八年级因式分解难题(附答案及解析)汇编

1、学习-好资料2017年05月21日数学(因式分解难题)2一.填空题(共10小题)1,已知 x+y=10, xy=16,x2y+xy2 的值为.2 .两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2 (x-1) (x-9);另一位同学因看错了常数项分解成 2 (x-2) (x- 4), 请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：.3 .若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则 m的值是 .4 .分解因式：4x2-4x- 3=.5 .利用因式分解计算：2022+202X 196+982=.6 . ABC三边 a, b, c满足 a2+b2+c?=ab+bc+ca,则

2、ABC的形状是.7 .计算：12 22+32 42+52 62+1002+1012=.8 .定义运算ab= (1-a) b,下面给出了关于这种运算的四个结论：2* ( - 2) =3 a*b=b*a若 a+b=0,则(a*a) + (b*b) =2ab若 ab=0,则 a=1 或 b=0.其中正确结论的序号是(填上你认为正确的所有结论的序号).9 .如果 1+a+a2+a3=0,代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=.10 .若多项式x2-6x- b可化为(x+a) 2-1,则b的值是.二.解答题(共20小题)11.已知n为整数，试说明(n+7) 2 - (n-3) 2的值一定

3、能被20整除.12 .因式分解：4x2y 4xy+y.13 .因式分解更多精品文档学习-好资料(2) (x-y) 2+4xy.14 .先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n26n+9=0,求 m和 n 的值.解：: m2+2mn+2n2 6n+9=0m2+2mn+n2+n2- 6n+9=0(m+n) 2+ (n - 3) 2=0 m+n=0, n 3=0 .m= -3, n=3问题：(1)若 x2+2y2 2xy+4y+4=0,求 Xy 的值.(2)已知AABC的三边长a, b, c都是正整数，且满足 a2+b2-6a-6b+18+| 3 -c| =0,请问ABC是怎样形状

4、的三角形？15 .如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差， 那么称这个正整数为 和 谐数”.如4=22- 02, 12=42- 22, 20=62-42,因此4, 12, 20这三个数都是和 谐数.(1) 36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k (其中k取非负整数)，由这两个连续偶数 构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？(3)介于1到200之间的所有 和谐数”之和为.16 .如图1,有若干张边长为a的小正方形、长为b宽为a的长方形以及 边长为b的大正方形的纸片.(1)如果现有小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，请你将它们拼成一个大长方形 (在图2虚

5、线框中画出图形)，并运用面积之间的关系，将 多项式a2+3ab+2b2分解因式.(2)已知小正方形与大正方形的面积之和为169,长方形的周长为34,求长方形的面积.(3)现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张， 把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，求可以拼成多少种边长不同的正方形.17 . (1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积;由此，你可以得出的一个等式为： (2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3所示.请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，

6、画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图.18 .已知 a+b=1, ab=一 1,设 s1=a+b, S2=a2+b2, S3=a3+b3,，Sn=an+bn更多精品文档学习-好资料x+3n(2)请阅读下面计算S3的过程：=(/ +犷(7)+百+1占)-宙1+口%)=g-4汇绍+(/4玳»-白帅十©=g+5°一口可。+切一因为 a+b=1, ab=- 1,所以 S3=a3+b3= (a+b) (a2+b2) - ab (a+b) =1XS2- (-1) =S2+1=你读懂了吗？请你先填空完成(2)中S3的计算结果，再用

7、你学到的方法计算S4.(3)试写出Sn 2, Sn-1, Sn三者之间的关系式；(4)根据(3)得出的结论，计算生.19 . (1)利用因式分解简算：9.82+0.4X9.8+0.04(2)分解因式：4a (a- 1) 2 (1 - a)20 .阅读材料：若 m2-2mn+2n2-8n+16=0,求 m、n 的值.解：m2- 2mn+2n2- 8n+16=0,(m2 2mn+n2) + (n2 8n+16) =0(m-n) 2+ (n-4) 2=0,( m - n) 2=0, (n-4) 2=0, . n=4, m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知 x2+2xy+2y2+2y+1=

