第19讲参极函数的导数微分微分形式不变性

1、XT2.1 8. 分段分段函数函数y的导数的导数arctan 1 -1+ 1 42xxyxx 分析：分析：(1) 1&1 xx(2) 1x 求导法则求导法则单侧导数定义单侧导数定义1 0( )(1)lim1xf xfx 1 0( )(1)lim1xf xfx -1 + 42x ( 1)arctan14f arctanx1 0arctanarctan1lim1xxx 12 12 (1)f ？ ( 1)?fXT2.1 8. 分段分段函数函数y的导数的导数arctan 1 -1+ 1 42xxyxx 分析：分析：(1) 1&1 xx(2) 1x 求导法则求导法则单侧导数定义单侧导数定

2、义1 0( )(1)lim1xf xfx 1 0( )(1)lim1xf xfx ( 1)arctan14f 21 -11 2xxyx 12 12 1 (1)2f 1 0( )( 1)lim1xf xfx 1 0-1+424lim 1xxx 1 0-1+22lim 1xxx ( 1)f 不不存存在在第一节第一节 导数及其运算导数及其运算2.1.1 导数的概念导数的概念2.1.2 导数的基本公式和运算法则导数的基本公式和运算法则2.1.3 复合函数复合函数的导数的导数2.1.4 反函数和隐函数的导数反函数和隐函数的导数2.1.5 高阶导数的概念高阶导数的概念2.1.6 由参数方程所确定的函数的导

3、数由参数方程所确定的函数的导数180-2372.1.5 高阶导数的概念高阶导数的概念二、求高阶导数二、求高阶导数).0(),0(,arctanffxy 求求设设.),()(nyRxy求求设设 (3)(1)(2)求求 的二阶导数的二阶导数.xeysin (5)sin2(cossin )xexx二、求高阶导数二、求高阶导数(1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1. 直接法直接法:由高阶导数的定义逐步求

4、高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.e (cossin ) e ( sincos )xxyxxxx 2esin2ecosxxyxx e(cossin ),xxx 2esin ,xx 2e(cossin ).xxx (2)求求 的二阶导数的二阶导数.xeysin 解解:sin(sin )xyex sin(cos )xyexsinsincoscos( sin )xxexxex sin2(cossin )xexxsincosxexsinsin() cos(cos )xxexex(3)(5).),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()

5、1()1()( nxnynn则则为为自自然然数数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 1201(1)nnyna xna x 解解:2301(1)(1)(2)nnyn na xnna x 1na 22na 二、求高阶导数二、求高阶导数1. 直接法直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.P115 LT 3.),1ln()(nyxy求求设设 xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy ( )1(1)!( 1)(1)nnnnyx ( )1()1nx 1!( 1)1nnnx ( )(ln )nx ( )1()n

6、x 1(1)!( 1)nnnx 1!( 1)nnnx P116 LT4.,sin)(nyxy求求设设 )2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn2. n阶导数的运算法则阶导数的运算法则:则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu ( )(3)()nu v( )(1)(2)()( )( )(1) 2!(1)(1)!nnnn kknn nuvnuvuvn nnkuvuvk ()( )0nkn kknkC uv 练习练习.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22x

7、veux (20)y 20222xex)9520(22220 xxex2(19)220()()xex 2(18)220(201)()()2!xex 0 19220 22xex18220 19222!xe 2(20)2()xex常用高阶导数公式常用高阶导数公式( )(4)()nx ( )(5)(ln )nx ( )(2)(sin)nkx ( )(3)(cos)nkx ( )(1)() (0)xnaa( )()xne ( )1()nx 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.3. 间接法间接法: lnnxa

8、a xesin()2nkkxn cos()2nkkxn (1) (1)nnx 1(1)!( 1)nnnx 1!( 1)nnnx 练习练习.,11)5(2yxy求求设设 解：解：211yx 66)1(1)1(160 xx(5)ynnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( 1)(!)1()1( nnnxnx111()211xx6615!5!2(1)(1)xx 223d4sind(cos2)yyxy 4隐函数的高阶导数隐函数的高阶导数222dsinddcos2dyyyxyx d1d1cos0d2dyyyxx d2d2cosyxy 22ddyx 解：解： 将方程两边对将方程两边对x求导求导,得得继

9、续方程两边对继续方程两边对x求导求导,得得1dsin2dyyx 1cos2y ddyx22d0dyx 2ddyx高阶导数的定义高阶导数的定义高阶导数求法举例高阶导数求法举例1.直接法直接法2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则3.间接法间接法4隐函数隐函数、2.1.5 高阶导数的概念高阶导数的概念第一节第一节 导数及其运算导数及其运算2.1.1 导数的概念导数的概念2.1.2 导数的基本公式和运算法则导数的基本公式和运算法则2.1.3 复合函数复合函数的导数的导数2.1.4 反函数和隐函数的导数反函数和隐函数的导数2.1.5 高阶导数的概念高阶导数的概念2.1.6 由参数方程所确定的函数的

