCBC注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立8.张角定理：设A,C,B顺次分别是平面内一点 P所引三条射线 AB,AP, AC上的点，线段AC,CB对点P的张角分别为：，1，且180，则A,C, B三点共线的充要条件是:sin

5、(:; T ) sin ： sin :=十PC PB PA9 九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点， 共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。ABC的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是AABC的外接圆半径的1。2证明：AABC的九点圆与 ABC的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为 内位似中心。位似比均为 1: 2。10.欧拉线：ABC的垂心H，重心G，外心O三点共线。此线称为欧拉线，且有关系：HG =2GO 11欧拉公式：设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为R和r，则这两圆的圆心距OI 二 R(R-2

6、r)。由此可知， R_2r。证明：设外心为O，内心为I，连结OI，延长交外接圆于 N,P两点，令d =OI , AI交外接A r圆于 L,贝 U (Rd)(R d)二 Nl IP 二 LI IA 二 LB IA =2Rs in2Rr2. Asin212.笛沙格定理；在 ABC和 ABC中，若AA,BB ,CC相交于一点O，则AB与AB ', BC与 BC , AC与AC 的交点F,D,E共线。证明：OBC和梅尼线BCD , OBBD CC1 ； QAB和梅尼线ABF , OA BB1 ;BBDC COAAFB B*OCL CE AAbd CE AFOAC和梅尼线ACE , CC1，三式

7、相乘，得AS =1o得证CC EA AODC EA FB13 .牛顿（Newton）定理 1:圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。证法1:设四边形 ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H.首先证明，直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点1,1'.显 然/ AHI =/ BFI '，因 此 易 知AI'*HI'/FI'*CI'=S（A I' H）/S（CI'F）=AH*HI'/CF* FI'故 AI'/CI'=AH/CF.同样

8、可证:AI/CI=AE/CG又 AE=AH,CF=CG. 故 AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.从而1,1'重合.即直线 AC,EG,FH交于一点.同理可证：直线BD,EG,FH交于一点.因此直线AC,BD,EG,FH交于一点。证法2:外四边形为 ABCD对应内切四边形为 EFGH连接EQ FH交于P。下面证明BD过P即可。过D座EG的平行线交BA与S,过D做FH的平行线交BC于 T。由于弦切角及同位角，角 BEG= 角CGE角CDS角 BSD所以SEGD四点共圆，且为等腰梯形。设此圆为圆M圆M与圆0,内切圆交于EG所以其根轴为 EG同理对圆N, DHFT与圆0交

9、于HF。HF为此两圆的根轴。由根轴定 理，只需证明 BD为圆M与圆N的根轴即可证明 BD, EG HF共于点P。D 在圆M和圆N上，所以其为根轴一点。由于SEGD和DHFT为等腰梯形，所以ES=DGDH=FT 由切线长定理，DH=DG BE=BF所以BE=BF ES=FT BS=BT若B为圆M与圆N的根轴上一点， 则BE*BS=BF*BT其为割线长。明显等式成立。所以BD为圆M与圆N的根轴，则BD, EG HF共于点P。同理AC EG HF共于点P。命题得证。14.牛顿（Newton）定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。证明：设四边形 ABCD是O I的外切四边形，

10、E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F ,即只需证厶 BEI与厶DEI面积相等。一 D显然，SA BEI=S BIC+S CEI-S BCE,而 SA DEI=S ADE+牡 AIE-S AID。注意两个式子，由ABCD外切于O I , AB+CD=AD+BC SA BIC+S AID=1/2*S 四边形 ABCD S ADE+S BCE=1/2*S ACD+1/2*S ABC=1/2*S 四边形 ABCD即 SA BIC+S AID=S ADE+SA BCE 移项得 SA BIC-S BCE=S ADE-SA AID ,由 E 是 AC 中 点，SA CEI=S A

11、AEI ,故 SA BIC+S A CEI-S A BCE=SA ADE+S AIE-S A AID ,即 SA BEI= A DEI, 而F是BD中点，由共边比例定理 El过点F即EF过点I,故结论成立。15.牛顿（Newton）定理3 :完全 四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对 角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。E/rR,L,Q共线，N,P,Q共线，三式相乘得：QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FCQL/LR=EAAB ; M,R,P 共线，RM/MP=CD/DEPN/NQ=BF/FC。/SrQL/LR*RM/MP*PN/

12、NQ=1PQR及梅尼线LMN由梅涅劳斯定理的逆定理知L, M, N三点共线。16布利安双 定理：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点。在此， 提供用初等几何证明外切于圆的情形。记六边形为 ABCDE外切于圆 0, AB, BC CD,DE,EF,FA上的切点分别是 G,H,I,J,K,L. 设AB,DC交 于X,AF,DE交于Y.则四边形AXDY外切于圆0,切点分别是 G,I,J,L 。圆外切四边形对边切点连线 与主对角线交于一点，有AD,GJ,LI共点（记为点P）。同理，BE,GJ,KH共点（记为点r）,CF,LI,KH共点（记为点q则命题可转为证明 DP,BR,FQ共