8、0,求 x y 的值.(2)已知 ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 a2+b2- 6a-8b+25=0, 求 ABC的最大边c的值.(3)已知 a - b=4, ab+c2- 6c+13=0,贝 a - b+c=.21 .仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及 m 的化解：设另一个因式为(x+n),得 x2- 4x+m= (x+3) (x+n),贝U x2 4x+m=x2+ (n+3) 更多精品文档n+3= 4m=3n解得：n= - 7, m= -21丁另一个因式为(x-7), m的值为-21.问题：(1)若二次三项式x

9、2-5x+6可分解为(x- 2) (x+a),贝U a=；(2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1) (x+5),贝U b=;(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x- k有一个因式是(2x-3),求另一个因式以及k的值.22 .分解因式：(1) 2x2 - x;(2) 16x2- 1;(3) 6xy29x2y y3;(4) 4+12 (x-y) +9 (x-y) 2.23 .已知a, b, c是三角形的三边，且满足(a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2),试确定 三角形的形状.24 .分解因式(1) 2x4 - 4x2y2+2y4(2) 2a3-4a2b+2

10、ab2.25.图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四 块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形.(1)图中的阴影部分的面积为 ；(2)观察图请你写出三个代数式(m+n) 2、(m-n) 2、mn之间的等量关 系是.(3)若 x+y=7, xy=10,贝U (x y) 2=(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.更多精品文档学习-好资料如图，它表小了 .(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n) (m+3n) =m2+4mn+3n2.26.已知 a、b、c满足 ab=8, ab+c2+16=0,求 2a+b+c 的值.27.已知：一 个长 方体的长、

11、宽、高分别 为正整数a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：这个长方体的体积.28 . (x2-4x) 2- 2 (x2 -4x) - 15.29 .阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题:1+x+x (x+1) +x (x+1) 2 =(1+x) 1 +x+x (x+1)=(1+x) 2 (1+x)=(1+x) 3(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了一次.(2)若分解 1+x+x (x+1 ) +x (x+1 ) 2+- +x (x+1 ) 2004,则需应用上述方法 次， 结果是(3)分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+- +x (x

12、+1) n (n 为正整数).30 .对于多项式x3-5x2+x+10,如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3 -5x2+x+10=0,这时可以断定多项式中有因式(x- 2)(注：把x=a代入多项 式能使多项式的值为0,则多项式含有因式(x-a),于是我们可以把多项式 写成：x3 - 5x2+x+10= (x 2) (x2+mx+n),学习 好资料( 1 )求子中m 、 n 的值；(2)以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3-2x2- 13x-10的因式.更多精品文档学习-好资料2017年05月21日数学(因式分解难题)2参考答案与试题解析1 .填空题(共10小题)1.

13、(2016秋？望谟县期末)已知x+y=10, xy=16,贝U x【分析】根据多项式的乘法将 2 (x-1) (x-9)展开得到二次项、常数项； 将2 (x-2) (x-4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式，再对该 多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.【解答】 解：二匕(x- 1) (x-9) =2x2-20x+18; (x- 2) (x-4) =2x2- 12x+16;原多项式为2x2- 12x+18.2x2- 12x+18=2 (x2-6x+9) =2 (x-3) 2.【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键. 二次三项式分解因式， 看错了一次项系数，但二次项、常

14、数项正确；看错了常数项，但二次项、一次y+xy2的值为 160 . 【分析】首先提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.【解答】解：= x+y=10, xy=16, x2y+xy2=xy (x+y) =10X16=160.故答案为：160.【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.2. (2016秋？新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因 看错了一次项系数而分解成2 (x-1) (x-9);另一位同学因看错了常数项分 解成2 (x-2) (x-4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2 (x-3) 2 .更多精品文档学习-好资料 项正确.3.