10、导数由参数方程所确定的函数的导数设参数方程设参数方程( ),xt ( ),yt ( ,)t 2.1.6 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数( ), ( ,),( ),( ),xttxtyt 若若严严格格单单调调d( )d( )ytxt 1. 参数方程求导法则参数方程求导法则d( )ddd ( )ddtyttxt dd.ddytxt( ), ( ),xtyt d( ).d( )ytxt 1( )x ddyx ( ).( )tt 1.( ) t 1( ) ( )tx 1. 求由参数方程求由参数方程 )cos1()sin( ayax所确定的函数所确定的函数y = y(x)的导数

11、的导数).0(ddaxy解解: :d( (1cos )d( (sin )yaxa sin1cos 0 2 a ).0(4sincos33 aayax处处的的切切线线方方程程在在 ,4when 4d dykx 切切线线斜斜率率33d( sin)d( cos)yaxa 223sincos3cos( sin ) tan a aoyx322,24xaa24ya tan4 22 ()44yaxa 切切线线方方程程: :2 0.2xya或或1 ddd/dddyxtxt ddddyxxddddddyttxx 22ddyx dcosdsinybtxat 解解cotbta 2cscsinbtaat 23sinb

12、at )(, )(tyytxx 为两可导函数为两可导函数yx ,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率相关变化率相关变化率相关变化率P119LT3解解,秒后秒后设气球上升设气球上升t500tanh 求求导导得得两两边边对对t 2sec 0),( hF (1)(2)?,500./140,500多少多少员视线的仰角增加率是员视线的仰角增加率是观察观察米时米时当气球高度为当气球高度为秒秒米米其速率为其速率为米处离地面铅直上升米处离地面铅直上升一气球从离开观察员一气球从离开观察员),(th其高度为其高度为则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线),(t tdd

13、 5001 thdd ,/140dd秒秒米米 th tdd 仰角增加率仰角增加率(3)2sec2 140500121 )/(14. 0分分弧度弧度 h500, tan1,h 当当时时50022sec1tan相关变化率解法三步骤相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率相关变化率相关变化率0),( yxFtytxdddd和和之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)2.1.6 由参数方程方程所确定的函数的导数由参数方程方程所确定的函数的

14、导数1、参数方程求导法则、参数方程求导法则2、由极坐标方程所确定的函数求导、由极坐标方程所确定的函数求导2、极坐标式求导、极坐标式求导(1) 极坐标系极坐标系oMr xC(2) 曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程cossinxryr ( )rr 如如,:ra 圆圆ra 半射线半射线 ：极轴、极点：极轴、极点( , )0F x y (3) 极坐标式求导极坐标式求导设曲线设曲线: rr 化为直角坐标化为直角坐标下参数式为下参数式为 cossinxryr 则则 sincosddcossinrryxrr tanddtanrryxrr xyO rr rtan 则则, tandtand1tanrryrxr

15、从而从而 tantantantan1tantanrr 为径向沿逆时针方向转到切线位置的夹角为径向沿逆时针方向转到切线位置的夹角.xyO rrr tanddtanrryxrr tantantan()1tantan P122 LT4 由极坐标方程由极坐标方程 r =1所确定的函数的导数所确定的函数的导数dy/dx cossinxryr cossinxy dcosdsinyx xy P111 LT3 求方程求方程 x2+y2 =1所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数.42sin处处的的法法线线方方程程在在求求曲曲线线 ar解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成 cos)( rx

16、cos2sina sin)( ry sin2sina )( 为参数为参数 则曲线的切线斜率为则曲线的切线斜率为xydd cos2sinsin2cos2aa 1 所以法线斜率为所以法线斜率为又切点为又切点为隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 4 4 ,224ax ay224 sin2sincos2cos2aa 故法线方程为故法线方程为axay2222 即即0 yx, 1参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助借助参数方程处理问题的方法参数方程处理问题的方法,在高等数学中将在高等数学中将多次遇到多次

17、遇到.第一节第一节 导数及其运算导数及其运算2.1.1 导数的概念导数的概念2.1.2 导数的基本公式和运算法则导数的基本公式和运算法则2.1.3 复合函数复合函数的导数的导数2.1.4 反函数和隐函数的导数反函数和隐函数的导数2.1.5 高阶导数的概念高阶导数的概念2.1.6 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数0lim =0f (x) 点点x0y x 0 xxx 00()()yf xxf x 0( )()yf xf x f (x) 点点x0 连续连续xy)(lim00 xfxyx 点点x0 导数导数第二章第二章 微分学微分学第一节第一节 导数及其运算导数及其运算第二节第

18、二节 微分微分0( )()yf xf x 20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由2Ax 正正方方形形面面积积的的改改变变量量2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax .,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xx

19、y ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值 问题问题: : 一般一般函数函数y=f (x)是否也有是否也有 y=f (x+ x)-f (x)=A x+o( x)? ),(无无关关的的常常数数是是与与xA A是什么是什么? 如何求如何求?二、微分的定义二、微分的定义00: d d ()x xyf x 记记作作 或或, )(,)()()()().(0000的的微微分分相相应应于于自自变变量量增增量量在在点点为为函函数数并并且且称称可可微微在在点点则则称称成成立立如如果果设设函函数数xxxfyxAxxfyxoxAxfxxfyxfy . x

