第八章多元函数微分学

1、第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学1. 1. 多元函数的基本概念多元函数的基本概念1.一些点集知识）邻域1即邻域，记作的称为点的全体，的点距离小于与点是某一正数，面上的一个点是设, ),(),(),(,),(00000000mumyxmyxmxoyyxm202000)()(| ),(),(yyxxyxmmmmu),(000mum 的去心邻域记作点202000)()(0| ),(),(yyxxyxmu即.,(), bmeu meme若且使得该邻域内的点都不属于则称为 的外点。的邻域或去心邻域。点来表示或时，用不强调邻域半径0000)()(mmumu2)内点、外点、边界点是平面上的一个点。

2、是平面上的一个点集，设me.,(), (),ameu meu meme若且使得该邻域内的点都属于即则称为 的内点。的边界点。为的外点，则称的内点又有该邻域内既有且或若emeemuememc ),(,.eeeeee若 的点都是内点，则称为开集。若 是开集且连通（即对于 内任意两点，都可用全部落在 内的折线相连接），则称为开区域。3)区域mmm1( , )dm x ydfzfdf定义 ：设是平面上的一个点集，如果对于每一个点，按照对应法则有唯一确定的值 与之对应，则称为二元函数，为的定义域。d开区域连同它的边界（边界点的全体）称为闭区域。开区域、闭区域统称为区域，常用字母表示。2.多元函数概念）二

3、元函数1( , )( , )zf x yfx y通常用表示在点取值。12( , , )( ,)nuf x y znuf x xx类似地可以定义三元函数元函数定义域和对应规律。元函数的两个要素仍是与一元函数相类似，二( , ),fzf x yxyz为了便于讨论，二元函数表示为、 称为自变量， 称为因变量。|( , ),( , )zz zf x yx ydf数集称为的值域。1.zxy例 求函数的定义域。00 xyy解：2( , )|0,0 x yyxxy定义域为，222.(,)( , )(,)yf xyxyf x yf xy xyx例 设，求；,yxyuvx解：设,11uuvxyvv则222(1)

4、( , )()()111uuvuvf u vvvv2(1)( , ),1xyf x yy从而2() (1)(,)1xyxyf xy xyxy2)几何意义0002.( , )(,)f x ydmx yd定义设函数在区域内有定义，为的内点或边界点，如果对于任意给定的正数 ，3.二元函数的极限二元函数的图形是一张空间曲面。总存在正数 ，使得对于适合不等式220000()()m mxxyy( , )( , ) m x ydf x ya的一切点，都有成立，00( , ),af x yxx yy则称常数为函数当时的极限，0000( , )(,)lim( , )lim( , )xxx yxyyyf x ya

5、f x ya记作或二元函数的极限称为二重极限00a 一般地，若存在数 ，00()m mf ma使得当时，总有，0()mmf ma则称当时，的极限为 ，记为0lim()mmf ma02203.( , )lim( , )0.xyxyf x yf x yxy例 设， 求证：222222221()1202xyxyxyxyxy证：因为220,2 ,0 xy 所以取当时02200lim( , )0 xyxyf x yxy，即000( , )(,)m x ymx ya注意：二重极限存在要求以任意方式趋于时，函数都无限接近于 。000( , )(,)m x ymx y因此，如果以两种不同的方式趋于时，极限值不

6、同，那么二重极限一定不存在。224.( , )( , )(0,0)( , )xyf x yx yxyf x y例 设，问时，极限是否存在？00ykxxy解：选取路径，当时，222( ,)()1x kxkf x kxxkxk此时，kk显然，与 有关，当 取不同数值时，极限也不同，( , )(0,0)( , )x yf x y因此，当时，无极限。的极限是否存在？思考：yxxyyx)0, 0(),(limxkxy2考虑路径：5.例求下列函数的极限：22144001(1) limxyxyexy；222(2) lim ()xxyxyxy；222200()(3) limxyxy xyxy；21(4) li