15、 (2015春？昌邑市期末)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是 ± 4 .【分析】利用完全平方公式(a+b) 2= (a-b) 2+4ab、(a-b) 2= (a+b) 2-4ab 计算即可.【解答】解：x2+mx+4= (x±2) 2,即 x2+mx+4=x2±4x+4, m=±4.故答案为：± 4.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式 是解题关键.4. (2015秋？利川市期末)分解因式：4x2-4x-3=(2x-3) (2x+1).【分析】ax2+bx+c (aw0)型的式子的因式分

16、解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数ai, a2的积ai?a2,把常数项c分解成两个因数ci, C2 的积ci?C2,并使aiC2+a2Ci正好是一次项b,那么可以直接写成结果：ax2+bx+c= (aix+ci) (a2x+c2),进而得出答案.【解答】解：4x2 - 4x- 3= (2x-3) (2x+i).故答案为：(2x-3) (2x+i).【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键.5. (20i5春?东阳市期末)利用因式分解计算：2022+202X i96+982= 90000【分析】通过观察，显然符合完全平方公式.【解答】解：原式=2022+

17、2x202x98+982学习-好资料=3002=90000.【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.6. (2015秋？浮梁县校级期末) ABC三边a, b, c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca, 则 ABC的形状是 等边三角形 .【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以 2,再化简得(a- b) 2+ (a-c) 2+ (b-c) 2=0,得出：a=b=c,即选出答案.【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,即 a2 2ab+b2+a2 2ac+c2+b2 2bc+c2=0,即(a-b) 2+ (a-

18、 c) 2+ (b-c) 2=0,解得：a=b=c,所以， ABC是等边三角形.故答案为：等边三角形.【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得 a=b=c,由三边相等判定 ABC是等边三角形.7. (2015秋？鄂托克旗校级期末)计算：12- 22+32-42+52- 62十 1002+1012=5151.【分析】通过观察，原式变为1+ (32- 22) + (52- 42) + (1012- 1002),进一 步运用高斯求和公式即可解决.【解答】解：12 22+32 42+52 62+ 1002+1012=1+ (32 22) + (52- 42) + ( 1012

19、- 1002)=1+ (3+2) + (5+4) + (7+6) + (101+100)=(1+101) X 101+2更多精品文档学习-好资料=5151.故答案为：5151.【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题.8. (2015秋？乐至县期末)定义运算ab= (1-a) b,下面给出了关于这种运 算的四个结论：2* ( - 2) =3 a*b=b*a若 a+b=0,则(a*a) + (b*b) =2ab若 ab=0,则 a=1 或 b=0.其中正确结论的序号是(填上你认为正确的所有结论的序号).【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断.【解答】解：2

20、* (-2) = (1-2) X (-2) =2,本选项错误；a*b= (1-a) b, ba= (1-b) a,故a*b不一定等于b*a,本选项错误；若 a+b=0,贝 ( aa) + (bb) = (1 a) a+ (1b) b=a- a2+b- b2=- a2-b2= - 2a2=2ab,本选项正确；若ab=0,即(1 - a) b=0,则a=1或b=0,本选项正确，其中正确的有.故答案为.【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新 定义是解本题的关键.9. (2015 春？张掖校级期末)如果 1+a+a2+a3=0,代数式 a+a2+a3+a4+a5 +a6+

21、a7+a8= 0【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可.【解答】解：= 1+a+a2+a3=0,更多精品文档学习-好资料a+a2+a3+a4+a5+a6+a7 +a8,=a (1+a+a2+a3) +a5 (1+a+a2+a3),=0+0,=0.故答案是：0.【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题.10. (2015春？昆山市期末)若多项式x2- 6x- b可化为(x+a) 2- 1,则b的 值是 -8 .【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.【解答】 解：x2 - 6x- b=(x3) 2 - 9- b= (x+a) 2- 1,a=- 3,

22、- 9- b= - 1,解得：a= - 3, b= - 8.故答案为：-8.【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键.2 .解答题(共20小题)11.已知n为整数，试说明(n+7) 2 - (n-3) 2的值一定能被20整除.【分析】用平方差公式展开(n+7) 2- (n-3) 2,看因式中有没有20即可.【解答】 解：(n+7) 2 (n-3) 2= (n+7+n3) (n+7- n+3) =20 (n+2),. (n+7) 2 - (n-3) 2的值一定能被20整除.【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式：a2-b2= (a+b) (a-b).12. (2016

