第四章积分变换法

1、1 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的。较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的。 例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之

2、一。求解中成为重要的方法之一。 积分变换积分变换在现代光学、无线电技术以及信号处理等方在现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用。面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用。 2 对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解。积分变换法在数学物理方程（也包括积分微分方程的解。积分变换法在数学物理方程（也包

3、括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途。尤其当泛定方方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途。尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，程及边界条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解。利用积分变换，有时还能得到有限法程序进行易于求解。利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变量法不能得到的。形式的解，而这往往是用分离变量法不能得到的。3 特

4、别是对于无界或半无界的定解问题，用积分变换来特别是对于无界或半无界的定解问题，用积分变换来 求解，最合适不过了。（注明：无界或半无界的定解问题求解，最合适不过了。（注明：无界或半无界的定解问题也可以用第三章方法求解）也可以用第三章方法求解）4( )f t所谓所谓积分变换积分变换，就是把某函数类，就是把某函数类A中的任意一个函数中的任意一个函数，经过某种，经过某种可逆的积分方法可逆的积分方法（即为通过含参变量（即为通过含参变量的积分）的积分）( )( )( , )dbaFf t K tt变为另一函数类变为另一函数类 B中的函数中的函数 ( ),F这里这里 ( , )K t是一个确是一个确定的二元

5、函数，通常称为定的二元函数，通常称为该积分变换的核该积分变换的核。 ( )F称为称为 ( )f t的的像函数或简称为像像函数或简称为像， ( )f t称为称为 ( )F的的原函数原函数。 在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程常微分方程A中所求的解，而且是显式解。中所求的解，而且是显式解。像函数类像函数类B中找到解的像；再经过逆变

6、换，便可以得到原来要在中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在5 另外需要说明的是，当选取不同的另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数积分区域和核函数时，时，就得到不同名称的就得到不同名称的积分变换积分变换: : （1 1）特别当核函数）特别当核函数 i t( ,)K te（注意已将积分参（注意已将积分参变变,ab 量量改写为变量改写为变量），当），当，则，则i( )( )dtFf t et称函数称函数 ( )F为函数为函数 ( )f t的的傅里叶（傅里叶（FourierFourier）变换，）变换，( )F( )f t简称简称为函数为函数的的傅氏变换傅氏变换同时我们称同时我们称

7、 ( )f t为为( )F的的傅里叶逆变换。傅里叶逆变换。6（2 2）特别当核函数）特别当核函数 ( , )ptK t pep0,ab （注意已将积分参变量（注意已将积分参变量改写为变量改写为变量），当），当，则，则0d( )( )pttF pf t e称函数称函数 ( )F p为函数为函数 ( )f t的的拉普拉斯拉普拉斯 (Laplace)(Laplace)变换变换，简称，简称 ( )F p为函数为函数 ( )f t的的拉氏变换拉氏变换同时我们称同时我们称 ( )f t为为 ( )F p的的拉氏逆变换。拉氏逆变换。 78用积分变换求解定解问题的步骤为： 第一：根据自变量的变化范围和定解条件

8、确定选择适当第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换；的积分变换；对于自变量在对于自变量在 内变化的定解问题内变化的定解问题（如无界域（如无界域的坐标变量）常采用傅氏变换，而自变量在的坐标变量）常采用傅氏变换，而自变量在 内变化内变化的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换。的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换。 对于自变量在对于自变量在 ),(), 0( 9 第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏微分第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程；方程化为一个含参量的常微分方程； 第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解第

9、三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；条件； 第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换； 第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解。第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解。 18071807年年1212月月2121日，日，FourierFourier向法国科学院宣布：任意的周向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶

10、的两个最主要的贡献: “”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点 “”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点10 1.1.傅里叶级数的引进傅里叶级数的引进 在物理学中在物理学中, ,我们已经知道最简单的波是谐波我们已经知道最简单的波是谐波( (正弦正弦波波),),它是形如它是形如 的波的波, ,其中其中 是振幅是振幅, , 是角频是角频率率, , 是初相位是初相位. .其他的波如矩形波其他的波如矩形波, ,锯形波等往往都可锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来以用一系列谐波的叠加表示出来. .tAsinA（一）（一） 周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开非正弦周期函数非正

