高中数学讲义——二项式定理1二项展开式1求展开式中的指定项

1、1二项式定理二项式定理011222.nnnnnnnnnnabc ac abc abc bnn这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式系数、二项式的通项011222.nnnnnnnnnc ac abc abc b 叫做nab的二项展开式， 其中的系数0, 1, 2, .,rncrn叫做二项式系数，式中的rn rrnc ab叫做二项展开式的通项，用1rt表示，即通项为展开式的第1r项：1rn rrrntc ab 二项式展开式的各项幂指数二项式nab的展开式项数为1n项，各项的幂指数状况是各项的次数都等于二项式的幂指数n 字母 a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1 直到零，字母b按升幂排列

2、，从第一项起，次数由零逐项增1 直到 n 几点注意通项1rn rrrntc ab 是nab的展开式的第1r项，这里0, 1, 2,.,rn二项式nab的1r项和nba的展开式的第1r项rn rrnc ba是有区别的， 应用二项式定理时，其中的 a和b是不能随便交换的注意二项式系数（rnc ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负 通 项 公 式 是nab这 个 标 准 形 式 下 而 言 的 ， 如nab的 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 是11rrnrrrntc ab （只须把b看成b代入二项式定理）这与1rn rrrntc ab 是不同的， 在这

3、里对应项的二项式系数是相等的都是rnc ，但项的系数一个是1rrnc ，一个是rnc ，可看出，二项式系数与项的系知识内容求展开式中的指定项数是不同的概念设1,abx，则得公式：12211.nrrnnnnxc xc xc xx 通项是1rtrn rrnc ab0, 1, 2, .,rn 中含有1,rta b n r五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素当 n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)nx的近似值2二项式系数的性质杨辉三角形：对于 n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算杨辉三角有如下规律： “左、右两边斜行

4、各数都是1其余各数都等于它肩上两个数字的和”二项式系数的性质：nab展开式的二项式系数是：012, .,nnnnncccc ，从函数的角度看rnc 可以看成是r 为自变量的函数fr，其定义域是：0, 1, 2, 3, ., n 当6n时， fr 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n时 fr的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等事实上，这一性质可直接由公式mn mnncc得到增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大由于展开式各项的二项式系数顺次是0121

5、1,11 2nnnn nnccc，3121 2 3nn nnc， ，112 .21 2 3 .1knn nnnkck，12 .211 2 3.1knn nnnknkckk， ，1nnc其中， 后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数 （如,1,2,.n nn） ，分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，） 因为，一个自然数乘以一个大于1 的数则变大，而乘以一个小于1 的数则变小，从而当k依次取 1，2，3，等值时，rnc 的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端 “等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间当 n是偶数

6、时，1n是奇数，展开式共有1n项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nnc当 n是奇数时，1n是偶数，展开式共有1n项，所以有中间两项这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122nnnncc二项式系数的和为2n，即012.2rnnnnnnnccccc奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351.2nnnnnnncccccc常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题【例 1】6312x的展开式中的第四项是【例 2】6xyyx的展开式中，3x的系数等于 _ _【例 3】353121xx的展开式中x 的系

7、数是a4b2c2 d4典例分析【例 4】 若9axx的展开式中3x的系数是84，则 a【例 5】5axx()xr展开式中3x的系数为10，则实数 a 等于a1b12c1 d2【例 6】 若2012(12 )nnnxaa xa xa xl，则2a 的值是（）a84b84c280d280【例 7】8(2 )xy的展开式中62x y 项的系数是（）a56b56c28d28【例 8】 若554541031xa xa xa xa ，则2a 的值为（）a270 b 2702xc 90d902x【例 9】的展开式中的系数是 _（用数字作答） 【例 10】在的展开式中，的系数为 _（用数字作答） 64(1)

8、(1)xxx25(42)xxx【例 11】 在的展开式中，的系数为 _（用数字作答） 【例 12】 在的展开式中，的系数为 _（用数字作答） 【例 13】 求展开式中含项系数【例 14】 在的展开式中，项的系数是 （用数字作答）【例 15】的展开式中的系数等于 _ （用数字作答）【例 16】展开式中的系数是 _（用数字作答） 【例 17】 在的展开式中的系数是（）25(42)xx2x25(42)xx3x294(31) (21)xxx2x26(1)(1)(1)xxxl2x2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx2x291()2xx9x8(1)(1)xx5xa-14 b14 c-28 d2