20、A 二、微分的定义二、微分的定义函数的函数的微分：微分：d.yy 微微分分叫叫做做函函数数增增量量的的线线性性主主部部( (微分的实质微分的实质) )( ),dd ( ),yf xxyf x 函函数数在在任任意意点点 的的微微分分 称称为为函函数数的的微微分分 记记作作或或)()()(00 xoxAxfxxfy 0d()xxyox 0d.xxyAx d.yA x即即由定义知由定义知: :(1)d;yx 是是自自变变量量的的改改变变量量的的线线性性函函数数(2)dyy (3),Ax 是是与与无无关关的的常常数数 但但与与(4),d().xyy 当当很很小小时时线线性性主主部部d.yA x A是什

21、么是什么?如何求如何求?;)(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxo ( );f xx和和 有有关关d()yyox 三、可微的条件三、可微的条件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点函数函数可微的充要条件是可微的充要条件是在点在点函数函数定理定理证：证：(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf)

22、,(lim00 xfxyx ),0(0 x ),()(0 xoxxf 00( ),().f xxfxA 函函数数在在点点可可微微且且).(.0 xfA 可可微微可可导导00000000( ) ,D,()()()( ),( ),d=d ()x xyf xxxxyf xxf xAxoxyf xxAxyf xxxyf xAx 设设函函数数如如果果在在点点可可微微 并并且且称称为为函函数数在在点点相相应应于于自自变变量量增增量量的的微微分分记记作作二、微分的定义二、微分的定义 0.fxx .fxx, dyAx函函数数的的微微分分yxP132 LT3解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函

23、数 xxxy3d()yxx .32xx 20.02dxxy .24. 0 d( ).yfxx02. 0223 xxxx,d ,d.xxxxx 通通常常把把自自变变量量 的的增增量量叫叫做做自自变变量量的的微微分分记记作作即即d( )d .yfxx d( ).dyfxx dd.yx即即函函数数的的微微分分与与自自变变量量的的微微分分之之商商等等于于该该函函数数的的导导数数 导导数数也也叫叫 微微商商第二节第二节 微分微分)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x , d.yy 当当是是曲曲线线的的纵纵坐坐标标增增量量时时就就是是切切线线纵纵坐坐标标对对应应的的增增量量xx 0 P .

24、,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 d( )dyfxx : : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1. 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式d( ) d()d(sin ) d(cos )d(tan ) d(cot)d(sec ) d(csc )Cxxxxxxx 2 0 cos d secd sectan d x xx xxx x12 d sin d cscd csccot dxxx xx xxx x 21dxx 1d2xx 1d()xd()xd() d()d(log) d(ln )d(arcsi

25、n ) d(arccos )d(arctan ) d(arccot)xxaaexxxxxx22 ln d 1 d ln1 d 11 d 1xaa xxxaxxxx 22 d1 d1 d11 1xexxxxxx dxdln sectanxx sec dx x dln csccotxx csc dx x 1. 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式1解：解：2ln(),d .xyxey设设求求 y2212dd .xxxeyxxe ,2xex 212xxe d()ddd()duvuvCuC ud()dduvv uu v2ddd( )uv uu vvv 21dd( )vvv 例例2解解:1 3c

26、os ,d .xyexy 设设求求1 3dcosd()xyxe )(31xe1 31 3dcos( 3)d( sin )dxxyxexexx 1 3(3cossin )d .xexxx 1 3d(cos )xex d()dduvv uu v.sin)(cosxx ,331xe 第二节第二节 微分微分的微分形式总是的微分形式总是是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx (1),d( )d ;xyfxx 若若 是是自自变变量量时时则则可微函数可微函数的的即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),( ,)2(txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dy

27、 d( )d ,xtt d( )d .yfxx 结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性( ) ( )dfxtt 2解解sin,d .axyebxy 设设求求dsind()cosd()axaxyebxaxebxbx sin()dcosdaxaxbx eaxebx bx ( cossin)d .axebbxabxx 1解解sin(21),d .yxy设设求求. 12,sin xuuydcos dyu ucos(21)d(21)xxcos(21) 2dxx 2cos(21)d .xx ddsind(sin)axaxyebxebx1 3cos ,d .xyexy 设设求求3解解在下列等式左端的括号

28、中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.d()cosd ;t t d(sin)cosd ,tt t 1cosdd(sin)t tt 1d(sin)cosd .tCt t 1d(sin);t 1d2xx 1d()xd()x21d( )dxx 2d(sin)()d().xx 2d(sin)d()xx ,cos42xxx 22d(sin)(4cos)d().xxxxx3 在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.22 cosd1d2xxxxx一、一、 问题的提出问题的提出第二节第二节 微分微分二、二、 微分的定义微分的定义五、微分的求法五、微分的求法1. 微分公式微分公式2. 微分四