11、弦周期函数: :矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(当当当当不同频率正弦波逐个叠加不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 11tusin4 )3sin31(sin4ttu 12)5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513sin31(sin4ttttu 13)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu )0,( tt由以上可以看到：一个比较复杂的周期函数可以看由以上可以看到：一个比较复杂的周期函数可以看作是

12、许多不同频率的简谐函数的叠加作是许多不同频率的简谐函数的叠加142 2 三角级数三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性三角级数三角级数引例中的简谐振动函数引例中的简谐振动函数（1 1） 10)sin()(kkktkAAtf 10)sincoscossin(kkkkktkAtkAA,200Aa 记记,tx,sinkkkAa ,coskkkAb 15即即: :由三角函数组成的函项级数成为三角级数。由三角函数组成的函项级数成为三角级数。 则则(1)(1)式右端的级数可改写为式右端的级数可改写为(2)(2)行如行如(2)(2)式的级数称为三角级数。式的级数称为三角级数。 10)sincos(2

13、kkkkxbkxaa 三角函数系的正交性三角函数系的正交性(1)(1)三角函数系三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1kxkxxxxx即即 i)i), 0cos kxdx, 0sin kxdx。,:)2(上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在正交正交 16ii)ii)iii)iii). 0cossin nxdxkx), 2 , 1,( nk其中其中, 0sinsin nknknxdxkx, 0coscos nknknxdxkx), 2 , 1,( nk其中其中173 函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数问题问题 1.1.若能展开若能展

14、开, , 是什么是什么? ?iiba ,2.展开的条件是什么展开的条件是什么?傅里叶系数傅里叶系数 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 。)1(0a求求18,220 a dxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110 可得可得。)2(ka求求 kxdxakxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 kxdxnxbkxdxnxaknn19可得可得可得可得 kxdxak2cos, ka kxdxxfakcos)(1), 3 , 2 , 1( k。)3(kb求求 kxdxa

15、kxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 kxdxnxbkxdxnxannn, kb20 kxdxxfbksin)(1), 3 , 2 , 1( k从而得到傅里叶系数从而得到傅里叶系数 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1kkxdxxfbkkxdxxfakk 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1kkxdxxfbkkxdxxfakk或或21把以上得到的系数代入三角级数把以上得到的系数代入三角级数问题问题: :该级数称为该级数称为傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2kkkkxbkxaa 10)

16、sincos(2?)(kkkkxbkxaaxf条件条件22 三角级数的收敛性定理三角级数的收敛性定理: :0kkk=1a+( a + b )2若级数若级数 收敛收敛, ,则级数则级数cossin0kkk=1a+(akx+bkx)2在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。23定理定理( (收敛定理收敛定理, ,狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件) )设设)(xf是是以以 2为为周周期期的的周周期期函函数数. .如如果果它它满满足足: : ( (1 1) )在在一一个个周周期期内内连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断

17、点点, , ( (2 2) )在在一一个个周周期期内内至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点, , 则则)(xf的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛, ,并并且且 当当x是是)(xf的的连连续续点点时时, ,级级数数收收敛敛于于)(xf; ; 当当x是是)(xf的的间间断断点点时时, , 级级数数收收敛敛于于2)0()0( xfxf; ; 244 4 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数 一般说来一般说来, ,一个函数的傅里叶级数既含有正弦一个函数的傅里叶级数既含有正弦项项, ,又含有余弦项又含有余弦项. .但是但是, ,也有一些函数的傅里叶级也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项

