静态电磁场及其边值问题的解PPT课件

1、第1页静态电磁场：静态电磁场： 电场矢量满足的方程和磁场矢量满足的方程是相互独立的恒定电场：恒定电场： 导电媒质中恒定运动电荷形成，电源提供能量 恒定磁场：恒定磁场：恒定电流产生电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静电场：静电场：静止电荷产生第1页/共124页第2页由3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件SdtDJl dHCS )(tDJH SdtBl dECS tBE SSdB00 B SqSdD D得 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第2页/

2、共124页第3页积分形式 微分形式 意义一、基本方程( (适用于任何介质的静电场) ) SqSdD CldE0 D0 E E 电荷是静电场的源 静电场是保守场 本构关系： ED 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第3页/共124页第4页电场强度的切向分量总是连续的 分界面上有自由电荷 分界面上无自由电荷 二、边界条件ttEE21 SnnDD 21nnDD21 即 nnEE2211 ( ( 时， 的法向分量是不连续的，因为分界面上存在束缚电荷) ) 21 折射关系： 2121 tgtg电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电

3、磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解E第4页/共124页第5页一、电位和电位差若 ( (梯度没有旋度) )，由此定义 3.1.2 电位函数电位函数0 A，则 uA 电位函数 ： 0 EE ；电位单位：V ( (伏特) ) 在直角坐标中， zeyexeEzyx 沿任意方向的投影： lEl 电位函数和电场的积分关系： l dEdlEdl A、B 两点的电位差： ),(),(zyxBzyxAABl dE 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第5页/共124页第6页或定义点A电位： ( (P 为参考点， ) ) BABAl dE P

4、AAl dE 0 P 说明： 电位有明确的物理意义； 电位差与参考点的选择无关； 同一问题中只能有一个参考点；应使电位表达式最简单：电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，均匀场或无限大带电体一般选择( )( )为参考点。 选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，常数常数 rrr00电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第6页/共124页第7页 体分布 面分布 线分布 分布电荷的电位 CRdVV 04 CRdSSS 04 CRdlll 04 点电荷电位：CRqRqRqRdRql deRqpRRRRRPP 000202044444 电

5、磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第7页/共124页第8页解： 由高斯定律，球外 球内 时， 例 电荷按体密度 )1(220ar 分布于一个半径的球形区域内，其中 0 为常数，计算球内外的电场( (第二章求过) )和电位函数。 ar 时，02224 QrESdES 300242000203158)(44)34(adrarrdrrrddVQaaaa 20302152raE ar ar )53(444125300120201arrErdrrSdErS 即： )53(23001arrE ；取无穷远点电位为零，则 电磁场与电磁波电磁场与电磁波

6、 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第8页/共124页第9页球内：球外： rarQdrEr0300221524 )1032(2152)53(2422000302300211arraradrarrdrEdrEdrEaraarr 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第9页/共124页第10页解：设内外圆柱上单位长度电量为 单位长度上:例 两无限长同轴导电圆柱，内外半径为a、b，其间加电压U， 求两圆柱间场强和单位长度电容。l ll 、，)/(mC 侧侧上底上底下底下底侧侧012 lSESdESdE 02lE

7、 ba ( )abddEUlbaballn2200 ababUlln20 abUEln 单位长度电容为: abUClln200 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第10页/共124页第11页静电场是位场电位梯度代替电场强度 1、 的微分方程二、静电位的微分方程 将 E0 E 代入 得 0 拉普拉斯算符 2 泊松方程 02 拉普拉斯方程 静电问题求解: E求02 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第11页/共124页第12页直角坐标： 2222222zyx 圆柱坐标： 22

8、22221)(1z 球 坐 标： 2222222sin1)(sinsin1)(1 rrrrrr电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第12页/共124页第13页2、 的边界条件 分界面上电位是连续的 21 ttEE21 用电位表示的 的法向分量的边界条件 D有自由电荷时 Snn 2211SnnDD 21无自由电荷时 nn 2211 nnDD21 由 ，nnED111 ，nnED222 nEn ( (上例结果) 导体表面上，电位的边界条件为 常数常数 Sn电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其