7、m(1)(0).xx yxyaaxy6.例判断下列极限是否存在：22400(2) lim.xyxyxy22200(1) limxyxxyxy；000000lim( , )(,)( , )(,)xxyyf x yf x yf x yx y若，则称二元函数在点处连续。也有一些相应的性质。续相类似，二元函数的连与一元函数连续的性质也有相应的定义。多元函数的极限、连续4.二元函数的连续性2. 2. 偏导数偏导数1.全增量与偏增量00( , )zf x yxyxyxy二元函数，当自变量 ， 在 ，处分别有增量，时，相应的函数增量称为全增量，偏增量),(),(0000yxfyxxfzx),(),(0000

8、yxfyyxfzy0000 (,)(,)zzf xx yyf x y 记作：，即00000000( , )(,) (,)(,) limlim xxxzf x yx yzf xx yf x yxx 定义：设函数在点的某个邻域内有定义，如果极限存在，2.偏导数的定义及其计算法00000000(,)00(,)(,)( , )(,)|(,)xxyxxyxyzf x yx yxzfzfx yxx则称此极限为函数在点处对 的偏导数，记作或，00000000(,)(,)(,)limlimyyyxyzzf x yyf x yyyy 类似地，zyxzxxyy由定义可知，求偏导数时，只需把 看成常数对 求导即可；

9、求时，把 看成常数对 求导即可。( , )( , )( , )xxyyx yzfzfzfx yzfx yxxyy在任意点处的偏导数，则可记作， ， ，或， ， ，( ,2)( ,2)1.yeezzzzzxxyxy例 设，求， ，2.( , )(1)arcsin( ,1)xxf x yxyfxy例 设，求11()223. 2xyzezzxyzxy例 设，求证：4.() 1pvrt rptvtvp 例 已知为常数 ，求证：3.偏导数与连续的关系4zzx由例 可知， 是一个整体，不可分割，无意义。22,( , )(0,0)5.( , )0,( , )(0,0)( , )(0,0)xyx yxyf x

10、 yx yf x y例 设讨论在处的连续性，偏导数是否存在？2222( ,)(1)1( , )(0,0)( , )(0,0)kxkykxf x kxkxkx yf x y解：取，当时，无极限，在处不连续。0(0,0)(0,0)(0,0)lim0 xxfxffx 但0(0,0)(0,0)(0,0)lim0yyfyffy ( , )(0,0)f x y从上例知，在处偏导数存在，但不连续。4.偏导数的几何意义myxz22()( , )xxzzfx yxxx，5.高阶偏导数( , )( , )( , )xyzf x ydzzfx yfx yxy设函数在区域内具有偏导数，如果这两个函数的偏导数仍然存在，

11、则称偏导数的偏导数为二阶偏导数，二阶偏导数有下列四个：22()( , )yyzzfx yyyy2()( , )xyzzfx yx yyx ，2()( , )yxzzfx yy xxy 。连续时，内们在称为混合偏导数，当它、其中xyzyxzdxyzyxz22222222226.ln0zzzxyxy例 设，证明：2222222227.2 uxyzuuuxyzu例 设，证明：数称为高阶偏导数。二阶及二阶以上阶偏导3.全微分全微分1. 全微分的定义,)()(,)( ),(),( ),(),(.22yxyxbaybxazyxfyyxxfzyxyxfz无关与其中可表示为的全增量在点如果函数定义.,),()

12、,(,),(),(ybxadzdzyxyxfzybxayxyxfz即记作处的全微分在点称为处可微分点在那么称2. 全微分与连续及偏导数的关系偏导数存在连续；全微分全微分dyyzdxxzyyzxxzdz形式上微分可记作yyzxxzdzyxyxfzyzxzyxyxyxfz ),(),(,),(),(),(. 1的全微分为在点且函数必定存在、的偏导数则该函数在点可微分，在点如果函数定理不可微。但在存在连续在证明例)0 , 0(,)0 , 0(),0 , 0(,)0 , 0(),(:. 1yxffxyyxf.,),(),(. 2则函数在该点可微分连续在点、的偏导数如果函数定理yxyzxzyxfz.,a