18、和余弦项。数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项。1.定理定理 设设 是周期为是周期为 的函数的函数, ,且可积且可积, ,则则)(xf 2(1)(1) 当当)(xf为为奇函数奇函数时，它的傅里叶系数为时，它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 kkxdxxfbkakk 25证明证明0 (2)(2)当当)(xf为为偶函数偶函数时时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 kbkkxdxxfakk kxdxxfakcos)(1), 3 , 2 , 1 , 0( k,)()1(是奇函数是奇函数设设x

19、f26同理可证同理可证(2)(2)2.2.定义定义定理证毕。定理证毕。 kxdxxfbksin)(1 0sin)(2kxdxxf), 3 , 2 , 1( k (1)(1)如果如果)(xf为奇函数为奇函数 , ,其傅立叶级数其傅立叶级数kxbkksin1 称为正弦级数称为正弦级数 。 (2)(2) 如果如果)(xf为偶函数为偶函数, , 其傅立叶级数其傅立叶级数kxaakkcos210 称为余弦级数称为余弦级数。 27非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓).(2, 0)(xFxf函数函数为周期的为周期的延拓成以延拓成以上上定义在定义在设设 ,0)(0)()( xxgxxfxF令令),(

20、)2(xFxF 且且则有如下两种情况则有如下两种情况. 偶偶延延拓拓奇奇延延拓拓注：281.奇延拓奇延拓)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF则则xy0 的傅立叶正弦级数的傅立叶正弦级数)(xf)0( x 1sin)(kkkxbxf292.偶延拓偶延拓)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF则则的傅立叶余弦级数的傅立叶余弦级数)(xfxy0 )0( x 10cos2)(kkkxaaxf305 5 周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开21,cos,cos,cos,2sin,sin,sin,xxkxlllxxkxlll 2l 周期性周期性(2 )( )f xlf x

21、 若函数若函数f(x)为为周期函数周期函数的光滑或分段的光滑或分段光滑函数，且定义域为光滑函数，且定义域为 则则：, l l作为基本函数族，将作为基本函数族，将 ( )f x展开为展开为傅里叶级数傅里叶级数（即下式右端（即下式右端级数）级数） 01( )cossinkkkk xk xf xaabll ,2lT .2lT 则可取则可取三角函数族：三角函数族：)sincos(210 xkbxkaakkk 31三角函数组三角函数组具有具有正交性正交性1 cos0(0),1 sin0,coscos0(),sinsin0(),cossin0.llllllllllkxdxklkxdxlkxnxdxknll

22、kxnxdxknllkxnxdxll 上式称为周期函数上式称为周期函数 ( )f x的的傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式（简称傅（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简称傅氏称傅氏系数）。系数）。 三角函数族是正交的即为：三角函数族是正交的即为：其中任意两个函数的其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，乘积在一个周期上的积分等于零，即即32cossinlk-lklk-l1kxa =f(x)()dx ll1kxb =f(x)()dx ll其中其中 k2 (k = 0) =1 (k0)利用三角函数族的正交性，可以求得展开系数为利用

23、三角函数族的正交性，可以求得展开系数为关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理： 33(1)(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； （2 2）在每个周期内只有有限个极值点，则）在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数傅里叶级数收敛，收敛，且且 在在收敛点收敛点有：有： 01( )(cossin)kkkk xk xf xaabll在在间断点间断点有：有： 011 (0)(0)(cossin)2kkkk xk xf xf xaabll狄利克雷（狄利克雷（DirichletDirichlet）定理

24、）定理 : : 若函数若函数 ( )f x满足条件：满足条件： 3435（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开sink xl 是奇函数是奇函数coskxl 是偶函数是偶函数奇函数奇函数 :f(z)则由傅里叶系数的计算公式可见则由傅里叶系数的计算公式可见，所有所有a0和和ak均等于零均等于零,则有则有1()sin,kkkxfxbl 1( )sin.lklkbfdll 偶函数偶函数: f(z)则由傅里叶系数的计算公式可见，所有则由傅里叶系数的计算公式可见，所有b0和和bk均等于零均等于零, ,则有则有01()cos,kkkxfxaal 1( )cos.lklkkafdll

