解析几何解题技巧

1、高三数学(人教版) 第二轮专题辅导讲座第五讲 解析几何新题型的解题技巧【命题趋向】 解析几何例 命题趋势：1解析几何 的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属 中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考2直线与二次曲线的普遍方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现 有一定灵活性和综合性较强的题，属中档题4有关直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生平面几何 知识与代数知识的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较 高【考点透视】一直线

2、和圆的方程1理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点 式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系3了解二元一次不等式表示平面区域4了解线性规划的意义，并会简单的应用5了解解析几何的基本思想，了解坐标法6掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程 二圆锥曲线方程1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 4了解圆锥曲线的初步应

3、用【例题解析】考点 1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手 ,构造方程解之 .例 1 ( 20XX 年安徽卷)若抛物线y2 2px 的焦点与椭圆22x2 y2 1的右焦点重合，则 p 的62值为()A 2B 2C 4D 4考查意图 : 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质 .22解答过程：椭圆 x y 1的右焦点为 (2,0)，所以抛物线 y2 2 px的焦点为 (2,0)，则 p 4， 62故选 D.考点 2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一 ,其解法为从曲线的性质入手 ,找出点的坐标 ,利用距 离公式解之 .例

4、2（ 20XX 年全国卷 II ）已知 ABC 的顶点 B、C在椭圆 x32y21上，顶点 A是椭圆的 3 一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是 A 2 3B6C 4 3D12考查意图 : 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的应用 . 解答过程：由椭圆方程 x3y21 知A 2,0 ,B 2, 33 ,C 2,2 3 2 5 3 4 3.33AB 2 233故选 C. 例 3（ 20XX 年四川卷）如图，53322x2 y2 1的长轴 25 16x 轴的垂线交椭圆的上半部F 是椭圆的一个焦点，把椭圆AB 分成 8 等份，过每个分点作 分于 P1,P2,P3,P4,P

5、5,P6,P7七个点， 则 P1F P2F P3F P4F P5F P6F P7F 考查意图 : 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用 22解答过程：由椭圆 x2 y2 1的方程知 a 2 25, a 5. 25 16 17 2a P1F P2F P3F P4F P5F P6F P7F2 7 a 7 5 35.故填 35.考点 3. 曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用 :（1）椭圆的 离心率 e c （0,1） （ e越大则椭圆越扁 ）;a（2） 双曲线的 离心率 e c （1, ） （e越大则双曲线开口越大 ）.a 结合有关知识来解题 .22例 4（

6、20XX 年福建卷）已知双曲线 x y 1（a 0,b 0）的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜 a2 b2角为 60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （）A考查意图 :（1,2B （1,2）C2, ）D （2, ）本题主要考查双曲线的 离心率 e c （1, ）的有关知识 .a3x)c a2 b e2 aa 例 5（ 20XX 年广东卷）已知双曲线 与点 P 到右准线的距离之比等于（B. 2 3C. 23考查意图 : 本题主要考查双曲线的性质和 离心率 e c （1, ） 的有关知识的应用能力 a解答过程：依题意可知 a 3,c a2 b2 3 9 2 3

7、 考点 4.求最大 （小 ）值解答过程：A. 29, 则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离D.4求最大 (小 )值, 是高考题中的热点题型之一 .其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最 大 (小)值:特别是 ,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例 6(20XX 年山东卷 )已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2) 两点，则 y12+y22 的最小值是.考查意图 : 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小 )值的方法 .解 :设过点 P(4,0)的直线为 y k x 4 , k 2 x2 8x 16 4x

8、,k2x2 8k2 4 x 16k2 0,2 28k2 4 1y1 2y2 24 x1x24 216 2 232.12 12 k2 k2故填 32.考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内 容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心 .2例 7已知 P 是椭圆 x y2 1上的点， F1,F2 是椭圆的两个焦点，且F1PF2 60 ，求 F1PF24的面积 .解答过程：依题意得： PF1 PF2 2a 4 ，在 F1PF2 中由余弦定理得(2 3)2 PF12 PF22 2PF1 PF2 cos60 (PF1 PF2)2 2

9、PF1 PF2 2PF1 PF2 cos60 ，解之得： PF1 PF2 4，则 F1PF2的面积为 1PF1 PF2 sin 603 .3 2 1 2 3小结：( 1)圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重；( 2)求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理非常重要.例 8已知动点 P 到两个定点 A( 5,0) 、 B(5,0) 的距离之差为 |PA | |PB| 8 ，1)求点 P 的轨迹方程；2)对于 x轴上的点 M，若满足 |PA| |PB| |PM |2 ，则称点 M 为点 P对应的“比例点”，求证：对任意一个确定的点P，它总有两个比例点 .解答过程：