23、秋？农安县校级期末)因式分解：4x2y- 4xy+y.【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】解：4x2y - 4xy+y更多精品文档学习 好资料=y (4x2 - 4x+1)=y (2x- 1) 2.【点评】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止13 ( 2015 秋 ?成都校级期末)因式分解(1) a3 - ab2(2) (x-y) 2+4xy.【分析】(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可；( 2)原式利用完全平方公式分解即可【解答】解：(1)

24、原式二a (a2b2) =a (a+b) (ab);(3) 原式=* - 2xy+y2+4xy=*+2xy+y2= (x+y) 2.【点评】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键14 ( 2015 春 ?甘肃校级期末)先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n26n+9=0,求 m和 n 的值.解：: m2+2mn+2n2 6n+9=0m2+2mn+n2+n2- 6n+9=0(m+n) 2+ (n - 3) 2=0 m+n=0, n 3=0 .m= -3, n=3问题：(1)若 x2+2y2 2xy+4y+4=0,求 xy 的值.(2)已

25、知AABC的三边长a, b, c都是正整数，且满足 a2+b2-6a-6b+18+| 3学习-好资料-c| =0,请问ABC是怎样形状的三角形？【分析】(1)首先把 x2+2y2 2xy+4y+4=0,配方彳4至U ( x-y) 2+ (y+2) 2=0, 再根据非负数的性质得到x=y=-2,代入求得数值即可；(2)先把 a2+b2 6a 6b+18+|3 c| =0,配方彳4至U ( a- 3) 2+ (b-3) 2+|3 一c|=0,根据非负数的性质得到a=b=c=3,得出三角形的形状即可.【解答】解：(1)x2+2y2 - 2xy+4y+4=0x2+y2 - 2xy+y2+4y+4=0,

26、(x-y) 2+ (y+2) 2=0x=y= 2(2) v a2+b2- 6a - 6b+18+| 3- c| =0,a2 - 6a+9+b2 - 6b+9+| 3 - c| =0,(a-3) 2+ (b-3) 2+|3-c| =0 a=b=c=3三角形ABC是等边三角形.【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数 的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系， 建立方程求得数值解 决问题.15. (2015秋？太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差， 那么称这个正整数为 和谐数”.如4=22 - 02, 12=42-22, 20=62 - 42,

27、因此4, 12, 20这三个数都是和谐数.(1) 36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k (其中k取非负整数)，由这两个连续偶数 构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？更多精品文档学习-好资料(3)介于1到200之间的所有 和谐数”之和为2500【分析】(1)禾1J用36=102- 82; 2016=5052-5032说明36是 和谐数”，2016 不是和谐数”；(2)设两个连续偶数为2n, 2n+2 (n为自然数),则和谐数”42n+2) 2- (2n) 2,利用平方差公式展开得到(2n+2+2n) (2n+2-2n) =4 (2n+1),然后利用整 除性

28、可说明 和谐数”一定是4的倍数；(3)介于1到200之间的所有 和谐数”中，最小的为：22 - 02=4,最大的为： 502 482=196,将它们全部歹出不难求出他们的和.【解答】解：(1) 36是 和谐数”，2016不是 和谐数”.理由如下：36=102- 82; 2016=5052- 5032;(2)设两个连续偶数为2k+2和2k (n为自然数)，V (2k+2) 2- (2k) 2= (2k+2+2k) (2k+2-2k)=(4k+2) x 2=4 (2k+1),4 (2k+1)能被4整除,和谐数”一定是4的倍数；(3)介于1至IJ 200之间的所有 和谐数”之和，S= (22 - 0

29、2) + (42 22) + (62 42) + (502-482) =502=2500.故答案是：2500.【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形， 从而达到使计算简化.16. (2015春?兴化市校级期末)如图1,有若干张边长为a的小正方形、长 为b宽为a的长方形以及边长为b的大正方形的纸片.更多精品文档学习-好资料圉1图2（1）如果现有小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，请你将它们 拼成一个大长方形 （在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将 多项式a2+3ab+2b2分解因式.（2）已知小正方形与大正方形的面积之和为 169,长方形的周长为3