9、边值问题的解第13页/共124页第14页例 半径为 a 的导体球电位为U ( ( 无穷远处电位为0 ) )，求球外的 电位函数。解： 在 球 外： , 0 满足拉普拉斯方程 边界条件： ,ar U 球的场具有球面对称性： )(r 拉普拉斯方程： ，0)(1222 drdrdrdr 2112CrCCdrdr 无穷远为电位参考点： 0, 0,2 Cr aUCaCUUar 11, 故raU 第14页/共124页 例3.1.1 求电偶极子的电位解: : 我们关心远离电偶极子的场，即 rd的情形：采用球坐标，原点在偶极子中心， z 轴与 l 结合， 在远处的一点( ( , r) )的电 位等于两点电荷电

10、位迭加： 210122010444rrrrqrqrq 由余弦定理： cos2222bccba 21212221221cos1 cos)2(cos)2(2)2( rdrrddrdrdrr 212122210222cos1 cos)2()180cos()2( rdrrddrrddrr 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第15页/共124页第16页当 rd 时，2)/(rd略去，将 21rr、展开，再略去高阶项 由二项式定理： .81211)1(221 xxx， cos2)cos1(211drrdrr cos2)cos1(212drrdr

11、r ， cos12drr )(2221略去略去、drdrrr 20210124cos4rqdrrrrq 定义电偶极矩矢量： dqp ( (单位 ) ) mC rprrpreprpr14444cos0302020 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第16页/共124页第17页 35033030341114141rprrrprprrprrrpE 偶极子的特点： 具备轴对称性( (在球坐标中与 无关) )321,1rEr 偶极子的电场( (与 无关) ) ： 30304sin4cos21rperperereErr 或 电磁场与电磁波电磁场

12、与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第17页/共124页第18页例 画出电偶极子的电场线和等位线。 ，20210124cos4rqdrrrrq 30304sin4cos2rperpeEr 解：等值面方程和矢量线方程： ，Czyx ),( zyxFdzFdyFdx Cr),( 204cosrpC 0 、p cos1Cr EdrErdEdrrsin sin)(sin2sincos2drdrrddr在球坐标中为： 中， 为常数故 等位面方程： ( (可画出 对 的曲线) ) ，而 r 22sinCr电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值

13、问题的解静态电磁场及其边值问题的解第18页/共124页第19页解：问题的边界条件是： ， ； ， a a b b 介质分界面上: nnttDDEE2121 ，用高斯定律试探解： 1,1 DE设 ，C为常数，则 CeEE 21CC ln21电位满足在圆柱表面为常数的条件，即满足电场在分界面相切，即沿径向分布，有 故21EE ttEE21 而电场无法向分量，故 021 nnDD，因而满足 试探解是真实解 bababaCdCEdUln ，故 )/ln(abUC 例 求如图所示同轴电容器的电场和单位长度电容。第19页/共124页第20页1S ： 内单位长度面电荷密度； 2S ： 内单位长度面电荷密度

14、0 则 ，abaUEDaSln111 abaUEDSln02022 内导体单位长度表面电量为: 10110112112)/ln()/ln(2)/ln(2 abaUabaUabaUaaaSSl单位长度电容为: abUClln21010 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第20页/共124页第21页 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力物理量。 3.1.3 导体系统的电容导体系统的电容孤立导体电容： ， qC q 为导体电量， 为电位，其参考点在 大地也是导体，取 0 两个带等量异号电荷( ( q) )导体电容：

15、21 qUqC电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关( (该比值为常数) )电容的计算： UqCUEq )( 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第21页/共124页第22页电容器广泛应用于电子设备的电路中： 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频等作用通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能的损失和提高电气设备的利用率。 当有三个以上导体存在时，计算两个导体间的电容，就必须考虑其它导体

16、的存在。 在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的概念加以推广，引入部分电容的概念。此，研究多导体系统时，必须把电容的概念加以推广，引入部分电容的概念。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第22页/共124页第23页12C22C11C大地12如图，大地也是导体，但电位为零，图中 221112CCC、 都是部分电容， 如果要计算两个导体1、2 之间的电容，不能只算 ，而是 与 串联后再与 并联： 12C1