10、( 1)因为 A( 5,0) 、 B(5,0) 且|PA| |PB| 8 ， 所以，点 P 的轨迹是以 A,B 为两焦点，实轴长为 8 的双曲线的右支， 且 a 4,c 5 ，则 b 3 ，则点 P 的轨迹方程是：2y1,(x16 94)5，e4(2)设 P(x 1, y1)(x 1 4) ， M(m,0) ，双曲线的离心率 因为|PA | |PB| |PM |2 ，由焦半径公式和距离公式得：(5x1 4)(5x1 4) (x1 m)2 y12 (x1 m)2 9(x1 1)，4 整理得：4 16 m2 2mx1 7 0 ，因 4x12 28 4(x 12 7) 0 ，则方程有两个不等实根，即

11、对于点 P 它总对应两个比例点 .小结：( 1)应用圆锥曲线定义时，要注意其限制条件，在椭圆中， 2a 2c ；在双曲线中 2a 2c且注意差的绝对值 | PF1 | |PF2 | 2a，若无绝对值，则曲线为双曲线的一支；(2)焦半径公式在计算中非常方便，但双曲线的焦半径不要求记忆，可以利用定义进 行转化；(3)求解对应点的个数，通常转化为方程解的个数，这时，22例 9已知椭圆 E:x2 y2 1(a b 0)，AB 是它的一条弦， a2 b2以点 M(2,1) 为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线 N(4, 1) ，若椭圆离心率 e 和双曲线离心率 e1之间满足 ee1 (1)椭圆

12、E的离心率；( 2)双曲线 C的方程 . 解答过程：( 1)22则 x1 y1 1 ，a2 b2kAB y1 y 2ABx1 x2判别式就非常重要M(2,1) 是弦 AB 的中点，若C 和直线 AB 交于点1，求：设 A、B 坐标分别为 A(x 1, y1), B(x 2,y2)， 22x 22 y22 ，2 2 1 ， ab (x 1 x )2b 2 (y1 y2)a2所以 a2 2b2 2(a2 c2)， a2 2c2，二式相减得：2b 2 k2kMNa1 ( 1) 1 ，124则e c 2 ；a2a2 ( 2c) 2 c 设 P(x, y) 是双曲线上任一点，则：2)椭圆 E 的右准线为

13、 x2c ，双曲线的离心率 ce1 1 2 ， e|PM | (x 2) (y 1) 2 ，|x 2c| |x 2c|两端平方且将 N(4, 1)代入得：当 c 1 时，双曲线方程为：当 c 3 时，双曲线方程为： 小结：( 1)“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；(2)求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义 考点 6 利用向量求曲线方程c 1 或 c 3 ，(x 2)2 (y 1)2 0 ，不合题意，舍去； (x 10) 2 (y 1)2 32 ，即为所求 .利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算 典型例题：例 10 (20XX 年山东卷)双曲线

14、 条渐近线 .22C 与椭圆 x y 1 有相同的焦点，直线84y= 3x 为 C 的一(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点 P(0,4)的直线 l ，交双曲线 C于 A,B两点，交 x轴于 Q 点(Q点与 C的顶点不重 合).当 PQ 1QA 2QB，且 1 2 8时，求 Q 点的坐标 .1 2 3考查意图 : 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想 ,方程和转化的思想解决问题的能力.22 解答过程：()设双曲线方程为x2 y2 1,22 ab22由椭圆 x y 1,求得两焦点为 ( 2,0),(2,0) ，84对于双曲线 C:c 2，又 y 3

15、x为双曲线 C 的一条渐近b 3 解得 a2 1,b2 3 ，a2双曲线 C 的方程为 x2 y 1（）解法一：由题意知直线 l的斜率 k 存在且不等于零设l 的方程： y kx 4,A(x1,y1)，B(x2,y2),则Q( 4,0) 4 4 k PQ 1QA, ( 4 , 4) 1(x1 4, y1).44k 1 k4y11kk4 4x11(x1 ) kk4 1y1A(x1,y1)在双曲线 C上，162 (1 1)2 16 1 016 32 1 16 12 136 k2 k2 2 0. (16 k2) 12 32 1 16 16k2 0. 同理有： (16 k2) 22 32 2 16 1

16、6k2 0.2 2 3若16 k2 0, 则直线 l 过顶点，不合题意 . 16 k2 0,1, 2是二次方程 (16 k2)x2 32x 16 16k2 0.的两根 .31 2 2328 , k2 4 ，此时0, k 2.1 2 k2 16 3所求 Q 的坐标为 ( 2,0) .解法二：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零设l的方程， y kx 4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q( 4,0) . kPQ 1QA， Q 分 PA的比为 1. 由定比分点坐标公式得4(1 1) k14 y114 1x1k 1 10 4 1y111下同解法一解法三：由题意知直线 l 的斜率 k 存