30、4, 求长方形的面积.（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张， 把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形.【分析】（1）根据小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，直接画 出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形的周长为34,得出a+b=17,由题意可知：小正方形与大正 方形的面积之和为a2+b2=169,将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从 而可求得长方形的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb）,其中（n、m为正整数）由完全平方公式 可知：（na+mb） 2=n2a2+2nmab+m2b2

31、,因为现有三种纸片各 8张，n2<8, m2<8, 2mn< 8 （n、m为正整数）从而可知 n02, m<2,从而可得 出答案.【解答】解：（1）如图：更多精品文档（2） .长方形的周长为34, a+b=17.,小正方形与大正方形的面积之和为169, a2+b2=169.将a+b=17两边同时平方得：（a+b） 2=172,整理得：a2+2ab+b2=289, .-2ab=289- 169,ab=60.，长方形的面积为60.（3）设正方形的边长为（na+mb）,其中（n、m为正整数）正方形的面积=（na+mb） 2=n2a2+2nmab+m2b2.现有三种纸片各8张，

32、n2<8, m2<8, 2mn<8 （n、m 为正整数）n<2, m<2.共有以下四种情况；n=1, m=1,正方形的边长为a+b;n=1, m=2,正方形的边长为a+2b;n=2, m=1,正方形的边长为2a+b;n=2, m=2,正方形的边长为2a+2b.【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是学习-好资料灵活运用完全平方公式.17. (2014秋？莱城区校级期中)(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.口匚mi更多精品文档用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；由此，你可以得

33、出的一个等式为：a2+2a+1=(a+1) 2 .(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3所示.请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图.【分析】(1)要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式;(2)要能根据等式画出合适的拼图.【解答】解：(1)长方形的面积=a2+2a+1 ；长方形的面积=(a+1) 2；a2+2a+1= (a+1) 2；(2)如图，可推导出(a+b) 2=a2+2ab+b2;2a2+5ab+2b2= (2a+b) (a+2b).【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关

34、的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解.学习-好资料18. (2013秋？海淀区校级期末)已知 a+b=1, ab=- 1,设 si=a+b, S2=a2+b ;( a2+b2) (a+b) =a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab (a+b),S3=ai.3X 1=a3+b3- 1, . a3+b3=4,即 S3=4; S4= (a2+b2) 2 - 2 (ab) 2=7,+b3,，Sn=aTl+bn(1 )计算S2 ；(2)请阅读下面计算S3的过程：a S =，十遍 +(储曰一/+S% 杪=(口' +力)+。= +白谪-07+1切=d4占工»-

35、白=+F)-nH+与.因为 a+b=1, ab=- 1,所以 S3=a3+b3= (a+b) (a2+b2) - ab (a+b) =1xa (1) =s?+1= 4你读懂了吗？请你先填空完成(2)中S3的计算结果，再用你学到的方法计算S4.(3)试写出Sn 2, Sn-1, Sn三者之间的关系式；(4)根据(3)得出的结论，计算S3.【分析】(1) (2)利用完全平方公式进行化简，然后代入 a+b, ab的值，即可 推出结论；(3)根据(1)所推出的结论，即可推出sn 2+sn 1=sn；(4)根据(3)的结论，即可推出a二 S4=7;+b6=S=&+8=2&+9.【解答】解

36、：(1) S?=a2+b2= (a+b) 2-2ab=3;学习 好资料(3) .w=3, S3=4, Sf7,.二 S2+S3=Si,§2+1=$；(3) V Sn 2+Sn 1=S1 , &=3, Ss=4, 8=7,.二 S5=4+7=11, S6=7+11=18.【点评】 本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意才t出S2=3, S3=4, 8=7,分析归纳出规律：Sn-2+S-i=$.19. (2013春？重庆校级期末)(1)利用因式分解简算：9.82+0.4X9.8+0.04 (2)分解因式：4a (a- 1) 2 (1 - a)【分析】 (

37、 1)利用完全平方公式因式分解计算即可；( 2)先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可【解答】解：(1)原式=9.82+2X0.2X9.8+0.22=( 9.8+0.2) 2=100；(2) 4a (a- 1) 2- (1 - a)=(a- 1) (4a2-4a+1)=(a- 1) (2a- 1) 2.【点评】 此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键20. (2013春？惠山区校级期末)阅读材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m、 n 的值解：m2- 2mn+2n2- 8n+16=0,(m2 2mn+n2) + (n2 8n+16) =

