随机过程考试真题

1、1、设随机过程ctrtx)(，), 0(t，c为常数，r服从 1,0区间上的均匀分布。（1）求)(tx的一维概率密度和一维分布函数；（2）求)(tx的均值函数、相关函数和协方差函数。2、设ttw),(是参数为2的维纳过程，)4, 1 ( nr是正态分布随机变量；且对任意的t，)(tw与r均独立。令rtwtx)()(，求随机过程ttx),(的均值函数、相关函数和协方差函数。3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180 人，即180；且每个顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。 求一天内（ 8 个小时）商场营业额的数学期望与方差。4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：3.007 .08

2、.02 .0007 .03 .0p（1）求两步转移概率矩阵)2(p及当初始分布为032, 1 1000xpxpxp时，经两步转移后处于状态2 的概率。（2）求马尔可夫链的平稳分布。5 设马尔可夫链的状态空间 5, 4, 3 ,2, 1i，转移概率矩阵为：010007.03. 0000000100004.06 .0003. 04 .03 .0p求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。6、设( ),0n tt是参数为的泊松过程，计算( )()e n t n ts。7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以in记在i第层进入电梯的人数。假定in相互独立，且in是均值为i的泊松变量。 在第

3、i层进入的各个人相互独立地以概率ijp在第j层离开电梯，1ijjip。令jo在第j层离开电梯的人数。（ 1）计算()je o（ 2）jo的分布是什么（ 3）jo与ko的联合分布是什么8、 一质点在1， 2， 3 点上作随机游动。 若在时刻t质点位于这三个点之一，则在),htt内，它都以概率)(hoh分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(tpji及平稳分布。1 有随机过程 (t)，-t和 (t)，-t，设(t)=a sin(t+)，(t)=b sin(t+ ),其中a，b，为实常数，均匀分布于 0， 2 ，试求r(s,t) 2（15 分） 随机过程(t)=a

4、cos(t+)，-t+，其中a, ,是相互统计独立的随机变量，ea=2, da=4, 是在 -5, 5 上均匀分布的随机变量，是在 - ，上均匀分布的随机变量。试分析(t)的平稳性和各态历经性。3 某商店顾客的到来服从强度为4 人每小时的poisson 过程，已知商店9：00 开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。4 设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1 表示） 、正常（用2 表示）、畅销（用 3 表示） 。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无

5、关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移开率矩阵为：61326195913102121p试对经过长时间后的销售状况进行分析。5 设x(t),t0是独立增量过程, 且x(0)=0, 证明 x(t),t0是一个马尔科夫过程。6 设n(t),t0是强度为的泊松过程，ky ,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与n(t),t0独立，令n(t)kk=1x(t)=y ,t0，证明：若21e(y )，则1e x(t)te y7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有

6、雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。8 设tt ,是平稳过程，令tttt,cos0，其中0是常数，为均匀分布在 0,2 上的随机变量，且tt ,与相互独立，r( )和s()分别是tt ,的相关函数与功率谱密度，试证：（1）tt ,是平稳过程，且相关函数：0cos21rr（2）tt ,的功率谱密度为：0041sss9 已知随机过程(t )的相关函数为：2er，问该随机过程(t )是否均方连续？是否均方可微？1、设随机过程ctrtx)(，), 0(t，c为常数，r服从 1, 0区间上的均匀分布。（1）求)(tx的一维概率密度和一维分布函数；（2）求)

7、(tx的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】（1）xdttfxf)()(，则)(tf为密度函数；（2）)(tx为),(ba上的均匀分布，概率密度函数其他,0,1)(bxaabxf，分布函数bxbxaabaxaxxf, 1, 0)(，2)(baxe，12)()(2abxd；（3）参数为的指数分布，概率密度函数0,00,)(xxexfx，分布函数0, 00,1)(xxexfx，1)(xe，21)(xd；（4）2)(,)(xdxe的正态分布， 概率密度函数xexfx,21)(222)(，分布函数xdtexfxt,21)(222)(， 若1,0时，其为标准正态分布。【解答】本题可参加课本习题2

8、.1 及 2.2 题。（1） 因r为 1,0上的均匀分布，c为常数，故)(tx亦为均匀分布。 由r的取值范围可知，)(tx为,tcc上的均匀分布， 因此其一维概率密度其他,0,1)(tcxctxf，一维分布函数tcxtcxctcxcxxf, 1, 0)(；（2）根据相关定义，均值函数cttextmx2)()(；相关函数2)(231)()(),(ctscsttxsxetsrx；协方差函数12)()()()(),(sttmtxsmsxetsbxxx（当ts时为方差函数）【注】)()()(22xexexd；)()(),(),(tmsmtsrtsbxxxx求概率密度的通解公式| )(|/)(|)(|)

9、()(yxyfxyyfxft2、设ttw),(是参数为2的维纳过程，)4, 1( nr是正态分布随机变量；且对 任 意 的t，)(tw与r均 独 立 。 令rtwtx)()(， 求 随 机 过 程ttx),(的均值函数、相关函数和协方差函数。【解答】此题解法同1 题。依题意，|)|,0()(2tntw，)4, 1 ( nr，因此rtwtx)()(服从于正态分布。故：均值函数1)()(textmx；相关函数5)()(),(txsxetsrx；协方差函数4)()()()(),(tmtxsmsxetsbxxx（当ts时为方差函数）3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180 人，即1