25、 例例( )f xx11021(2,(21) )( )1(21) ,2)mmf xmm 周期周期2矩形波矩形波奇函数奇函数3611( )sinsinkkkkkxf xbbkxl002( )sin22 cos ( 1)102 ,421lkkkbfdllkkkknknk 04()sin(21) .(21)nfxnxn x110237（三）（三） 有限区间中的函数的傅里叶展开有限区间中的函数的傅里叶展开f(x) 定义于定义于 (0, l) 可以认为它是某个周期为可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期在半

26、周期 (0, l) 中中 g(x)=f(x) 这种做法叫这种做法叫延拓延拓。例例( ), ( )f xg xx( ), ( )f xg xx偶延拓偶延拓(),(0,1)fxx 奇延拓奇延拓38 由高数知识知，一个以由高数知识知，一个以2l为周期的函数为周期的函数f(x)，若在区若在区间间-l,l函数满足狄利克莱条件，则在函数满足狄利克莱条件，则在（-l,l）上上可展开为可展开为傅氏级数。傅氏级数。傅里叶级数的形式为：傅里叶级数的形式为：2xixinnee10)sincos(2)(nnnnnxbxaaxflnnieexixinn21102)(nxinnxinnnececaxfnxinneC39即

27、：即：nxinneCxf)(lnn其中deflCnilln)(21 nxiillnnedeflxf)(21)(因此因此f(x)也可表示为也可表示为 对于非周期函数对于非周期函数f(x)，若将其周期视为无穷大，同样若将其周期视为无穷大，同样可写出上式，只是此时可写出上式，只是此时0lnnxiilllnnedeflxf)(21lim)(40nxiilllnnedeflxf)(21lim)(nnxiinnnedefxf)(21lim)(0nl dedefxfxii)(21)(亦即亦即傅立叶积分公式傅立叶积分公式dxexfFxi)()(令令则则deFxfxi)(21)(像函数像函数)(F( )f x原

28、函数原函数41（三）（三） 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质(1) (1) 线性性质线性性质F( )( )fxiF )()()()(2121wbFwaFxbfxafF)()()()(21211xbfxafwbFwaFF(2) (2) 导数（微分）性质导数（微分）性质)()()( 2xfFiwxfF一般有一般有)()()()(xfFiwxfFnn逆变换也有逆变换也有)()(xfxFidwwFdnnnn42(3) (3) 积分性质积分性质()1F( )()xf x dxFi (4) (4) 相似性质相似性质1F()()f axFaa (5) (5) 延迟性质延迟性质(6) (6) 位移性质

29、位移性质00F( )()ixef xF )()(00 xfFexxfFiwxxiwexfwwFF0)()(0143(7) (7) 卷积定理卷积定理11F( )( )fxF 22F( )( )fxF 卷积定理：卷积定理： 设设则卷积定义：已知函数卷积定义：已知函数f f1 1（x x）和）和f f2 2（x x），则），则1212()()()()fxfxffxd )()()()(2121FFxfxfF(8) (8) 像函数的卷积定理像函数的卷积定理)()(21)()(2121FFxfxfF或)()()()(21211xfxfwFwFF)()(2)()(21211xfxfwFwFF或典型例题解解

30、所给函数是奇函数所给函数是奇函数, ,其其Fourier变换为变换为.|, 0| ,sin2d1sinsin, ,|, 0|,sin)(102 ttttFourierttttf并证明并证明变换变换的的计算函数计算函数例例44 tetftfFtid)()()( F 00dsinsin2dsin)(2tttitttfi.1sin22 i再由再由Fourier积分公式得积分公式得45 d)(21)(tieFtf tdsin)(0 Fi d1sinsin202 t.|, 0| ,sin2d1sinsin02 tttt即即46解解 所给函数是偶函数所给函数是偶函数, ,其其Fourier变换为变换为 t

