四边形中考试题分类解析

1、    四边形中考试题分类解析    魏祥勤四边形部分常见中考试题有：多边形的边数、内角和与对角线的条数，平行四边形的判定与性质，特殊平行四边形的判定与性质，四边形位于平面直角坐标系中点的坐标问题，四边形与直角三角形、等腰三角形等的综合问题，与四边形有关的猜想、探究型问题等.下面结合中考试题进行分类解析，供同学们参考.一、 多边形的边数与对角线的条数例1 （2016·凉山）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为（ ）a.7 b.7或8c.8或9 d.7或8或9分析：首先求得内角和为1 0

2、80°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数.解：设内角和为1 080°的多边形的边数是n，则（n-2）·180°=1 080°.解得n=8.所以原多边形的边数为7或8或9.故选d.评注：当多边形的边数不小于4时，一个多边形去掉一个内角后，边数可以减少1，也可以不变，也可以增加1.练习1 （2016·广安）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（ ）a.7 b.10c.35 d.70二、 平行四边形的判定与性质例2 （2016·鄂州）如图1，在?abcd中，bd是它的一条对角线，过a

3、，c两点作aebd，cfbd，垂足分别为e，f，延长ae，cf分别交cd，ab于m，n.（1）求证：四边形cman是平行四边形；（2）已知de=4，fn=3，求bn的长. abcdefmn图1分析：（1）通过aebd，cfbd证明aecf，再由四边形abcd是平行四边形，得abcd，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形cman是平行四边形.（2）先证明mdenbf，得de=bf=4，再由勾股定理，得bn=5.（1）证明：aebd cfbd，aecf.又四边形abcd是平行四边形，abcd.四边形cman是平行四边形.（2）解：由（1）知四边形cman是平行四边形，cm=an.又四

4、边形abcd是平行四边形， ab=cd，abcd.mde=nbf，ab-an=cd-cm，即bn=dm.又dem=bfn=90°，mdenbf.de=bf=4.在rtbnf中，由勾股定理，得bn=fn2+bf2=32+42=5.bn的长为5.评注：本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理.灵活运用判定、性质及定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键.练习2 （2016·十堰）如图2，在?abcd中，ab=213cm，ad=4 cm，acbc，则dbc比abc的周长长 cm. abcdo图2三 、特殊平行四边形的判定与性质（一）菱形的判定与性质例

5、3 （2016·青岛）已知：如图3，在?abcd中，e，f分别是边ad，bc上的点，且ae=cf，直线ef分别交ba的延长线、dc的延长线于点g，h，交bd于点o. abcdefgho图3（1）求证：abecdf.（2）连接dg，若dg=bg，则四边形bedf是什么特殊四边形？请说明理由.分析：（1）由平行四边形的性质，得ab=cd，bae=dcf，由sas证明abecdf即可.（2）由平行四边形的性质，得adbc，ad=bc，证出de=bf，得四边形bedf是平行四边形，得ob=od，再由等腰三角形的三线合一的性质，得efbd，即可证得四边形bedf是菱形.（1）证明：四边形abc

6、d是平行四边形，ab=cd，bae=dcf.又ae=cf，abecdf（sas）.（2）解：四邊形bedf是菱形.理由如下：如图4，在?abcd中，adbc，ad=bc. abcdefgho图4ae=cf，de=bf.四边形bedf是平行四边形.ob=od.dg=bg，efbd.四边形bedf是菱形.评注：判定一个四边形是特殊的四边形，往往先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形的边、角、对角线等所具有的特殊关系，灵活运用四边形的边、角、对角线之间的关系，是解决这类问题的关键.练习3 （2016·沈阳）如图5，abcabd，点e在边ab上，cebd，连接de. abcde图5求证：

7、（1）ceb=cbe；（2）四边形bced是菱形.（二）矩形的判定与性质例4 如图6，在abc中，d是bc边上一点，e是ad的中点，过点a作bc的平行线交ce的延长线于点f，且af=bd，连接bf. （1）线段bd与cd有何数量关系，为什么？（2）当abc满足什么条件时，四边形afbd是矩形？请说明理由. abcdef图6分析：（1）由题意，得aefdec，可以得到af=cd.又因为afcd，af=bd，所以bd=cd.（2）若四边形afbd是矩形，则adbd.因为bd=cd，所以ab=ac.因此abc是等腰三角形时，四边形afbd是矩形.解：（1）bd=cd.理由如下：e是ad的中点，ae=

8、de.又afbc，afe=dce.又aef=dec，aefdec .af=cd.af=bd，bd=cd.（2）當abc满足：ab=ac时，四边形afbd是矩形 .理由如下：afbd，af=bd，四边形afbd是平行四边形.ab=ac，bd=cd ，adbc，即adb=90°.四边形afbd是矩形.评注：本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质.掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键.练习4 如图7，在?abcd中，点o是ac与bd的交点，过点o的直线与ba，dc的延长线分别交于点e，f. abcdefo图7（1）求证：aoecof.（2）请连接ec，af

9、，则ef与ac满足什么条件时，四边形aecf是矩形，并说明理由.（三）正方形的判定与性质例5 （2016·攀枝花）如图8，在正方形纸片abcd中，对角线ac，bd相交于点o，折叠正方形纸片abcd，使ad落在bd上，点a恰好与bd上的点f重合，展开后折痕de分别交ab，ac于点e，g，连接gf，给出下列结论：adg=22.5°；tanaed=2；sagd=sogd；四边形aefg是菱形；be=2og；若sogf=1，则正方形abcd的面积是6+42.其中正确的结论有（ ） abcdefgo图8a.2个 b.3个c.4 个 d.5个分析：由四边形abcd是正方形，得gad=a