17、1C22C12C221122111221CCCCCC 部分电容：在多导体系统中，一个导体在其余导体的影响下， 与另一个导体构成的电容 导线导线 1 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12222111222C CCCCC导线导线 2 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12113221211C CCCCC电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第23页/共124页第24页电场能量来源：建立电荷系统过程中外界提供给系统的总能量3.1.4 静电场的能量静电场的能量设系统从零开始充电，最终带电量为q ，电位为 ； 充电过程中某一时刻的电

18、荷量为q 、电位为 ( (0 1 ) );当增加为( (+ d d) )时，外电源做功为: ( (q d d) )；对从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为： 1021 qdq 根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电场能量We ，即 ； qWe21 对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元dV中的电荷dV具有的电场能量为 。dVdWe21 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第24页/共124页第25页 整个空间整个空间整个空间整个空间dVdVdWe 2110)31. 1 . 3(只适用于静电场 如果电荷分布于表面

19、 所有表面所有表面dSWSe 21公式中的电荷全是自由电荷；有电荷的区域对积分才有贡献( (上式计算结果与电位参考点有关) ) 如果带电体是导体，则 变为 dSWSe 21iieqW 21 iieqW )2/1(也适用于点电荷系统，只是这时 是除 外的所有点电荷i iqeWeW产生的电位，即这时 给出的是相互作用能，不含自能，因为点电荷的自能无意义；而带电体导体系统的 既包括相互作用能，又包括自能 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第25页/共124页第26页一个导体情形 qWe21 两个导体情形 CqCUqUqWe22121212

20、221 场量表示电场能量( (静电场和时变场均适用) ) dVDdVEdVEEWe22212121 )36. 1 . 3( ( (该公式使用前提：电位的参考点为无穷远) )电场能量密度： 22212121DEEDwe 场蕴藏着能量 电场能量分布于有电场的空间中，而不是唯一有电荷的地方电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第26页/共124页第27页例3.1.6 计算一均匀分布电荷密度 0 的球的静电能, 球的半径为R , 球内外介质为真空。解：可用两种方法计算： )31. 1 . 3(或 式)36. 1 . 3(Rr 时，2003100

21、3203344rRERrEqSdE Rr 时，00200323434 rrrE 002002002002002200300126236633 rRRRrRdrrRdrrdrEdrEEdrRRrRRrr 第27页/共124页第28页由 式( (对有电荷的区域积分) ) )31. 1 . 3(50202000200201544622121RdrrrRdVWRe 由 式( (对有场的区域积分) ) )36. 1 . 3(20200520052022030022000020154924524321432121RRRdrrrRdrrrdVEWRRe 3.1.5 静电力( (略) ) 电磁场与电磁波电磁场

22、与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第28页/共124页第29页静电场解题 一、已知电荷分布求电场 用电场强度计算公式 用高斯定理-场对称/有介质分界面时：分界面上只有 或nEtE 由电位梯度二、已知电荷分布求电位 用电位计算公式 由电场强度的积分 解泊松方程或拉普拉斯方程电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第29页/共124页第30页 由边界条件 计算SnnDD 21四、求电容 假设板极上有电荷q ，则CUEq)( 假设板极间的电位为U ，则CqEU 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章

23、_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解三、求自由电荷 已知电场或电位分布，由 或 计算D 2 第30页/共124页第31页第二节第二节 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析恒定电场:导体中有直流电流时导体中的电场恒定电场特点导体中有电场，导体不是等位体电流、电场不随时间变化研究恒定电场意义分析导体中的电流分布计算导体的电阻、功率损耗恒定电场与静电场的重要区别：(1) (1) 恒定电场可以存在于导体内部；(2) (2) 恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中的恒定电流， 就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静