31、etftfFtid)()()( F tteetitdcos| teeeetiitittd2| .cos2dcos42,cos)(2|042|tetFouriertetftt 并证明并证明变换变换的的计算函数计算函数例例470)1(0)1(0)1(0)1(21tetetetetiitiitiitiidddd |0)1(0)1(0)1(0)1(111121 iieiieiieiietiitiitiitii48 iiiiii)1(11)1(11111121 .44242 d)(21)(tieFtf 再由再由Fourier积分公式得积分公式得49 tdcos)(10 F.tdcos4421042 .c

32、os2dcos42|022tett 即即5051求解时确定变换种类的原则：件之一；变换，以此作为选择条拉式自变量在）变换，傅式自变量在（根据自变量变化范围，)0,-) 1 (导数值。在零时的函数值及有关自变量在定解条件中给出相应知，取拉式变换时，要拉式变换微分性质：根据定解条件形式。由)0()0()(L)(L)2()1(1)(nnnnffstfstf一般应用上：傅式变换：无界的初值问题（针对空间变量）拉式变换：带边界条件的定解问题（针对时间变量）52例例1 求解无限长弦的自由振动定解问题求解无限长弦的自由振动定解问题)(),(,00022222xtuxuxtxuatutt53解：（解：（1）判

33、断变换类型）判断变换类型dxetxutxuF(w,tuiwx),(),()设初值问题初值问题傅式变换（拉式变换可能会差解常系数的条件）傅式变换（拉式变换可能会差解常系数的条件）dxexxF(wiwx)()()dxexxF(wiwx)()()（2）方程两边取傅式变换，并使用微分性质，得到）方程两边取傅式变换，并使用微分性质，得到0),(2222twuwadtud)()()()(xfFiwxfFnn54（3）对初始条件作傅式变换，得到）对初始条件作傅式变换，得到),(0(wtwut（4）求解（）求解（2）中得到的常微分方程，其通解为）中得到的常微分方程，其通解为iwatiwatewBewAtwu)

34、()(),()(121)(21)()(121)(21)(wiwawwBwiwawwA),(0(wttwut代入初始条件可以解出代入初始条件可以解出55故有故有iwatiwatiwatiwatewwaiewewwaiewtwu)(21)(21)(21)(21),(atxxatxxdaatxdaatxtxu00)(21)(21)(21)(21),(（5）解的两边作傅式逆变换并利用位移性质及积分）解的两边作傅式逆变换并利用位移性质及积分性质，得到性质，得到atxatxdaatxatx)(21)()(21可以看出，此即为达朗贝尔公式！可以看出，此即为达朗贝尔公式！56例例2 求解无限长细杆的热传导问题

35、求解无限长细杆的热传导问题)(,00222xuxtxuatut57解：（解：（1）判断变换类型）判断变换类型dxetxutxuF(w,tuiwx),(),()设初值问题初值问题傅式变换傅式变换dxexxF(wiwx)()()（2）方程两边取傅式变换，得到）方程两边取傅式变换，得到0),(22twuwadtud58（3）对初始条件作傅式变换，得到）对初始条件作傅式变换，得到),(0(wtwut（4）求解（）求解（2）中得到的常微分方程，其通解为）中得到的常微分方程，其通解为tawewAtwu22)(),()()(wwA代入初始条件可以解出代入初始条件可以解出故有故有tawewtwu22)(),(

36、59)(),(221taweFxtxu（5）解的两边作傅式逆变换，由卷积定理，得到）解的两边作傅式逆变换，由卷积定理，得到2241241)(xtaetax2241)(21xtaextadetaxta22)(41)(21可以看出，此即为一维热传导方程的柏松公式！可以看出，此即为一维热传导方程的柏松公式！ 拉普拉斯变换理论拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分）（又称为运算微积分，或称为算子微积分）是在是在1919世纪末发展起来的。首先是英国工程师亥维赛德世纪末发展起来的。首先是英国工程师亥维赛德发明的，用发明的，用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学运算法解决