10、do=45°，又由折叠的性质，求得adg的度数.由ae=ef2ae.由adgfdg，得sagd=sfdg.由sfdg>sogd，得sagd>sogd.由折叠的性质与平行线的性质，易得efg是等腰三角形，证得ae=gf.易证得四边形aefg是菱形，由等腰直角三角形的性质，得be=2og.根据四边形aefg是菱形可知abgf，ab=gf.再由bao=45°，gof=90°可得ogf是等腰直角三角形.由sogf=1求出gf的长，进而可得出be及ae的长，利用正方形的面积公式可得出结论.解：四边形abcd是正方形，gad=ado=45°.由折叠的性质

11、，得adg=12ado=22.5°.故正确.由折叠的性质，得ae=ef，efd=ead=90°，ae=ef< p>ae<12ab.ab=ad，adae>2.故错误.adgfdg，sagd=sfdg.sfdg>sogd，sagd>sogd.故错误.efd=aod=90°，efac.feg=age.age=fge，feg=fge.ef=gf.ae=ef，ae=ef=gf.ag=gf，ae=ef=gf=ag.四边形aefg是菱形.故正确.四边形aefg是菱形，aegf.ogf=oab=45°.ef=gf=2og.be=2ef

12、=2×2og=2og.故正确.四边形aefg是菱形，abgf，ae=gf.fgo=bao=45°，gof=90°，ogf是等腰直角三角形.sogf=1，12og2=1.解得og=2.be=2og=22，gf=（2）2+（2）2=2. ae=gf=2.ab=be+ae=22+2.s正方形abcd=ab2=（22+2）2=12+82.故错误.正确结论的序号是.故选b.评注：本题涉及正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识.此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系和数形结合思想的应用. 练习5 （2016·宿迁）

13、如图9，把正方形纸片abcd沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为mn，再过点b折叠纸片，使点a落在mn上的点f处，折痕为be.若ab的长为2，则fm的长为（ ） abcdef图9 mn a.2 b.3c.2 d.1四、 四边形的新定义问题及综合问题（一）四边形的新定义问题例6 （2016·衢州）如图10，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.（1）概念理解：如图11，在四边形abcd中，ab=ad，cb=cd，问四边形abcd是垂美四边形吗？请说明理由.（2）性质探究：试探索垂美四边形abcd的两组对边ab，cd与bc，ad之间的数量关系.猜想结论： （要求用文字语言叙述）.

14、写出证明過程（先画出图形，写出已知、求证）. abcd图10 图11（3）问题解决：如图12，分别以rtacb的直角边ac和斜边ab为边向外作正方形acfg和正方形abde，连接ce，bg，ge，已知ac=4，ab=5，求ge长. abcdefg图12mn分析：（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可.（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可.（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算.解：（1）四边形abcd是垂美四边形.理由如下：如图13，连接ac，bd.ab=ad，点a在线段bd的垂直平分线上.cb=cd，点c在线段bd的垂直平分线上.直线ac是线段bd的垂直平分线.acbd

15、.四边形abcd是垂美四边形.（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等.已知：如图13，在垂美四边形abcd中，acbd于e.求证：ad2+bc 2=ab2+cd2. abcd 图13e证明：四边形abcd是垂美四边形，acbd.aed=aeb=bec=ced=90°.由勾股定理，得ad2+bc 2=ae 2+de 2+be 2+ce 2，ab2+cd2=ae 2+be 2+ce 2+de 2.ad 2+bc 2=ab2+cd 2.（3）如图14，连接cg，be. abcdefgmn图14 cag=bae=90°，cag+bac=bae+bac，即gab=cae.又

16、ag=ac，ab=ae.gabcae.abg=aec.又aec+ame=90°，bmn=ame，abg+ame=abg+bmn=90°.bnm=90°，即cebg.四边形cgeb是垂美四边形.由（2）知cg2+be2=cb2+ge2.ac=4，ab=5，bc=3，cg=42，be=52.ge2=cg2+be2-cb2=73.ge=73.评注：对于新定义问题，应当结合题目中给定的概念信息，结合题意运用数形结合的思想，从图形的位置以及题目中的数量关系进行探究.练习6 （2016·德州）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

17、（1）如图15，在四边形abcd中，点e，f，g，h分别为边ab，bc，cd，da的中点.求证：中点四边形efgh是平行四边形. abcdefgh图15（2）如图16，点p是四边形abcd内一点，且满足pa=pb，pc=pd，apb=cpd，点e，f，g，h分别为边ab，bc，cd，da的中点，猜想中点四边形efgh的形状，并证明你的猜想.图16 abcdefgh p（3）若改变（2）中的条件，使apb=cpd=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形efgh的形状（不必证明）.（二）四边形的综合问题例7 （2016·临沂）如图17，在正方形abcd中，点e，f分别是边bc

18、，ab上的点，且ce=bf.连接de，过点e作egde，使eg=de，连接fg，fc.（1）请判断：fg与ce的数量关系是 ，位置关系是 . abcdefg图17 图18 abcdefg（2）如图18，若点e，f分别是边cb，ba延长线上的点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明.（3）如图19，若点e，f分别是边bc，ab延长线上的点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断. abcdefg图19分析：（1）只要证明四边形cegf是平行四边形即可得出fg=ce，fgce.（2）如图20，构造辅助线后证明hgeced，利用对应边相等证得四边形ghbf是矩形后，利用等量代换即可求出fg=ce，fgce.