10、80；且每个顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。 求一天内（ 8 个小时）商场营业额的数学期望与方差。【解答】此题可参见课本习题3.10 题。由题意可知，每个顾客的消费额y是服从参数为s的指数分布，由指数分布的性质可知：21)(,1)(sydsye，故222)(sye，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期望)(1808)8(yemx；一天内商场营业额的方差)(1808)8(22yex。4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：3.007.08 .02 .0007 .03 .0p（1）求两步转移概率矩阵)2(p及当初始分布为032, 1 1000xpxpxp时，经两步转移后处于状态2

11、的概率。（2）求马尔可夫链的平稳分布。【解答】可参考教材例4.3 题及 4.16 题（1）两步转移概率矩阵09.049.042.04 .004.056.056.035.009.03.007 .08.02.0007.03.03 .007 .08 .02.0007.03.0)2(ppp当初始分布为032, 1 1000xpxpxp时，56.035.009.009.049.042.04.004.056.056.035.009.0001故经两步转移后处于状态2 的概率为0.35 。（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组13. 08. 0002 . 07 . 07.

12、 003.0321321332123211解上述方程组得平稳分布为238,237,2383215、设马尔可夫链的状态空间 5 ,4 , 3, 2, 1i，转移概率矩阵为：010007.03. 0000000100004.06 .0003. 04 .03 .0p求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。【解答】此题比较综合，可参加例4.13 题和 4.16 题画出状态转移图如下：（1）由上图可知，状态分类为 5, 4;3,2, 121gg（2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。a、对1g常返闭集而言，解方程组1003 .014.

13、04.006 .03 .0321321332123211解上述方程组得平稳分布为5037,90259,1537321则各状态的平均返回时间分别为37501,259901,37151332211tttb、对2g常返闭集而言，解方程组1 2 3 4 5 107.013.021212211解上述方程组得平稳分布为177,171021则各状态的平均返回时间分别为7171,101712211tt6、设( ),0n tt是参数为的泊松过程，计算( )()e n t n ts。【解答】222( )()( )()( )( )( )()( )( )( )()( )( )()(1)e n t n tse n tn

14、 tsn tn te n tn tsn ten te n te n tsn ten ttstttts7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以in记在i第层进入电梯的人数。假定in相互独立，且in是均值为i的泊松变量。 在第i层进入的各个人相互独立地以概率ijp在第j层离开电梯，1ijjip。令jo在第j层离开电梯的人数。（ 1）计算()je o（ 2）jo的分布是什么（ 3）jo与ko的联合分布是什么【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。以ijn记在第i层乘上电梯，在第j层离去的人数，则ijn是均值为ijip的泊松变量 ,且全部),0(ijinij相互独立。因此：(1) j

15、ijiijiie oenp(2)由泊松变量的性质知，jijiijiionp是均值为的泊松变量(3) 因ikoo与独立， 则2!)()()(ekiekeiopopoopikkikiki， 为期望。8、 一质点在1， 2， 3 点上作随机游动。 若在时刻t质点位于这三个点之一，则在),htt内，它都以概率)(hoh分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(tpji及平稳分布。【解答】参见教材习题5.2 题依题意，由)()(lim0jiqttpijijt得，)( 1jiqij，柯尔莫哥洛夫向前方程为)()()(21,1,tptptppjijiijij，由于状态空间

16、3 , 2, 1i，故1)()()(1,1,tptptpjijiij，所以1)(3)(1)(2tptptppijijijij，解上述一阶线性微分方程得：31)(31tijcetp，由初始条件jijipij, 0, 1)0(确定常数c，得jiejietpttij,3131,3231)(3131故其平稳分布3 ,2, 1,31)(limjtpijtj1、有随机过程 (t)，-t和 (t)，-t，设 (t)=asin(t+)，(t)=bsin(t+ ),其中a，b， ，为实常数，均匀分布于 0，2 ，试求r(s,t) 1.解：1,0220,f其它20201,sinsind21coscos2d41co

17、s,2rs testasbtabtstsabtss t2、随机过程(t)=acos(t+)，-t=0 ，依题意n(t) 是参数为的 poisson 过程。（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：1422102p nee（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为102n，在未来半小时仍无顾客到来可表示为1102nn，从而所求概率为：1412211(1)0 |02211(1)0 |00221(1)02pnnnpnnnnpnnee4、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1 表示） 、正常（用2 表示）、畅销（用 3 表示） 。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月

18、到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移开率矩阵为：61326195913102121p试对经过长时间后的销售状况进行分析。4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且pii0，从而所有状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为=1，2，3，求解方程组：= p, 1+2+3=1 即：1619532912161312132133223211321得：236,239,238321即极限分布为：236,239,238由计算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最小。5、试对以下列矩阵为一步转移概率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。（1）5. 05. 00005. 05. 0000006.004 .0001 .