37、当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证。后来由法国数学家拉普拉斯论证。后来由法国数学家拉普拉斯给出了严密的数学定义，称之为给出了严密的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法。 60 拉普拉斯拉普拉斯（Laplace）变换在电学、光学、力学等工程技术变换在电学、光学、力学等工程技术与科学领域中有着广泛的应用。由于它的像原函数与科学领域中有着广泛的应用。由于它的像原函数 ( )f x要求要求 的条件比傅里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里的条件比傅里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的适用面要广。叶变换的适用面要广。61 傅里叶变换在分析信号的频谱

38、等方面是十分有效的，但在系统分傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的，但在系统分析方面有不足之处：析方面有不足之处：对时间函数限制严，对时间函数限制严， 是充分条件。是充分条件。不少函数不能直接按定义求，不少函数不能直接按定义求， 如增长的指数函数如增长的指数函数 eat a0，傅里叶变换就不存在。傅里叶变换就不存在。不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。求傅里叶反变换也比较麻烦。求傅里叶反变换也比较麻烦。dttf| )(|（一）拉普拉斯变换的定义62dtetfFti)()( 为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一为了解决上述

39、问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一个实函数个实函数( ) t，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本条件。条件。首先将函数首先将函数 ( ) t乘以乘以单位阶跃函数单位阶跃函数： 0 0( )1 0tu tt得到得到 ( )( ) ( )f tt u t，则根据傅氏变换理论有，则根据傅氏变换理论有ii0 ( ) ( ) ( )( ) ( )d( )dttF f tFt u tt u t etf t et很显然通过这样的处理，当很显然通过这样的处理，当 0t 时，时， ( ) t在没有定在没有定 义的情况下问题得到了解决。但是仍然不能回避义的情况下问题

40、得到了解决。但是仍然不能回避 ( )f t在在 0,)上绝对可积的限制。为此，我们考虑到当上绝对可积的限制。为此，我们考虑到当 t 时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数 ,(0)te于是有于是有 63i(i )000 ( ) ( ) ( )( )d( )d ( )d, ( i )tttttptF f t eFt u t ef t e etf t etf t etp上式即可简写为上式即可简写为0( )( )dptf pf t et这是由实函数这是由实函数 ( )f t通过一种新的变换得到的复变函数，通过一种新的变换得到的复变函数，这种变换就是我们要定义的这

41、种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换拉普拉斯变换。为为核核.pte 64拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系ttfjs存在于整个区间双边拉普拉斯变换)(ttfjs存在于整个区间傅里叶变换)(0, 0)()(ttftfjs为因果信号拉普拉斯变换65定义定义 设设 实函数实函数 ( )f t在在0t 上有定义，且积分上有定义，且积分 0( )( )dptf pf t et（ p为为复参变量复参变量） 上某一范围上某一范围 对复平面对复平面p收敛，则由这个积分所确定的函数收敛，则由这个积分所确定的函数0( )( )dptf pf t et称为函数称为函数 ( )f t的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为的拉

42、普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为像函数），记为像函数），记为 ( ) ( )f pL f t综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个实自变量为实自变量为 的复值函数，而的复值函数，而拉氏变换的像函数拉氏变换的像函数则是一个复则是一个复变数变数 p的复值函数，由前面推导过程可以看出，的复值函数，由前面推导过程可以看出， ( ) (0)f tt 66的拉氏变换实际上就是的拉氏变换实际上就是 ( ) ( ),(0)tf t u t e的傅氏变换的傅氏变换 （其中（其中 ( )u t为单位阶跃函数），因此拉氏变换实质上就是为单位阶跃函数），因

43、此拉氏变换实质上就是 一种单边的广义傅氏变换一种单边的广义傅氏变换，单边是指积分区间从，单边是指积分区间从0 0到到 广义是指函数广义是指函数 ( )f t要乘上要乘上 ( ) (0)tu t e之后再之后再 作傅氏变换作傅氏变换 例例1 1 求拉氏变换求拉氏变换 1LRe0p ip0解解 在在 ,(,(按照假设按照假设 ) ) 即为即为的半平面，的半平面，011d,ptetp6700002021dd()11 =d11 =d,1 = (Re0)ptptptptpttettepteetppetppL tpp 同理有同理有例例2 求拉氏变换求拉氏变换 .L t解解 在在 Re0p 的半平面的半平面