24、态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第31页/共124页第32页应用： 恒定电流场区域中也同时存在恒定电流。虽然恒定电流场的理论涉及不多，但其应用十分广泛。例如，电镀工艺、电力工程、地质勘探、油井测量以及超导技术中广泛应用了恒定电流场理论。此外，由于恒定电流场与静电场之间存在的相似性，可以利用恒定电流场研究静电场。恒定电场基本矢量： EJEJ 、电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第32页/共124页第33页3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件一、基本方程电流连续性方程 0 dVtJV 电

25、流连续性方程的微分形式 0 tJ 电场恒定电流不随时间改变电荷空间分布不随时间改变： 0 t 恒定电场的基本方程 I 00JSdJS 恒定电流连续性方程 恒定电流电荷分布不随时间改变恒定电场与静电场性质相同恒定电场基本方程 II EEl dEC或或00保守场 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第33页/共124页第34页恒定电场基本方程积分形式 SSdJ0 Cl dE0 微分形式 0 J0 E)( E 本构关系EJ 均匀导电媒质( ( 常数) )中的电位满足拉普拉斯方程： 02 推导： ，得 EE00)(02 EEJ电磁场与电磁波电

26、磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第34页/共124页第35页二、不同导体分界面上的边界条件不同导体：不同电导率的导体均匀导体中 ，表面上 ， 0 0 S JE、经过表面时要发生突变 边界条件有两个： )(2211221121nnEEJJnnnn ，)(2121 ttEE 其推导过程与静电场完全一样： 021 SJSJSdJnSn nnJJ21 或 或 nn 2211 nnEE2211 021 lElEldEttC ， 或 ttEE21 21 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第35页/

27、共124页第36页导体边界面的折射关系21212211 tgtgtgtg推导： nnnnEEJJ221121 相除相除 221121211111sinsincoscos EEEEEEtt电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解导电媒质分界面上的电荷面密度 n2211222111n21n)()()(JJJeDDeS 边界条件矢量形式： ，0)(21 JJen0)(21 EEen媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene第36页/共124页 工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的

28、电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流 J 存在。 UIG IUGR 1电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解漏 电 导：漏电流与电压之比 绝缘电阻：漏电导倒数 第37页/共124页第38页例 同轴线内外径分别为 a、b, 外加电压 U ，填充介质 0 ，有微小的漏电( (电导率不为零，就具有导体性质) )，求漏电介质中的 0GJE和和， ( (单位长度电导) )。 解：介质中 EE ；内外导体中有 zJ即轴向电流，也就有 ， zE只是 EEz，忽略 zE，故漏电介质中的电位只是

29、 的函数， 故 212ln0)(10CCdddd 边界条件： Ua ,0, b，代入上式，得 abUEJabUddEbabUlnlnlnln 第38页/共124页第39页单位长度漏电流 abUabaUaJSIln2ln1200 单位长度漏电导 abUIGln200 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第39页/共124页第40页例两层介质的平板电容器，求通过的电流和分界面上 。 S 解：设通过电容器的电流为 I ，则 JSIJJJJnn 2121，11 JE 22 JE SIddJdddEdEU21211222112211)( Udd

30、JSUddI211221211221 ，JEDS111111 JDS2222 21212211DDDDeDSSSSSSn UddUddJDDS21122112211221212112221121)( 第40页/共124页第41页3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟- -对应的物理量做替换对应的物理量做替换 恒定电场与静电场分析的方法完全一样，两者的场方程形式相同,如果两个问题的边界条件相同，则这两个问题的解也一定相同 静电场 ED Cq 恒定电场 EJ GI 静电场 恒定电场 )(0 EE0 D02 nnDD21 ttEE21 SSdDqED )(0 EE0 J02 nnJ

31、J21 ttEE21 SSdJIEJ 第41页/共124页第42页静电场中两导体间的电容 212111l dESdEl dESdDUqCSS 恒定电场中两个电极间的电导 212111l dESdEl dESdJUIGSS CG例 单位长度的同轴电缆电容： abCln20 解：用静电比拟法，单位长度的漏电导： abCGln200 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第42页/共124页第43页电导计算方法： 假设两电极间流过电流I，则 GUEJI 假设两电极间电压为U， 则 GIJEU 根据静电比拟，则 / CG静电场与恒定电场的不同：

