高中数学：3.1《数系的扩充》教案(苏教版选修2-2)

1、. .专心 . 扬州中学西区高二数学教案（）主备人胡广宏授课人授课日期课题3.1 数系的扩充课型新授教学目的：1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i 2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律3. 情感、 态度与价值观： 理解并掌握复数的有关概念(复数集、 代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部 ) 理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数

2、单位 i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的 .在规定 i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立教学过程备课札记学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4 等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集n 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集q.显然 nq.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集z，

3、则有z q、 nz.如果把整数看作分母为1 的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集r.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不

4、尽的矛盾.但是，数集扩到实数集r 以后，像x2=1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数讲解新课：1.虚数单位i: (1)它的平方等于 -1，即21i; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. . .专心 . 2. i与 1 的关系 : i就是 1 的一个平方根，即方程x2=1 的一个根，方程x2=1 的另一个根是i!3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义：形如( ,)abi a br的数叫复数，a叫复数的实部

5、，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母c表示 *3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即( ,)zabi a br，把复数表示成 a+bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：对于复数( ,)abi a br，当且仅当 b=0 时，复数 a+bi(a、br)是实数 a；当 b0 时，复数 z=a+bi叫做虚数；当 a=0 且 b0 时， z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0 时， z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：nz qrc. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就

6、是说，如果a，b，c，dr，那么 a+bi=c+dia=c，b=d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如 3+5i 与 4+3i 不能比较大小. 现有一个命题： “任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小讲解范例：例 1 请说出复数4,1423 ,52 ,623iiii的实部和虚部， 有没有纯虚数？例 2 实数 m 取什么数值时，复数z=m(m-1)+1+(m 1)i 是: (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？例 3已知 (x+y)+(x-2y)i=(

7、2x-5)+(3x+y)i，其中 x，y r，求 x 与 y. . .专心 . 巩固练习：1.若方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根，试求实数m 的值 . 2.已知 mr，复数 z=1)2(mmm+(m2+2m 3)i，当 m 为何值时，(1)zr; (2)z是虚数； (3)z 是纯虚数； (4)z=21+4i. 答案：1. 解：方程化为(x2+mx+2)+(2x+m)i=0.02022mxmxx，x=2m，, 02242mmm2=8， m= 22. 2. 解： (1)m 须满足.11,0322mmm解之得： m=3. (2)m 须满足 m2+2m30 且 m10，解之得：