44、, 1! = nnnL tp68()()00011dd 1 (ReRe )stptp s tp s tste etetep sp sLepsp s例例3 3 求拉氏变换求拉氏变换 ,stL es为常数。为常数。解解 在在 ReReps的半平面上的半平面上69解 (i )(i )001sinsindd2iptptptLtteteet22111, Re02iiipppp 同理同理 22cos, Re0pLtpp例例 4 4 若若 ( )sinf tt或或 cos( t 拉氏变换。拉氏变换。 为实数），求为实数），求 ( )L f t70例例5 5 求拉氏变换求拉氏变换 ,stL tes为常数为常数

45、. . 解解 在在 ReReps的半平面上，的半平面上， ()00()()00221dd1 d 1 =()1 (ReRe )()stptp s tp s tp s tstte ettepsteetpspsL tepsps 同理同理 1! ()nstnnL t eps71 （二）拉氏变换的存在定理（二）拉氏变换的存在定理定理定理 拉氏变换存在定理拉氏变换存在定理 若函数若函数 )(tf满足下述条件：满足下述条件： （1 1）当）当 0t( )0f t 0t )(tf时，时，当当时，时，在任一有限区间上分段连续；在任一有限区间上分段连续； （2 2）当）当 t时，时， )(tf的增长速度不超过某一

46、的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数指数函数，即存在常数M及及 00，使得，使得 tMetft0,)(0则则 ( )( )L f tf p在半平面在半平面 0Rep上存上存在且解析。在且解析。72为为( )f p的的拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换，简称简称拉氏逆变换拉氏逆变换（或称为（或称为原函数），记为原函数），记为 1( ) ( )f tLf p为了计算拉氏逆为了计算拉氏逆 变换的方便，下面给出变换的方便，下面给出拉氏逆变换的具体表达式拉氏逆变换的具体表达式。实际上实际上( )f t的拉氏变换，就是的拉氏变换，就是 ( ) ( )tf t u t e(0)的傅氏变换。因此，当的傅氏变换。

47、因此，当 ( ) ( )tf t u t e满足傅氏满足傅氏 积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式，积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式， ( )f t在连续点处在连续点处（三）（三） 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换定义定义 拉氏逆变换拉氏逆变换若满足式：若满足式： 0( )( )dptfpf t et，我们称，我们称 ( )f t73iii(i )0i1( ) ( )( ) ( )d d21 =( )d d21 =(i )d (0)2ttttf t u t efueeeefefet 等式两端同乘等式两端同乘 te，并注意到这个因子与积分变量，并注意到这个因子与积分变量 无关，无关，故故 0t

48、时时 (i)1( )(i )d2tf tfe令令 ip，则有，则有74ii1( )( )d (0)2iptf tf p ept 上式为上式为 ( )f p的的拉普拉斯逆变换式，称为拉氏逆变换式。拉普拉斯逆变换式，称为拉氏逆变换式。记为记为 1( ) ( )f tLf p。并且。并且 ( )f t称为称为 ( )f p的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为像原函数或拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为像原函数或原函数）。原函数）。 称为黎曼梅林反演公式，这就是从像函数求原函数称为黎曼梅林反演公式，这就是从像函数求原函数的的上式右端的积分称为拉氏反演积分。公式上式右端的积分称为拉氏反演积分。公

