第五章第1节定积分的概念

1、1定积分的概念定积分的概念第一节第一节一、问题的提出二、定积分的定义三、存在定理四、定积分的几何意义五、小结2abxyo? a曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出)(xfy 3abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）4观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下

2、列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系5求曲边梯形面积的步骤：求曲边梯形面积的步骤：abxyoi ix1x1 ix1 nxiiixfa)( 、分割、分割1niiaa1、近似、近似2、求和、求和3niiaa1niiixf1)( 、取极限、取极限4iniixfa10)(lim ),max(nxxx21 上任一点上任一点为为,iiiiiixxxxx11 6实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21tt上上t的一个连续函数，且的一个连

3、续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值71、分割、分割212101tttttttnn 1 iiitttiiitvs )( 3、求和、求和iinitvs)( 14、取极限、取极限,max21nttt iniitvs)(lim10 、近似、近似2niiss1)(1ts)

4、(2ts)(1its)(its8上述两个问题的共性共性:1、解决问题的方法步骤相同 :）取极限。）取极限。）求和，（）求和，（）近似，（）近似，（）分割，（）分割，（4321、极限形式一样、极限形式一样2iniixfa10)(lim 曲边梯形面积：曲边梯形面积：iniitvs)(lim10 变速直线运动路程：变速直线运动路程：9设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 ii

5、ixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一点一点i （iix ），），作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfs )(1 ，二、定积分的定义定义定义10怎怎样样的的分分法法， baidxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，只只要要当当0 时时，和和s总趋于总趋于确定的极限确定的极限i，我我们们称称这这个个极极限限i为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积

6、分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和11说明：说明：（1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积分存在时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积.12 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. . 且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则

7、)(xf在在三、存在定理区区间间,ba上上可可积积. .badxxfa)(）曲边梯形面积）曲边梯形面积（421ttdttvs)(变速直线运动路程变速直线运动路程13,)(,01xfba上上）在）在（ baadxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 baadxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义abxyoa)(xfy ,)(,02xfba上上）在）在（)(xfy yxoaba14 dxxfba)(上变号，上变号，在在）若）若（,)(baxf3)(xfy 下方的面积下方的面积轴上方的面积轴上方的面积 x例如例如dxx sin015例例1 1 利用定义计算定积分利用定

8、义计算定积分.102dxx 解解将将1 , 0n等分，分点为等分，分点为nixi ， (ni, 2 , 1 ) 小区间小区间,1iixx 的长度的长度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 16nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 17原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xd

9、xix i 例例2 将和式极限：将和式极限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分表示成定积分. .18六、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限1916615p习题习题a组组1,2(2),3(1)(2)(4)20思考题思考题 定积分性质中指出，若定积分性质中指出，若)(),(xgxf在在,ba上都可积，则上都可积，则)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,

10、ba上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？21思考题解答思考题解答 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上可可积积，不不能能断断言言)(),(xgxf在在,ba上上都都可可积积。 为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxf0, 1)( 为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxg1, 0)(显然显然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上可积，但上可积，但)(),(xgxf在在1 , 0上都不可积。上都不可积。例例22一、一、 填空题：填空题：1 1、 如果积分区间如果积分区间 ba ,被点被点c分成分成 bcca,与与，则，

11、则定积分的可加性为定积分的可加性为 badxxf)(_；2 2、 如果如果 baxf,)(在在上的最大值与最小值分别为上的最大值与最小值分别为mm与与，则，则 abdxxf)(有如下估计式：有如下估计式：_ _ _；3 3、 时时当当ba ，我们规定，我们规定 badxxf)(与与 abdxxf)(的关的关系是系是_；4 4、 积分中值公式积分中值公式 badxxf)()(,)(baabf 的几何意义是的几何意义是 _ _；练练 习习 题题235 5、 下列两积分的大小关系是：下列两积分的大小关系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（

12、3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 证明：证明： babadxxfkdxxkf)()(（是常数是常数k）. .三、三、 估计下列积分估计下列积分 333cot xdxxarc的值的值 . .四、证明不等式：四、证明不等式： 2121dxx . .24六、用定积分定义和性质求极限六、用定积分定义和性质求极限: :1 1、)21.2111(limnnnn ; ;2.2.、 40sinlim xdxnn. .七、设七、设)(xf及及 baxg,)(在在上连续，证明：上连续，证明：1 1、 若 在若 在 ba ,上上0)( xf, , 且且 badxxf0)(， 则 在， 则 在 ba

13、 ,上上0)( xf ；2 2、若在、若在 ba ,上，上，0)( xf , ,且且)(xf不不0恒等于恒等于，则，则 badxxf0)( ；3 3、 若在若在 ba ,上上)()(xgxf , ,且且 babadxxgdxxf)()(，则在，则在 )()(,xgxfba 上上 . .25一、一、1 1、 bccadxxfdxxf)()(； 2 2、baabmdxxfabmba ,)()()(； 3 3、 badxxf)( abdxxf)(；4 4、曲边梯形各部分面积的代数和等于、曲边梯形各部分面积的代数和等于 为邻为邻与与abf )( 边的矩形面积；边的矩形面积； 5 5、(1)(1)； (

14、2) (2)； (3). (3).三、三、1 1、 32arctan9331 xdxx； 2 2、53arcsin24213210 xxxdx. .练习题答案练习题答案26一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数)(xf 在在 ba ,上的定积分是积分和的极限，上的定积分是积分和的极限，即即 badxxf)(_ . .2 2、 定积分的值只与定积分的值只与_及及_有关，而与有关，而与_的记法无关的记法无关 . .3 3、 定积分的几何意义是定积分的几何意义是_ . .4 4、 区间区间 ba ,长度的定积分表示是长度的定积分表示是_ . .二、二、 利用定积分的定义计算由抛物线利用定积分的

15、定义计算由抛物线,12 xy两直线两直线)(,abbxax 及横轴所围成的图形的面积及横轴所围成的图形的面积 . .三、三、 利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积分 baxdx，)(ba . .练练 习习 题题27四、四、 利用定积分的几何意义，说明下列等式：利用定积分的几何意义，说明下列等式：1 1、41102 dxx ; ;2 2、 2022cos2cosxdxxdx ; ;五、五、 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知闸门上水的闸门上水的是是压强压强 p的的水深水深 h函数，且有函数，且有)(8 . 92米米千千米米hp ，若闸门

16、高，若闸门高米米3 h，宽，宽米米2 l，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力压力p（见教材图（见教材图 5-35-3）. .28一、一、1 1、 niiixf10)(lim ； 2 2、被积函数、被积函数, ,积分区间积分区间, ,积分变量；积分变量；3 3、介于曲线、介于曲线)(xfy , ,轴轴x, ,直线直线bxax ,之间之间 各部分面积的代数和；各部分面积的代数和；4 4、 badx. .二、二、abab )(3133. .三、三、)(2122ab . .五、五、88.2(88.2(千牛千牛).).练习题答案练习题答案29观察下列演示过程，注意当分

17、割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系30观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系31观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系32观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系33观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和

18、与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系34观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系35观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系36观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系37观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系38观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系39观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系40观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的