32、 静 电 场：静止电荷产生的场，带电体充有电荷后无需外电源能量 恒定电场：恒定流动的电荷产生的场，有外电源提供能量才能 维持电荷恒定流动 静 电 场：导体内没有电场，导体是等位体 静电场( (无源区域) )与恒定电场( (电源外) )的相同： 两种场的特性方程和边界条件具有相似形式，场量之间是对偶量 可静电比拟：两种场的边界条件相同，则有相同形式的解恒定电场：导体内有电场，存在恒定电流，各点电位不同，导体 不再是等位体，表面也不是等位面14-100419-3,4;几分钟第二章作业几分钟第二章作业第43页/共124页第44页第三节第三节 恒定磁场分析恒定磁场分析3.3.1 恒定磁场的基本方程和边

33、界条件恒定磁场的基本方程和边界条件由麦克斯韦方程组，SdtDJl dHCS )(tDJH ，SdtBl dECS tBE ， SSdB00 B， SqSdD D电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解一、基本方程得 第44页/共124页第45页安 培 定 律 磁通连续性 积分形式 微分形式 本构关系 Il dHC 0 SSdBJH 0 BHB 二、边界条件电磁场边界条件(1)nnDD21 )0(S 21DeDenn SnnDD 21 )0(S SnDDe )(21(2) nnBB2121BeBenn (3) ttEE2121EeEenn

34、恒定磁场基本方程：ttHH21 )0(SJ21HeHenn STttJHH 21 )0(SJSnJHHe )(21(4)恒定磁场的边界条件nnBB21 ttHH21 )0( SJSTttJHH 21)0( SJ第45页/共124页第46页3.3.2 矢量磁位和标量磁位矢量磁位和标量磁位一、矢量磁位磁通连续性: ABB0B用矢量 的旋度表示 AA称为矢量磁位( (矢量位) )，单位为 ( (特米) )或 Wb/mmT ，BA ? A指定 的值，称为一种规范 A 库仑规范： 0 A( (在恒定磁场情形) ) 二、矢量位的微分方程JAB0 而 即AAA2)( ，故)0( A矢量位的泊松方程： JA0

35、2 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解JAAA022)( 矢量位的拉普拉斯方程： 02 A 无源( ( 0 J) )空间 第46页/共124页第47页三、矢量位的计算在直角坐标中 JA02 可以分解为三个分量方程 ，xxJA02 ，yyJA02 zzJA02 zyxAAA、分别都是标量，其中 是标量拉普拉斯算符， 2 因而 ， VxxRdVJA 40， VyyRdVJA 40 VzzRdVJA 40合并后矢量位泊松方程的特解为 体电流 VRdVJA 40RdVJAd 40 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边

36、值问题的解静态电磁场及其边值问题的解面电流 SsRdSJA 40RdSJAds 40 线电流 CRlIdA 40RlIdAd 40 第47页/共124页第48页除直角坐标外，其余坐标系内 JA02 的计算都十分复杂； 二维场情况，矢量位的计算较简单，比如无限长柱体电流产生的场：JeJz ，或 ，而 ，或IdlelIdz dVJAd/lIdAd/即矢量位只一个分量， zzAeA ，实际上求 的问题就是一个标量 A任意横截面柱体产生的 计算：求线电流的矢量位加起来( (积分) ) A线电流的矢量位与线电荷的电位公式对比得： 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态

37、电磁场及其边值问题的解问题了。Cl 1ln20CIAz 1ln20AB、都是矢量，但 的求解比 简单，故先求，再求 AB 磁通由矢量位直接计算： CSSl dASdASdB BA第48页/共124页第49页例3.3.2 求无限长直线电流的 和 。 2/1222/122022220222/122002222ln4)()(ln4)(44 zlzlzlzlIezzzzIezzzdIeRl dIAzllzllzlz(,)z zddzI le I zRxyL/2-L/2电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解BA ， 001lnln A分母分母分子

