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丽水学院第七届高等数学（微积分）竞赛试卷（数学类） 时间：2013年3月23日，8:3011:00学院： 班级： 姓名：题号一二三四五总分得分一、计算题(本大题共5小题，每小题14分，共70分)1. 求极限（1）（2）解：（1）=（2） =而所以. 计算积分（1） （2）设是上的连续函数，试交换累次积分的积分顺序。解：（1） =（2）3. 比较的大小。解：题目等价于比较的大小。由知，在中严格递减。而4. 设，求：，.解：5. 证明：。证：记则因此二、（满分20分）设在有限区间上有定义，且对任意的都存在，证明：对任意的区间中使得的点至多只有有限个。证明：反证法，假设存在在中有一列使由于有界故有收敛子列，不妨设为又由存在知，对上述存在使有 从而存在正整数当有 固定某个由存在，故存在使 所以 矛盾。因此结论成立。三、（满分20分） 设在内可导，上连续，且对任意有，又 证：存在有证明：构造函数， 显然在内可导，上连续，且 由微分中值定理知，存在使. 令，结合从而在单调增，有，得四、（满分20分）证明：。证明： 显然所以收敛。又因为而发散，类似前面可证收敛。因此发散。从而。五、（满分20分）从调和级数中去掉所有在分母的十进制表示中含数码8的项（如：等），判断由此所得余

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