38、0更多精品文档学习-好资料(m-n) 2+ (n-4) 2=0,( m - n) 2=0, (n-4) 2=0, . n=4, m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0,求 x y 的值.(2)已知 ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 a2+b2- 6a-8b+25=0, 求 ABC的最大边c的值.(3)已知 a - b=4, ab+c26c+13=0,贝 a - b+c= 7 .【分析】(1)将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简， 根据两 个非负数之和为0,两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x-y的值;(2)将已知等式25

39、分为9+16,重新结合后，利用完全平方公式化简，根据 两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数 且三角形三边关系即可求出c的长；(3)由a-b=4,得到a=b+4,代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方 公式化简，根据两个非负数之和为 0,两非负数分别为0求出b与c的值，进 而求出a的值，即可求出a-b+c的值.【解答】解：(1) , x2 +2xy+2y2+2y+1=0(x2+2xy+y2) + (y2+2y+1) =0(x+y) 2+ (y+1) 2=0. .x+y=0 y+1=0解得 x=1, y=- 1x - y=2;(2) va2+b2-6a-8b+25

40、=0(a2- 6a+9) + (b2-8b+16) =0(a-3) 2+ (b- 4) 2=0 a-3=0, b-4=0解得 a=3, b=4.三角形两边之和 > 第三边更多精品文档学习-好资料 c<a+b, c<3+4；c<7,又c是正整数，c最大为6;(3) ab=4,即 a=b+4,代入得：(b+4) b+c2- 6c+13=0,整理得：(b2+4b+4) + (c26c+9) = (b+2) 2+ (c-3) 2=0,. b+2=0,且 c-3=0,即 b= - 2, c=3, a=2,贝U a-b+c=2- ( 2) +3=7.故答案为：7.【点评】此题考查了

41、因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方 公式是解本题的关键.21. (2012秋？温岭市校级期末)仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及 m 的化解：设另一个因式为(x+n),得 x2 4x+m= (x+3) (x+n),贝U x2 4x+m=x2+ (n+3)x+3nn+3= 4m=3n解得：n= - 7, m= - 21丁另一个因式为(x-7), m的值为-21.问题：(1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x- 2) (x+a),贝U a= - 3 ;(2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1) (x

42、+5),贝U b= 9 ;(3)仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x- k有一个因式是(2x-3),求另一个因式以及k的值.【分析】(1)将(x-2) (x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；更多精品文档学习 好资料(2) (2x-1) (x+5)展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；(3)设另一个因式为(x+n),得 2x2+5x k= (2x 3) (x+n) =2x2+ (2n3) x- 3n,可知2n-3=5, k=3n,继而求出n和k的值及另一个因式.【解答】 解：(1) ;( x 2) (x+a) =x2+ (a 2) x- 2a=* 5x+6

43、,a - 2=- 5, 解得：a=- 3;(2) . (2x- 1) (x+5) =2W+9x-5=2x2+bx- 5,b=9;(3)设另一个因式为(x+n),得 2x2+5x k= (2x 3) (x+n) =2x2+ (2n3) x- 3n,贝 2n 3=5, k=3n,解得：n=4， k=12，故另一个因式为(x+4) ， k 的值为12故答案为：(1) -3; (2分)(2) 9; (2分)(3)另一个因式是x+4, k=12 (6 分) 【点评】 本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同

44、表现形式22 ( 2012 春 ?郯城县期末)分解因式：(1) 2x2 - x;(2) 16x2- 1;(3) 6xy2- 9x2y - y3;(4) 4+12 (x-y) +9 (x-y) 2.更多精品文档学习 好资料【分析】(1)直接提取公因式x即可；( 2)利用平方差公式进行因式分解；(3)先提取公因式-y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；(4)把(x-y)看作整体，利用完全平方公式分解因式即可.【解答】解：(1) 2x2 - x=x (2x1);(5) 16x2- 1= (4x+1) (4x- 1);(6) 6xy29x2y y3,=一y (9x2 6xy+y2),=-y (