38、分子，此时线电流的 即 为0 BA第49页/共124页第50页无限长的情形： ， ( (相比之下可以) )不计，则 lz lIelIellllIeAzzzln2ln42222ln402022220 即 ， ，其原因是 ， ，为此 l A 0A在 处取 ，即 0 0 A 00ln2IeAz A的解加上任意常数不会影响 ， B 20IeAeABz 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第50页/共124页 cos2cos2ln4ln2lnln222220120210aaaaIeIellIeAzzz， cos2221ara )180cos(2

39、222 ara22212202221220cos)(sin)(11)(11 aIaeaIaeAaAeAAeAzAezAAeABzzzzz 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解例 求线间距为2a的双导线传输线的 和 。解：双导线传输线可以视为无限长通过相反 电流的平行直线，而由上例，可以得BA第51页/共124页第52页例3.3.1 计算通过电流 I半径为a 的小圆环在远离圆环处的 。B解：取球坐标 ，圆环的场是轴对称的，与 无关。把场点 放在 即 面上， 点的坐标为。如上左图，每两个),( r 0 xz)0 ,( r单元 在P点产生的

40、 合成 沿 y方向，即 方向( (圆的切向) )lIdAd A 00)(cos24addlRadIA在 解用余弦定理: PPO 2122cos2 ararR 第52页/共124页第53页求 ：如图， cosPPR 2122cos21 r rrrR)( cosr rrr r rz zyyxxr rrr cos而球坐标中, , , ,则 cossinrx sinsinry cosrz coscossinsinsinsincossincossincos)cos(sinsincoscoscos 在此例中， ( (场点在 面上) )，而 轴与圆环轴相合，电流元0 xzz在切线上，故 ，故 2 cossi

41、ncos或者，将 2/1222)cos()cossin()sin( raraR 展开，再有 1sincos22 ，也可得 cossin222raarR第53页/共124页第54页 2122cossin21 raarR arrr ,)(式式中中，2122cossin211 rarar, ar r大, 小 r121cossin211 rarxx21111 cossin11rar 2sin2coscossin1222000 raIdrarIaA sin4220raI , 0cos0 d 2cos2121cos2 sin4sin420220rISeeraIA 磁偶极子的矢量位 )()(sinsin r

42、ArreAreABr sin4cos243030rISerISeBr 磁偶极子的场 磁偶极矩( (磁偶极子的磁矩) )： SIpm 第54页/共124页第55页四、标量磁位在静磁场中，无自由电流的空间， ，0 J0 H引入标量函数 ( (标量磁位) )： m mH 单位为安( (A) ) 由 000 HHB 而 02 mmmH 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解m m 的微分方程： 02 m 的边界条件与 有相同形式： 静电场： ，nnDDnn 21212121 ttEE静磁场： ，nnBBmmnn 221121 2121mmttH

43、H 第55页/共124页静电位 磁标位 磁标位与静电位的比较0,ED0,0HBE mH PP m0M 2P0() 2mm0 m0 n21()SeMM Pn21()SePP m1m2m1m212,nn121212,nn 静电位静电位 0 PEDP磁标位磁标位 m 0mHB0M第56页/共124页第57页3.3.3 电感电感一、自感和互感电流回路C，在空间任意点 IB 磁通: ，故 SdB I 磁链: ，故 N I 自磁链：回路本身电流产生的磁链自感定义： 设回路C中的电流为I，所产生的磁场与回路C交链的磁链为 ，则磁链 与回路C中的电流 I 有正比关系，其比值IL ( (亨，H) ) 称为回路C

44、的自感系数，简称自感。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解( (N - 导线回路匝数) ) CI 细回路第57页/共124页互磁链：回路C1 ( ( C2) )中I1( (I2) ) 产生的磁场与C2 ( (C1) )交链的磁链 互感定义：对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路C2 ,当回路C1中通过电流 I1时，不仅与回路C1 交链的磁链与I1成正比，而且与回路C2交链的磁链 12也与I1成正比，其比例系数 ( (亨，H) ) 11212IM 称为回路对回路的互感系数，简称互感同理，回路C2对回路C1的互感为 。22121IM 自感系数