13、点。17 拿破仑定理：若在任意三角形的各边向外作正三角形。则它们的中心构成一个正三角形。证明：设等边 ABD的外接圆和等边厶 ACF的外接圆相交于 O连AO CO BQ / ADB=/ AFC=60 ;/ A、D、B O 四点共圆；A、F、C、0四点共圆； / AOB=/ AOC=120 ; / BOC=120 ;/ BCE是等边三角形 / BEC=60 ; B、E、C、0四点共圆；这3个等边三角形的外接圆共点。设等边 ABD的外接圆O N,等边 ACF的外接圆O M等边O四点共圆；A、F、C O四点共圆，/ AOB=/ AOCM BOC=120 ;BO CO AO是公共弦；AO CO BO

14、/ A、D、B、/ ADB=/ BEC=60 ;/ NP、MP MN是连心线； 于Y;AOL NM于 Z。BCE的外接圆O P相交于 O连B、E、C、O四点共圆，/ AFC= BO丄 NP于 X;COL MPZ、N、X、O四点共圆;Y、M Z、O四点共圆; 即 MNP是等边三角形。 X、P、Y O四点共圆； / N=Z M=/ P=60°18.帕斯卡（Pascal ）定理：如图，圆内接六边形 ABCDE的边AB DE的延长线交于点 G边BC证明： 四边形 ABCD,ABA CD=E,ADA BC=F,BD 中点 M,AC 中N 取 BE 中点 P,BC 中点 R,PNQ CE=Q点L

15、,EF中点7Z7tf MUNH .，1直线BC截 LM MN NL于B、C、H三点，则 MB NC LH 直线 DE截 LM MN NL于 G D、E三点，贝U |LG|/|MG|.|MD|/|ND|.|NE|/|LE|=1LA MK NF直线AF截LM MN NL于A、K、F三点，则就 ”' LF isea_ara m?nd=1 = 1连 BE 则 LA LB=LF- LE,.。同理，. 一 。7VBLG MK :.=1将相乘，得J'点H G K在ALMN的边LN、LM MN的延长线上，二 H、G K三点共线。19 蒙日定理(根心定理)：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线

16、，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。注：在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幕相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。另一角度也可以称两不同心圆的等幕点的轨迹为根轴，或者称作等 幂轴。(1) 平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；(2) 若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线;(3) 若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；莫雷角三分线定理：将三角形的三个内角三等则这样的三个交点可以构成一个正三角形。Adt/ / I x / 亠 /- I8 *7 D r7込c证法20 .莫利定理(Morley's theorem ),也称

17、为分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，这个三角形常被称作莫利正三角形。在厶ABR中，由正弦定理，得 ABC外接圆直径为 1，则由正弦定理，知AR=csinc=sin3 y/sin(60° - y )=sin 3 *sin 丫 (3-4sin人2y(V 3cos y +sin 丫)=4sin 3 sin 丫 sin ( 60 ° + 丫).在厶ARQ中,由余弦定理,得 RQA2 =16si门人2)/1/2(o3 /sin(，所以V 3cosAR=不失一般性,(sin3Y -sin y )= 同理,AQ=4sin 3 sin3 sinA2 y si门人2 (60+(60

18、° + 3 )-2si n(60° +丫 )*si n ( 60 ° + 3) cos a =16si 门人2是一个关于a,3, 丫的对称式，所以 PQR是正三角形。同理可得PQA2 , PRA2a sinA2 3 si门人2有相同的对称性，故证法/ AE： AC=sin丫： sin (a + y),AF:AB=sin 3： sin (ay *sin 3)2sin 3 sino丫 sin(60y )+si门人2这PQ=RQ=PR,3),AB： AC=sin3 丫： sin3 3,/ AE:AF= ( ACsi n (a +丫)/sin y) ： ( ABs in

19、(a+ 3) /sin3),而 sin3 y： sin3 3 = ( sin 丫 sin(60 ° +丫 )sin(60-3 ), AE： AF=sin(60 ° + 丫 ) : sin(60 ° + 3 ), 同理/ CED=60° +a,DEF=60°,21 斯坦纳一莱默斯定理：-丫 ) ):( sin 3 sin(60° + 3 ) sin(60在厶 AEF 中，/ AEF=60° +丫， DEF为正三角形。如图，已知 ABC中,两内角的平分线 BD=CE求证：AB=ACo证法 作/ BDF=Z BCE并使DF=BC/

20、 BD=ECBDFA ECB,BF=BE, / BEC=Z DBF.设/ ABD=Z DBC=a , / ACE=Z ECB=3,/ FBC=Z BEC+a =180 ° -2 a - 3 + a =180 ° -( a + 3 )；/ CDF=ZFDB+Z CDB=3 +180-2 3 - a =180 ° -( a + 3 );/ FBC=Z CDF,/ 2a +2 3 <180 a + 3 <90/ FBC=Z CDF>90°过C点作FB的垂线和过 F点作CD的垂线必都在 FB和CD的延长线上设垂足分别为 G H; / HDF=Z