13、rctan . 2)1 , 1(dzdzxyz求全微分设函数例全微分存在偏导数连续 全微分的几何意义. 3切平面竖坐标的增量。时，有增量，有增量处的切平面当在点的几何意义是曲面全微分yyxxyxx,yfzdyyzdxxzdz0000),()(的高阶无穷小。是之差标的增量很小时，它与曲面竖坐，当22)()(yxdzzzyx代替曲面。附近用切平面近似，在几何上就是在切点代替用zdz0000(,)( , )mx y zzf x y设为曲面上任一点。000010100011mm qm rm qm rmxoym n m n过作与的切线与， 这两条切线决定切平面 。过作平行于平面的平面，00( , )yy

14、m qzf x y当，得曲线，00( , )xxm rzf x y当，得曲线。0001002110110( , )m nm rm n r rm szf x ymm sm记与所确定的平面为 ，则为曲面在点的竖坐标的增量，为切平面在点的竖坐标的增量。000(,)p xy00(,)p xdx ydyoxyz0m0n1m2r1ssr1r1n1qq111221m sm rr s，001211(,)xyzm rn rdyy而，002101(,)xyzr sn qdxx000011(,)(,)xyxyzzm sdxdyxy4 多元复合函数的偏导数多元复合函数的偏导数1).1.(1)( , ),( , )(

15、, ) ux y vx yx y定理 设在点处偏导数存在.,yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz1. 复合函数的偏导数 (2)( , )( , ) zf u vu v在对应点处有连续偏导数( ( , ),( , )( , ),zfx yx yx yxy那么复合函数在点处对 及对 的偏导数存在 且., ),(. 122yzxzfeyxfzxy求连续偏导数具有其中二元函数设例)()( ),(),( )()(),().xvvzxuuzdxdzxvxufzxvvxuuvufz则全导数复合函数、，而设2yuufyzxuufxzyxufzyxuuufz)(,)( ),(),()().3则复合函数，设)

16、,(,),( ),(),().51112121nmnnjjmxxgxxgfzxxxgyyyyfz则复合函数而，设), 2 , 1(11nixgyfxgyfxzimmiixgzfyfxfxuyxgyxfuyxgzzyxfu01 ),(,(, ),(),().4则复合函数而，设22211 :),(. 2yzyzyxzxyxyfz证明设例.),(. 3zuyuxuxyzzyyxfu、，求设例22222,),(, ),(, ),(yzyxzxzyxvyxuvufz求设2. 复合函数的高阶偏导数uxvxzzuzvffxuxvx)( )(22xvvxvuxxxvxuvxuuxxxuffffffxz 。求设

17、例yxzyxxyyxfz2, ),(. 402 :, )()(. 522222yzyxzxzyxyyxxz证明设例5. 隐函数的偏导数隐函数的偏导数1. 一个方程的情形定理1（隐函数存在定理1）000000( , )(,),(,)0,(,)0,yf x yp x yf x yf x y设函数在点的某个邻域内具有连续的偏导数 且0000( , )0(,)( )()f x yx yyf xyf x则方程在点的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数， 它满足条件，且xydyfdxf 定理2（隐函数存在定理2）000000000( , , )(,),(,)0,(,)0,zf x y zp

18、 x y zf x y zf x y z设函数在点的某个邻域内具有连续的偏导数 且000000( , , )0(,)( , )(,)f x y zx y zzf x yzf x y则方程在点的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数， 它满足条件， 且,yxzzfzfzxfyf cyzbxzabzcyazcxfyxzz:,0),(),(. 2求证所确定的隐函数是由方程设例.,arctanln. 122dxdyxyyx求设例2. 两个方程的情形( , , , )03.( , , , )0 ( , )( , )f x y u vg x y u vuu x yvv x y定理 由方程组可

19、以唯一确定隐函数，),(),(,),(),( ),(),(,),(),( yugfjyvxugfjxvvygfjyuvxgfjxu1111且 ( ,)( , )uvuvfgjfff gjggu v其中 ， 具有连续偏导数， 为雅可比行列式( , , )0( , , )0( ),( ) f x y zg x y zyy x zz x对于方程组可以确定隐函数， 且1( ,)1( ,)( , )( , )dyf gdzf gdxjx zdxjy x ，( ,)( , )f gjy z其中., ),(0),(, ),(. 3dxdyyxtttyxfttxfy求的隐函数所确定是由方程而设例.,),(,