9、8【例 18】在的展开式中，含的项的系数是（）a15b85 c120d274【例 19】在的展开式中，含项的系数是（用数字作答）【例 20】求展开式中的系数【例 21】的展开式中的系数是 _（用数字作答） 【例 22】在的展开式中，的系数为 _（用数字作答） 【例 23】在的展开式中，的系数为 _（用数字作答） (1)(2)(3)(4)(5)xxxxx4x56789(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx3x26(1)xx5x64(1) (1)xxx25(42)xxx25(42)xx2x【例 24】 在的展开式中，的系数为 _（用数字作答） 【例 25】 求展开式中含项系数【例 26】 在的展

10、开式中，项的系数是 （用数字作答）【例 27】的展开式中的系数等于 _ （用数字作答）【例 28】展开式中的系数是 _（用数字作答） 25(42)xx3x294(31) (21)xxx2x26(1)(1)(1)xxxl2x2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx2x291()2xx9x【例 29】在的展开式中的系数是（）a-14 b14 c-28 d28【例 30】在的展开式中，含的项的系数是（）（a）15（b） 85 （ c）120（d）274【例 31】在的展开式中，含项的系数是（用数字作答）【例 32】求展开式中的系数【例 33】在二项式的展开式中，含的项的系数是（）abcd【例

11、 34】的展开式中的系数是 _，的系数为 _8(1)(1)xx5x(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx4x56789(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx3x26(1)xx5x521xx4x10105534(12 ) (1)xxx2x【例 35】的展开中含的项的系数为（）abcd【例 36】的展开式中的系数是（）abc3 d 4【例 37】 求展开式中的系数；【例 38】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（）abcd【例 39】的展开式中的系数是（）abcd【例 40】在的展开式中，的系数为（用数字作答）411(1)xx2x4610126411xxx4331011xx5x521xx4x

12、1010556(2)x3x2040801604(1)xx【例 41】在的展开式中，的系数为_ （用数字作答）【例 42】的二项展开式中含的项的系数为（）abcd【例 43】若的二项展开式中的系数为则 （用数字作答）【例 44】设常数，展开式中的系数为，则_【例 45】已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则3333(1)11xxxx91xx3x36843684261()xax3x5,2a0a241()axx3x32a26(1)kxk8xk【例 46】 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等【例 47】的二项展开式的第项的系数为（）abcd【例 48】 若的二项展开式中的系数为则 （

13、用数字作答）【例 49】若与的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围是（）abcd【例 50】 已知，则二项式展开式中含项的系数是【例 51】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么5( cos1)x2x45()4x3xcos101xx6210252210252261()xax3x5,2a_21()nxm2(1)(*0)nmxnmn，nxm12(23，21)3，(0)，(0)，0sincosaxx dx61axx2x7(1)ax3x2x4x1a_a【例 52】已知（是正整数）的展开式中，的系数小于，则_【例 53】的展开式中的系数为【例 54】若的展开式中，的系数是的系数

14、的倍，求；【例 55】的展开式中，的系数与的系数之和等于_【例 56】已知为实数，展开式中的系数是，则_26(1)kxk8x120k4()xyyx33x y(1)nx3xx7n10()xy73x y37x ya10()xa7x15a【例 57】 二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大，求第项的系数【例 58】 求的二项展开式中含的项的二项式系数与系数【例 59】 若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为 _【例 60】 令为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为41nxxx44491xx3x12nxx4xna1( )(1)nnfxx1nx1na2009_【例 61】在的展开式

15、中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求的值【例 62】已知，则【例 63】在展开式中，与的系数分别为，如果3ab，那么的值为（）abcd【例 64】若的展开式中的系数是， 则实数的值是 _7(1)ax(1)a3x2x4xa52551110axxbxa xlb1nx3x2xab，b706055405(1)ax3x80a【例 65】设常数，展开式中的系数为，则【例 66】若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则等于（）abcd【例 67】设为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为 _ 【例 68】 已知展开式的第二项与第三项的系数比是，则_【例 69】在的展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，则第项为 _0a421axx3x32a12nxx21x41x5n46810na1( )(1)nnf