45、或自感： 2222222222211111111111ILILLIILILLI 比例系数比例系数比例系数比例系数互感系数或互感：，11212IM 22121IM ，11212IM 22121IM ( (亨，H ) ) C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r第58页/共124页第59页二、互感的计算设 C1、C2的 N=1，则 2221212121212CSSl dASdASdB C2在 上的矢量位 2l d 1110124CRdlIA 212110124CCRl dl dI C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r诺伊曼公式 21210112124CCRl dl dIM 同理 2112022

46、1214CCRl dl dIM 而 1221l dl dl dl d MMM 2112当 时， ，则 ，故 1 N12212 N RdlINA101124 21NNM 第59页/共124页第60页 例3.3.6 如图，求互感。解：由诺伊曼公式 ，先求 Rl dA112由于对称性，C2 上 A12 为常数，所以 Rl d1的计算可利用例3.3.1( (磁偶极子) )的结果： ， 而 sin4221012RIaeA 222021212122sin422aRIaaAl dAC 2/322222012)(2dabaIM （ ， ）222daR Ra2sin 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_

47、静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解两个平行且共轴的线圈2Cd1a2a1C1dl2dl21xyz121第60页/共124页第61页互感的特点： 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关； 满足互易关系，即M12 = M21； 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互感 系数 M 为正值；反之，则互感系数 M 为负值。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。自感的特点：第61页/共124页02IBe0001dd

48、 dd22d bzd bSddIIzBSz由图中可知由图中可知()tan( 3)3()zbdbd长直导线与三角形回路Idz60bddSz穿过三角形回路面积的磁通为穿过三角形回路面积的磁通为 解解 设长直导线中的电流为设长直导线中的电流为I ，根据根据安培环路定理，得到安培环路定理，得到 例例3.3.6 如图所示，长直导线与三角如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。形导体回路共面，求它们之间的互感。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第62页第62页/共124页031()d2dbdIbd03()ln(1)2Ibbdb

49、d03()ln(1)2bMbdbId因此因此故长直导线与三角形导体回路的互感为故长直导线与三角形导体回路的互感为第63页电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第63页/共124页第64页三、自感的计算 自感的计算也用诺伊曼公式，这时C1、 C2变成一个回路，但是这时不能把 C1、 C2看成线回路，必须考虑导线的横截面为有限值。 设 =外磁通+内磁通 内内外外LLL =外自感+内自感 212104CCRl dl dIL 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解IL 外外 粗导线构成的

50、回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 外外 ；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 内内。 内CI 外粗回路IL 内内第64页/共124页第65页电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解IL 内内a 时的磁感应线包围的电流是I 的小数倍，由安培环定律，有 20iB IaaIi2222 202 aIB 面元上的磁通为 daIdBd2021

51、第65页/共124页第66页面元包围的电流为 ，即包围的匝数为 ，故 Ia22 22a daIdaIad430202222 这就是把磁通理解为磁感应线包围的匝数，因而磁链为 aaIaIdaI0004404308422 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解 80 IL内内( (亨) )单位长度的内自感 第66页/共124页第67页 例3.3.4 求双线传输线单位长度的自感，导线半径为a，间距为 。aD 解：导线流过电流I ,由安培定律: 20IB 总的 为两者迭加，即 B xDxIB1120 BdxBdxBdSd 1 aaDIdxxDx

52、IaDa ln11200 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解xyzxDaPIIaDaaDILlnln00 第67页/共124页第68页两根导线单位长度的内自感为： 48200 平行双线传输线单位长度的自感为： aDln400 比较：例3.1.5平行双线传输线单位长度的电容aDaaDUCllnln00 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解xyzxDaPIIxyzxDa第68页/共124页第69页当 ： 时，电源给一个回路的能量，即 1i10I磁场能量 21101111211I

53、LdiiLWI 两个回路磁场能量 222212121122112121ILIIMILWWWWm 回路C1的自有能，回路C2的自有能， C1和C2的互能 jiijjkkjiiimIIMILW)(21212122121 jkkjMM 212121kjjkkjIIM当 时， jk jjjLM 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，全部转化成磁场能量。 212211)(21kkkkkIIMIIM)(212222211212211111IIMIIMI

