第四章第2节换元积分法

1、2问题问题 xdx2cos,2sincx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdttcos21ct sin21.2sin21cx 一、第一类换元法一、第一类换元法3在一般情况下：在一般情况下：设设),()(ufuf 则则.)()( cufduuf如果如果)(xu （可微）（可微）,)()()(dxxxfxdf cxfdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理4设设)(uf具有原函数，具有原函数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式（凑微

2、分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 15例例1 求求.2sin xdx解解1 xdx2sin )2(2sin21xxd.2cos21cx 解解2 xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd.)(sin2cx 解解3 xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2cx 6例例2 求求.231dxx 解解, )23(23121231 xxxdxx 231dxxx)2

3、3(23121 )23(23121xdx.|23|ln21cx dxbaxf)(.)(1 baxuduufa一般地一般地7例例3 求求22.xxe dx解解22xxe dx22xe dx2uxue duuec2.xec8例例4 4 求求tan.dx解解tandxsincosxdxx1coscosdxx ln | cos|.xc cotln | sin|.xdxxc类似地可得类似地可得9例例5 求求.)ln21 (1dxxx 解解dxxx )ln21 (1)(lnln211xdx )ln21 (ln21121xdx xuln21 duu121cu ln21.|ln21|ln21cx 10例例6

4、求求221.dxax解解dxxa 221dxaxa222111 2111xdaaxa.arctan1caxa11例例7 求求22(0).dxaax解解22211( )dxdxaxaxa21( )xdaxaarcsin.xca12例例8 求求221(0).dx axa解解2211()()dxdxxa xaxa111()2dxa xaxa112dxdxaxaxa1(ln |ln |)2xaxaca1ln |.2xacaxa13例例9 求求.25812dxxx解解dxxx25812dxx9) 4(1222113413dxx341341312xdx.34arctan31cx14例例10 求求.11dx

5、ex解解dxex 11dxeeexxx11dxeexx11dxeedxxx1)1 (11xxededx.)1ln(cexx 15例例11 求求.)11 (12dxexxx解解2111,xxxdxexxx 12)11 ()1(1xxdexx.1cexx16例例12 求求解解.cos11dxxdxxcos111cos1cos1cosxdxxxdxxx2cos1cos1dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotcxx17例例13 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin22

6、2xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753cxxx说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.18例例14 求求解解1dxxsin1.csc xdx xdxcscdxxx2cos2sin21 212tancos22xdxx1tan2tan2xdxcx2tanln.)cotln(csccxx （使用了三角函数恒等变形）使用了三角函数恒等变形）19解解2dxxsin1 xdxcscdxxx2sinsin )(coscos112xdxduxxcos11cos1121.|cos1cos

7、1|ln21cxx类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec cxxxdx20解解例例15 设设 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212cuu .21)(2cxxxf 21问题问题21?x dx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx 21x dx21sincosttdt2cos tdt 二、第二类换元法二、第二类换元法22其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. .证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t )()(ttf 令令

8、)()(xxf 则则dxdtdtdxf )()()(ttf ,)(1t 设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数， )()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)( t ，又设又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，定理定理2 223第二类积分换元公式第二类积分换元公式 cxfdxxf)()(故故,)(cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 说明说明)(xf为为)(xf的原函数的原函数,24例例17 求求解解令令sinxtcosdxtdt21sincosttdt1cos22tdtt1x21x1cos2224tdtd

9、t 2,2t1sin2,24ttc21.x dx21x dx1sin cos,22tttc2arcsin1.22xxxc2cos tdt25例例18 求求解解).0(122adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1tdtsec1)tanln(secctttax22ax 122lncaaxax 2,2t.)ln(22caxx26例例19 求求解解).0(122adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsec1)tanln(secctttax22ax 122lncaax

10、ax.)ln(22caxx27说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 28说明说明(2) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例20 求求71(2)dxx x 令令1,xt21,dxdtt dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621ct |21|ln1417.|ln21|2|

11、ln1417cxx解解29事实上事实上, ,本题用第一类换元法较简单本题用第一类换元法较简单. . )2(7xxdx)21 (78xxdxdxxx7821)2(21114177xdx.)21ln(1417cx30说明说明(3) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例21 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt221631dttt221116dtt21116ctt arctan 6.arctan 666cxx 32基基本本积积分分表表;coslntan)16( cxxdx;sinlncot)17( cxxdx;)tanln(secsec)18( cxxxdx;)cotln(csccsc)19( cxxxdx;arctan11)20(22caxadxxa33;ln211)22(22cxaxaadxxa;arcsin1)23(22caxdxxa.)ln(1)24