平面向量基本定理及坐标表示-文档资料

1、 平面向量基本定理平面向量基本定理 与坐标表示与坐标表示非非零零向向 向向量量 与与量量b ba a共共线线, ,当当 时，时， 0与与 同向，同向，ba且且 是是 的的 倍倍;|b|a当当 时，时， 0与与 反向，反向，ba且且 是是 的的 倍倍;|b|a|当当 时，时， 00b ，且，且 .| |0b复习复习:有有且且只只有有一一个个实实数数，使使得得b b = = a a. .向量共线充要条件向量共线充要条件ab向量的加法：OBCAabOAaBbbaba平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则共起点共起点首尾相接首尾相接1e2e OCABMN OCOMON 如图111OMOAe

2、1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe a 1 12 2思思考考：一一个个平平面面内内的的两两个个不不共共线线的的向向量量 e e 、 e e 与与该该平平面面 内内的的任任一一向向量量 a a之之间间的的关关系系. .1e2e OCABMNa OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe 1122 +aee 11221122这这就就是是说说平平面面内内任任一一向向量量a a都都可可以以表表示示成成 e +e + e e 的的形形式式平面向量基本定理：平面向量基本定理： 1 12 2 这这里里不不共共线线的的向向量量e e 、

3、e e 叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内所所有有向向量量的的一一组组基基底底. . 1 12 21 12 21 11 12 22 2 如如果果e e 、 e e 是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不共共线线的的向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任一一向向量量a a，有有且且只只有有一一对对实实数数 、 ，可可使使 a a = = e e + + e e.8(1)(1)不共线的向量不共线的向量 叫做这一平面内所有向量叫做这一平面内所有向量 的一组基底的一组基底; ; 12,e e (4)(4)基底给定时基底给定时, ,分解形式唯一分解形式唯一. .(2)(2)基底不唯一

4、基底不唯一; ;12e ,e0 (3)(3) 任一向量任一向量 都可以沿两个不共线的方向都可以沿两个不共线的方向（ 的方向）分解成两个向量（的方向）分解成两个向量（ ）和）和的形式；的形式；a12,e e 1 12 2,ee说明：说明：.91.判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：A、一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有、一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；向量的基底；B、一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所、一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；有向量的基底；C、零向量不可为基底中的向量。、零向量不可为基底中的向量

5、。2.设设O是平行四边形是平行四边形ABCD的两对角线交点，下列向量组：的两对角线交点，下列向量组：AD与与AB；DA与与BC；CA与与DC；OD与与OB。其中可。其中可作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一组基底的是作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一组基底的是?的值和求，且，如果ktbaeekbetea21213. 3，K=1,t=-3K=1,t=-3 概念辨析概念辨析答案答案解析解析4.4.若若e e1 1，e e2 2是平面内的一组基底，则下列四组是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（向量能作为平面向量的基底的是（ ）A.A.e e1 1e e2 2，e e

6、2 2e e1 1 B.2B.2e e1 1e e2 2，e e1 1 e e2 2C.2C.2e e2 23 3e e1 1，6 6e e1 14 4e e2 2 D.D.e e1 1e e2 2，e e1 1e e2 2反思与感悟反思与感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来基底唯一线性表示出来.12例例1.1.已知向量已知向量e e1 1, ,e e2 2，求作向量

7、，求作向量-2.5-2.5e e1 1+3+3e e2 2作法作法:1:1、任取一点、任取一点O,O,作作 .eOB,e.OA21352 1e2eO OA AB BC C2 2、作、作 OACB.OACB.12.5e23e OC3 3、 就是求作的向量就是求作的向量 例题解析例题解析解答解答解答解答.15两个非零向量两个非零向量 ，ab,OAa OBb 作向量的夹角向量的夹角)1800(180 与与 反向反向abO OA AB BabO OA Aa0 B Bbb的夹角，就叫做则baAOB记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abO OA AB B ab注意注意: :在两向量的夹在两向量的夹角定义

8、中角定义中, ,两向量必两向量必须是同起点的须是同起点的 与与 同向同向abO OA AB Baba.16向量的正交分解向量的正交分解121 12212,e eeee e 一个平面向量用一组基底表示成 的形式，我们称它为向量的分解。当互相垂直时，就称为向量的正交分解。在平面上，如果选取互相垂直的向量作在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便为基底时，会为我们研究问题带来方便4321-1-2-3-2246ij），（ 23P3 2(3,2)O Pij O4321-1-2-3-2246ij），（yxP( , )O P xi yjxy 向量的坐标表示O向量向量 P（x ，y

9、）一一 一一 对对 应应O P 在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?Aoxyaa 可通过向量的可通过向量的平移，将向量的起点平移，将向量的起点移到坐标的原点移到坐标的原点O处处. 解决方案解决方案: :ABCDoxyija平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则, ij, i j x xy y 对对于于该该平平面面内内的的任任一一向向量量a a ，有有且且只只有有一一对对实实数数 、 ，可可使使 a

10、ax x= = i i + +y yj j 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做）叫做向量向量 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作a( , )ax y其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，式叫做式叫做向量的坐标表示向量的坐标表示。aa1 、把、把 a=x i+y j 称为称为向量基底形式向量基底形式.2 、把、把(x , y)叫做向量叫做向量a的（直角）坐标的（直角）坐标, 记为：记为：a=(x , y) , 称其为称其为向量的坐标形式向量的坐标形式.3、 a=x i+y j =( x , y)4、其中、其中 x、 y 叫做叫做 a 在在X 、Y轴上的坐标轴上的坐标.单位向量单位向量 i =（1，0），），j =（0，1）5在平面内有点在平面内有点A（x1,y1）和点）和点B(x2,y2)，向量向量=A B 2121（ x -x ,y -y ）.22例例2 2如图