54、IMIIM 第69页/共124页第70页N 个载流回路磁场能量 NkNjjkkjmIIMW1121( (J，焦耳) ) VmdVAJW21对于体分布电流 磁场能量用场量表示 dVBHWm 21积分是对整个空间取的，凡是场不等于零的空间对积分都有贡献磁能密度 22212121HBHBwm 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电、磁场能量对应： 22222121212121212121HHBwdVwdVHdVHBWEEDwdVwdVEdVEDWmVmVVmeVeVVe 第70页/共124页第71页例3.3.7 求同轴线单位长度内储存的磁场

55、能量。解： 如图所示，同轴线的内导体半径为a , 外导体的内半径为b，外导体的外半径为 c 。 内、外导体之间填充的介质以及导体的磁导率均为 ,设电流为 I，根据安培环路定律求出磁场分布 0 212 aIeH a 0电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解abc 22IeH ba 222222bccIeH cb 第71页/共124页第72页由此即可求出三个区域单位长度内的磁场能量分别为mJIdaIdHWaam/162222220022002101 mJabIdIdHWbabam/ln42222220202202 mJbcbcbcbccId

56、bccIdHWcbcbm/)(43ln)(422222222222224202222202303 同轴线单位长度储存的总磁场能量为mJbcbcbcbccIabIIWm/)(43ln)(4ln416222222224202020 单位长度的总自感 2222222240002)(43ln)(2ln2482bcbcbcbccabIWLm 第72页/共124页第73页3.3.5 磁场力磁场力( (略略) )恒定磁场解题一、求解磁场分布 直接用磁感应计算公式 用安培环路定理 由矢量磁位 由标量磁位电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解二、电流的计

57、算 已知磁场或矢量磁位分布，由 或 计算 由边界条件 计算 SttJHH 21三、求电感 假设回路 C 中流过的电流 I，则 LBHI 利用诺伊曼公式 计算互感 212104CCRl dl dM 利用磁场能量 计算自感221LIWm HJ AJ2)1( 第73页/共124页第74页第四节第四节 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理边值问题：在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程边界条件：在有限空间的边界上已知的条件l 周期边界条件 l 自然边界条件 ( (无界空间) )电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的

58、解2rS有限值rrlim(2)l 衔接条件不同媒质分界面上的边界条件1212121212,nn第74页/共124页第75页3.4.1 边值问题的类型边值问题的类型（括号内是导体为边界的情况括号内是导体为边界的情况）1. 狄利克莱问题：已知整个边界上的电位函数，求 2 ( (已知表面电位函数) ) 2. 诺伊曼问题：已知整个边界上的电位法向导数，求 ( (已知导体总电量，因为 ) ) nS 03. 混合问题：已知边界上一部分电位和另一部分电位的 法向导数，求 ( (已知一部分导体电位；另一部分导体电量) )电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问

59、题的解 2 2 第75页/共124页22220 xy例：例：(0, )0, ( , )0ya y0( ,0)0, ( , )xx bU（第一类边值问题）（第一类边值问题）0UbaOxy0UbaOxy0 x0 x22220 xy00,0 xx axx0( ,0)0, ( , )xx bU（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第76页第76页/共124页3.4.2 惟一性定理惟一性定理 在场域V的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯 方程在场域V 具有惟一值 n 用反证法证明拉普拉斯方程

60、，即 的解的惟一性定理 02 设有两个解, , 满足 和给定的边界条件，因为拉普拉斯方程是线性的，故 也是拉普拉斯方程的解， 02 即 02 ；对第一类边值问题，在 S上， ，则 ； 0 对第二类边值问题，在 S上， 给定值，则 。 nn 0 n 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第三章第三章_静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解惟一性定理的表述： 在给定的边界条件下( (上述三类条件之一) ), 泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的、02 第77页第77页/共124页第78页在格林第一恒等式中，令 , ,则恒等式为 dSndVVS )(2而 ( (在 S上) ),故对两类边值问题都