20、),(0),(, ),(. 42yvxuyxvvyxuuyvxugyvuxfu求可微函数确定了设例3. 隐函数的高阶导数zxffxzyxzzzyxf ),(0),(则所确定的隐函数为设由方程222)()()(zzxzxfxfffxfxz 2)()1()1(zzzzxxxzxxzfxzfffxzfff . zxffxz其中.,0),(. 52222yxzxzfzyxxyzzyxf求数变量具有二阶连续偏导对各个且设例6.偏导数与全微分的应用偏导数与全微分的应用1. 偏导数的几何应用（1）空间曲线的切线与法平面设空间曲线 的参数方程为)()()(tzztyytxx均可导。其中函数)(),(),(tz

21、tytxm0m1zzzyyyxxxmmzzyyxxmtttzyxmtt000100001000000 ),(),( 的方程为割线，时对应的点，时对应的点)()()( ,0000000001tzzztyyytxxxmmmtt处的切线方程为得曲线在此时并且令，分母同除以设空间曲线 的参数方程为过点 m0 且垂直于切线的平面称为曲线在点 m0 的法平面法平面的方程为0)()()(000000zztzyytyxxtx)()(xzzxyy切线的方程为)()(100000 xzzzxyyyxx)(),(),(s000tztytx曲线切线的方向向量为0),(0),(zyxgzyxf设空间曲线 的一般方程为切

22、线的方程为法平面的方程为0)()(00000zzxzyyxyxx000000myxyxmxzxzmzyzyggffzzggffyyggffxx法平面的方程为.),(sin,cos,sin.处的切线及法平面方程在点求曲线例221122411tztyttx0)()()(000000zzggffyyggffxxggffmyxyxmxzxzmzyzy.),(.法平面方程的切线及在点求曲线例121062222zyxzyx（2）空间曲面的切平面与法线且不同时为零。点处具有连续偏导数在上的一点，设为曲面的方程为设曲面00000),(),(,0),(mzyxfzyxmzyxf.)(),(),( ),(),()

23、,(000000不全为零且时对应于点的方程为假设，上任取一条曲线点在曲面过tztytxmtttzztyytxxm)(),(),(0000tztytxsm处切线的方向向量为在曲线0)(),( )(),()(),( 0)(),(),(000000000000tzzyxftyzyxftxzyxftztytxfzyx求导得上，所以在由于snsnzyxfzyxfzyxfnzyx则故设,0),(),(),(000000000因此，曲面 上过 m0 的任一条曲线的切线均在同一平面上，这个平面称为曲面 在 m0 点处的切平面.切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxfyyzyx

24、fxxzyxfzyx过 m0 垂直于切平面的直线称为曲面在 m0 点的法线，其方程为),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyxzyxfzyxfyxfz),(),(, ),(令的方程为设曲面00000000000)(,()(,(),(zzyyyxfxxyxfzyxmyx处的切平面方程为在1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程为。处的切平面及法线方程在点求球面例)3 , 2 , 1 (14. 3222zyx的切平面方程。上平行于平面求曲面例1212. 4222zyxzyx2. 方向导数与梯度(1) 方向导数。记的邻近取一点上在点引

25、射线从内有定义的某个邻域在点设函数定义2211)()(, ),(,),(),(. 1yxppyyxxppllpyxpyxfz),(),(lim,),(,),(),(lim00yxfyyxxflflflpyxfyxfyyxxf即记作的方向导数处沿方向点在那么称此极限值为函数存在如果极限pp1l方向减少。沿函数时当方向增加沿函数时当由定义知lyxflflyxflf),(,),(,001.( , )( , ),zf x yp x yl定理 如果函数在点是可微分的那么函数在该点沿任意 方向的方向导数都存在coscoscos,cosffflxyl且有其中为 方向的方向余弦。方向的方向导数。点到处沿点在点