49、式 一般公式。一般公式。 注意：公式注意：公式 0( )( )dptf pf t et和公式和公式 ii1( )( )d , (0)2iptf tf p ept 构成一对互逆的构成一对互逆的积分变换公式，积分变换公式， 也称也称 和和构成一组拉氏变换对。构成一组拉氏变换对。( )f t( )f p75( (四四) ) 拉氏变换的性质拉氏变换的性质虽然，由拉氏变换的定义式可以求出一些常用函数的拉氏虽然，由拉氏变换的定义式可以求出一些常用函数的拉氏我们约定需要取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的我们约定需要取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的条件。条件。变换但在实际应用中我们总结出一些

50、规律：即变换但在实际应用中我们总结出一些规律：即拉氏变换的一拉氏变换的一些基本性质些基本性质。通过这些性质使得许多复杂计算简单化。通过这些性质使得许多复杂计算简单化。 76性质性质1 1 线性定理线性定理若若, 为任意常数，且为任意常数，且 1122( )( ),( )( )fpL f tfpL f t则则1212( )( ) ( ) ( )Lf tf tL f tL f t77)()()()(2111211pfLpfLpfpfL例例1 1 求求 sh,LatchLat解解22111sh 22atateeaLatLp apapa22111ch 22atateepLatLpapapa78若设若设

51、为非负实数，为非负实数， ( )( )L f tf p，又当，又当 0t 时，时， ( )0f t ，则，则 ()( ) ( )ppL f tef peL f t或或 1( )()pLef pf t性质性质2 2 位移定理位移定理79例例2 2 已知已知 000, (0)( ), (0)0, ()tf tctttt ，求，求 ( )L f t解解 用阶跃函数表示用阶跃函数表示 )(tf)()()(0ttcHtcHtf再利用线性定理及位移定理，有再利用线性定理及位移定理，有000 ()()()1ptptL f tLcH tLcH t tccceeppp80性质性质3 3 延迟定理延迟定理 ( )

52、( )L f tf p，则有，则有 0( )(), (Re()atL e f tf papap0p( )f t其中其中是是的增长指数。的增长指数。81设设 例例3 3 求求 tL te解解 令令 )(tft( ) ( ) f pL f tL t= =，则由，则由 得得 21 L tp= =( )f p 利用延迟定理利用延迟定理 ( )()atL e f tf pa，即有，即有 21()()tL tef pp82性质性质4 4 相似定理相似定理 设设 ( )( )L f tf p，则对于大于零，则对于大于零的常数的常数 c，有，有 1 ()()pL f ctfcc83性质性质5 5 微分定理微分

53、定理 ( )( )L f tf p( )( ) (1,2,)nftn 存在且分段连续，则存在且分段连续，则(2( )12(1)2) ( ) ( )(0)( ) ( )(0)(0)( ) ( )(0)(0)(0)(0)nnnnnnpL f tpL f tfL f tp L f tpffL fftp L f tpfpff84设设特别地，当特别地，当 ()(0)0 (0,1,2,1)kfkn则则 ( ) ( )nnL ftp L f t性质性质6 6 积分定理积分定理 ( )( )L f tf p，则，则 011( ) ( )( )tLfdL f tf ppp85设设 性质性质7 7 拉氏变换的卷积

54、定理拉氏变换的卷积定理前面我们学习了傅氏变换的卷积概念和性质，当前面我们学习了傅氏变换的卷积概念和性质，当12( ),( )f tft是是 (,) 上绝对可积函数时，它们的卷积是上绝对可积函数时，它们的卷积是 1212( )*( )( )()df tf tff t0t 12( )( )0f tft如果当如果当时，有时，有，则上式可写为，则上式可写为1212001212( ) ()* ()( ) ()d( ) ()ddttff tf t f tff tff t 因为在拉氏变换中总认为因为在拉氏变换中总认为 0t 时，像函数时，像函数 ( )f t因此把上式定义为因此把上式定义为拉氏变换的卷积拉氏变换的卷积。恒为零，恒为零，86tdtfftftf02121)()()(*)(即 拉氏变换的卷积定理拉氏变换的卷积定理 1212( )( )( )( )L f tf tL f tL f t87-1-11212 ( )( )( )( )( )Lf pLf