21、 CBG; v BC=DF, Rt CGB Rt FHD, CG=FH,BC=FD 连 接 CF, / CF=FC,FH=CG, - Rt CGFA FHQ HL) , FG=CH,又 v BG=DH,. BF=CD,又 v BF=BE, CD=BE v BE=CD,BC=CB,EC=DB, BECA CDB,ABC=Z ACB AB=AC.证法 设二角的一半分别为 a、3,sin(2a + 3 )/ sin2 a = BC/CE = BC/BD = sin( a +23 )/ sin23 , 2si na cos a Sin(a +2 3 ) - 2sin3 cos 3 sin(2 a +

22、3 ) =0t sin asi n2(a + 3 )+sin 23 - sin3 sin2 (a +3)+ sin2 a =0t sin2(a+ 3)sina -sin3 +2 sin asin 3 cos 3-cosa =0t sin(a-3 )/2sin2(a + 3 )cos( a + 3)/2+ 2 sin a sin 3 sin ( a +3 )/2=0 sin(a-3)/2=0 a = 3 , AB=AC.证法 用张角定理： 2cos a /BE=1/BC+1/AB ,2cos 3 /CD=1/BC+1/AC ,若a >3 可推出 AB>AC矛盾！若a <3 可推

23、出 AB <AC矛盾！ 所以AB=AC22 费尔马点：费尔马点一一就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点。对于一个顶角不超过120度的三角形，费尔马点是对各边的张角都是 120度的点。 对于一个顶角超过120度的三角 形，费尔马点就是最大的内角的顶点。证明： 在平面三角形中：(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向 三角形外侧做正三角形 ABC1,ACB1,BCA1然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点 P,则点P就是所 求的费马点(2).若三角形有一内角大于或等于 120度，则此钝角的顶点就是所求.(3)当 ABC为等边三角形时，此时

24、外心与费马点重合(1)等边三角形中BP=PC=PABP、PG PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心BPC CPAA PBAo(2)当BC=BA旦CAM AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。证明 (1)费马点对边的张角为 120度。 CC1B和 AA1B 中,BC=BA1,BA=BC1,Z CBC12 B+60 度=/ ABA1, CC1B和 AA1B是全等三角形，得到/ PCB玄 PA1B 同理可得/ CBP玄 CA1P 由/PA1B+Z CA1P=60 度，得/ PCB+Z CBP=60 度,所以/ CPB=120度同理,/ APB=12

25、0度，/ APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1 将厶 BPC以点B为旋转中心旋转 60度与 BDA1重合，连结PD,则厶PDB为等边三角形，所以/ BPD=60度 又 / BPA=120度，因此 A P、D三点在同一直线上，又/ CPBN A1DB=120度，/ PDB=60度，/PDA仁180度，所以 A、P、D、A1四点在同一直线上，故 PA+PB+PC=AA1 (3)PA+PB+PC最短 在厶ABC内任意取一点 M (不与点P重合)，连结AM BM CM将厶BMC以点B为旋转中心旋转 60 度与 BGA1重合，连结 AM GM A1G(同上)，贝U AA1<A1G+GM+

26、MA=AM+BM所以费马点到三个顶 点A、B、C的距离最短。平面四边形费马点平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。(1)在凸四边形 ABCD中，费马点为两对角线 AC BD交点P。(2)在凹四边形 ABCD中，费马点为凹顶点 D( P)。23. 等差幕线定理：已知A、B亮点，则满足 AP? -BP2 =k(k为常数)的点P轨迹是垂直于 AB的一条直线。24. 婆罗摩笈多定理若圆内接四边形 ABCD的对角线相互垂直，则垂直于一边CD且过对角线交点E的直线EF将AB平分对边。C25. 莱莫恩(Lemoine)定理：过 ABC的三个顶点 A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC

27、CA AB所在直线交于 P、Q R,贝U P、Q R三点共线。直线 PQR称ABC的莱莫恩线。9A R A *.1/7V z/ 1Bo证明：由弦切角定理可以得到：sin / ACR=sin/ ABC , sin / BCR=sin/ BACsin / BAP=sin / BCA sin / CAP=sin / ABCsin / CBQ=sin/ BAC sin / ABQ=sin/ BCA所以，我们可以得到：(sin / ACR/sin / BCR)*(sin / BAP/sin / CAP)*(sin / CBQ/sin / ABQ)=1, 这是角元形式的梅涅劳斯定理，所以，由此，得到ABC被直线PQR所截，即P、Q R共线。26 .清宫定理： 设P、Q为仏ABC的外接圆上异于 A、B、C的两点，P关于三边 BC、CA AB 的对称点分别是U、V、W，且QU QVQW分别交三边BC、CA AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上证明：设P、QABC的外接圆上异于 A、B、C的两点，P关于三边 BC CA AB的对称点分别是UV、W且QU QVQW分别交三边BCCA、AB或其延长线于