26、求函数例),(),(),(.132511111152yzexu方向的方向余弦。为其中方向的方向导数为沿来说对于三元函数lzfyfxflflzyxfucos,cos,coscoscoscos,),(2) 梯度。记作处的梯度在点那么称该向量为函数导数的最大值处方向在点其模等于取得最大时的方向处的方向导数在点其方向为函数个向量如果存在一对于每一点连续偏导数内具有一阶在平面区域设函数定义),(,),(,),(,),(,),(,),(. 2yxgradfpyxfpyxfpyxfdyxpdyxfz梯度是一个向量，在大小和方向上均体现了最大的方向导数。.),(,),(),(.jyfixfyxfgradpyx

27、pyxfz且处的梯度存在它在点那么处可微分在点设函数定理2kzujyuixuugradzyxfu同理有对于三元函数, ),(并且求此最大值。向导数达到最大？沿什么方向该函数的方处，问在设例) 1 , 2, 1 (4. 632mzyzxu梯度运算的基本公式：010 ()gradcc为常数 ；02()grad cucgradu；03()grad uvgradugradv；04()grad uvvgraduu gradv；0215( )()ugradvgraduu gradvvv；06( )( )grad f uf u gradu；07( , )ffgrad f u vgradugradvuv。zk

28、yjxihamilton算子：哈米尔顿)(。是一常向量，其中求例kzjyixrrgrad)(. 7,()()()xyzxyza ia ja kgrad rra xa ya z 设则3*. 全微分的应用与二元函数的泰勒公式全微分的应用与二元函数的泰勒公式ugraduzkyjxiu)()()xyzxyzijka xa ya za ia ja kxyz二元函数的泰勒公式, ),() 1 (, ),()0(, 10, ),()(0000yxffyxfftktyhtxftf令为此邻域内任意一点。阶的连续偏导数，邻域内连续且有直到的某一在点函数设),(1),(),(0000kyyhxxnyxyxfz, )

29、,()(),(),()0(),(),()(0000000000yxfykxhyxfkyxfhfkktyhtxfhktyhtxftfyxyx,10,)()!1(1)0(!1)0(! 21)0()0()(1)1()(2 tttfntfntftfftfnnnn, ),()()(),()(2)(00)(00222ktyhtxfykxhtfktyhtxfykxhfkfhkfhtfnnyyxyxx .10, ),()()!1(1,),()(!1) 1 (),(001000kyhxfykxhnrryxfykxhpfyxfnnnpnp即日中值定理。称为二元函数的拉格朗时，当) 10(),(),(),(),(0

30、00000000kyhxfkkyhxfhyxfkyhxfnyx。时，当) 10(),(2! 21),(),(),(),(1200200000000yyxyxxyxfkkyhxfhkfhyxfkyxfhyxfkyhxfn必同号。时，当用：它在讨论函数极值时有caacbbachckbhcbackbkahackbhkahyxfkyhxfp,0)()(1! 21)()(1! 21)2(! 21),(),(2222222220000。阶泰勒公式的邻域内展开成在点将例2)0 , 0()1ln(),(. 8yeyxfax322322)1 (2,)1 (,1, )1ln(,)1 (,1, )1ln(,1, )

31、1ln(yefyaefyeafyeafyefyaefyeafyefyaefaxyyyaxxyyaxxxyaxxxxaxyyaxxyaxxxaxyaxx33),(! 31)0 , 0()0 , 0(2)0 , 0(21)0 , 0()0 , 0()0 , 0(),(322322yyyxyyxxyxxxyyxyxxyxfyfxyyfxyxfxfyxyffxfyfxfyxf10)1 (2)1 (313)1ln(6121332222332yyyaxyyyxayxaeyaxyyxa。的近似值并求，的邻域的泰勒展开到在点求例02. 11 . 12) 1 , 1 (),(. 9nxyxfy1,0,0) 1 , 1 (, 1) 1 , 1 (,0) 1 , 1 (,0) 1 , 1 (, 1) 1 , 1 (, 1) 1 , 1 (xxyyyyxyyxxxyyxyxxyxffffffffff1021. 12 . 01 . 0212 . 01 . 01 . 0121122khhkhxy4. 多元