45、3x-y) 2;(7) 4+12 (x- y) +9 (x-y) 2,=2+3 (x-y) 2,=(3x-3y+2) 2.【点评】 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在(3),提取公因式-y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分 解23 (2012春？碑林区校级期末)已知a, b,c是三角形的三边，且满足(a+b+c) 2=3( a2+b2+c2) ，试确定三角形的形状【分析】 将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题【解答】解：=(a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2), a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, =3a2+3b2+3c2,a2+

46、b2 - 2ab+b2+c2 - 2bc+a2+c2 - 2ac=0,即(a-b) 2+ (b-c) 2+ (c- a) 2=0, 更多精品文档学习-好资料 a-b=0, b- c=0, c- a=0,a=b=c,故 ABC为等边三角形.【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断.关键 是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.24. (2011秋？北辰区校级期末)分解因式(1) 2X4 - 4x2y2+2y4(2) 2a3 - 4a2b+2ab2.【分析】(1)原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(

47、1) 2x4 - 4x2y2+2y4=2 (x4 - 2x2y2+y4)=2 (x2 - y2) 2=2 (x+y) 2 (x-y) 2;(3) 2a3 - 4a2b+2ab2=2a (a2 - 2ab+b2)=2a (a- b) 2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用， 提取公因式后利用公式 进行二次分解，注意分解要彻底.25. (2011秋?苏州期末)图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚 线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形.(1)图中的阴影部分的面积为(m-n) 2 ；(2)观察图请你写出三个代数式(m+n) 2、(m-n) 2、mn之间的等量关

48、 更多精品文档学习-好资料系是(m+n) 2 (m-n) 2=4巾口(3)若 x+y=7, xy=10,贝U (x y) 2= 9 .(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图，它表示了(m+n) (2m+n) =2m2+3mn+n2 .m n(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n) (m+3n) =m2+4mn+3n2. 【分析】(1)可直接用正方形的面积公式得到.(2)掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别.(3)此题可参照第(2)题.(4)可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式.(5)可参照第(4)题画图.【解答】解：(1)阴影部分的边长为(m-n),阴影部分的

49、面积为(m-n) 2；(2) (m+n) 2 (m-n) 2=4mn；(3) (x-y) 2= (x+y) 2- 4xy=72- 40=9;(4) (m+n) (2m+n) =2m2+3mn+n2；(5)答案不唯一：例如：更多精品文档学习-好资料【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示, 用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形.26. （2009秋？海淀区期末）已知 a、b、c满足 a- b=8, ab+c?+16=0,求 2a+b+c 的化【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个 式子进行适当变形后，即可找到本题的突破

50、口.由 a-b=8可得a=b+8；将其 代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0;止匕时可发现b2+8b+16正好符合完全平方 公式，因此可用非负数的性质求出 b、c的值，进而可求得a的值；然后代值 运算即可.【解答】解：因为a - b=8,所以a=b+8. （1分）又 ab+c2+16=0,所以（b+8） b+c2+16=0. （2分）即（b+4） 2+c2=0.又（b+4） 2>0, c2>0,则 b= - 4, c=0. （4 分）所以a=4, （5分）所以 2a+b+c=4. （6 分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握， 又考查了非负数的性质以及代更多

51、精品文档学习 好资料数式求值的方法27. （ 2010 春 ?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、 b、c,且?II足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：这个长方体的体积【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1） （b+1） （c+1）-1,就得（1+b） （c+1） （a+1） =2007,由于 a、b、c均为正整数，所以（a+1）、 （b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3X3X223,可得（a+1）、（b+1）、 （c+1）的值分别为3、3、223,所以a、b、c值为2、2、222.就可求出长方 体体积abc 了.【解答】 解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1 - 1=2006,a （1+b） +c （1+b） +ac （1+b） + （1+b） - 1=2006,（ 1+b） （ a+c+ac） +（ 1+b） =2007，（ 1+b） （ c+1+a+ac） =2007，（ 1+b） （ c+1） （ a+1） =2007，2007只能分解为3X3X223（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为 3、3、223.a、b、c也只能分别为2、2、222长方体的体积abc=888.【点评】 本题考查了三次的分解因式，做题