17、在且不等于零设l 的方程：y kx 4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q( 4,0) . kPQ1QA2QB，(4,4)1(x14,y1)2(x24, y2).kkk 444 1y1 2 y2 ，1 ， 2 4 ，y1y2又 1 2 8 ， 1 1 2 ,即 3(y1 y2) 2y1y2 .3y1 y2 3将 y kx 4代入 x2 y 1得(3 k2)y2 24y 48 3k2 0.33 k2 0，否则 l 与渐近线平行24 48 3k2 y1 y2 2 ,y1y2 2 .1 2 3 k2 1 2 3 k2224 48 3k2 . k 23 2 2 2 . k 23 k23 k2Q(

18、 2,0).解法四：由题意知直线 l得斜率 k 存在且不等于零，设 l的方程： y kx 4， A(x1, y1), B( x2, y2 ) ,则Q( 4 ,0)kPQ 1QA, ( 4, 4) 1(x1 4,y1).kk4 .同理4 kx1 4 x1 k4kx2 4消去 y 得 当 3 k2 0 时，由韦达定理有：kx1 4 kx2 4 322k2x1x2 5k(x1 x2) 8 0.y kx 4x2 y2 1x21322(3 k )x 8kx 19 0.则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， x1 x2 8k 21 2 3 k 219x1 x23 k 22k2 4,k 2.3 k2

19、0.*)代入( * )式得所求 Q 点的坐标为 ( 2,0) .例 11已知，椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，过其右焦点 F 作斜率为 1 的直线交椭圆于 A 、 B 两点，若椭圆上存在一点 C，使 OA OB OC ，( 1)求椭圆的离心率；(2)若 |AB | 15 ，求这个椭圆的方程 .22解答过程：( 1)设椭圆方程为 x y 1,(a b 0) ，焦距为 2c，a2 b2则直线 AB 的方程为 y x c ，设 A(x 1,y1),B(x2,y2) ，x2 y2由 a2 b2 1得： (a2 b2 )x 2 2a2cx a2c2 a2b2 0 ，yxc则 x x2a2c ，x1 x

20、2 a2 b22b2c ，a2 b222b2c ，2 2) ，ab4b2c2(a2 b2)2 (a2 b2) a2 (a2 c2) ，即 2a2 5c2 ，y1 y2 x1x2 2c因 OA OB OC ，则又点 C 在椭圆上，22a cC( a22a cb2,ab224a c221整理得： 4c2 a2所以 e c 10 a5b22)|AB | |AF | |BF | (a ex1) (aex2)2a e(x1 x2) 2ac 2a2c2a a b3a215则 a 10 ， c 2 10 ， b2 60 ，22椭圆方程为 x 2 y2 1.A、B、 C 三点之间的关系用较简单的形式给出来；1

21、00 60 1 小结：( 1)利用向量，可将较复杂的(2)焦点弦的长度的计算，一般都分割成两段，用定义或焦半径来求解；( 3)计算复杂是解析几何的通性，要细心.考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利 用解析几何知识建立等量关系容易 .例 12设椭圆 E 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 3 ，过点 C( 1,0) 的直线 交椭圆 E于 A、B 两点，且 CA 2BC ，求当 AOB 的面积达到最大值时直线和椭圆 E的方 程.解答过程：因为椭圆的离心率为 3 ，故可设椭圆方程为 2x2 3y2 t(t

22、 0) ，直线方程为3my x 1，由 2x2 3y2 t 得：my x 1则 y1 y2 21 2 2m2 3又 CA 2BC ，故 (x 1 1,y1) 2( 1 x2, y2) ，即 y12y2 由得：(2m2 3)y2 4my 2 t 0，设 A(x 1,y1),B(x 2,y2) ，4my18m2m 2 3则S AOB 21|y1 y2| 6|4m ，y22m2 3 ，m2| 66 ，2m 3 3 2 2|m|2|m|当m2 3，即 m 6时， AOB面积取最大值， 222此时 y1y2 22 t322m2 2 ，即t 10，1 2 2m2 3(2m 2 3)2所以，直线方程为 x

23、6 y 1 0，椭圆方程为 2x2 3y2 10. 2小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易 .例 13已知 PA (x 5,y) ， PB (x 5,y) ，且 |PA| |PB| 6， 求|2x 3y 12 |的最大 值和最小值 .解答过程：设 P(x, y) ， A( 5,0) ， B( 5,0) ， 因为|PA| |PB| 6，且|AB | 2 5 6， 所以，动点 P的轨迹是以 A、B 为焦点，长轴长为 6的椭圆， 22椭圆方程为 x y 1 ，令 x 3cos ,y 2sin ，94则|2x 3y 12|6 2cos( ) 12 |，当 cos(

24、) 1时， |2x 3y 12|取最大值 12 6 2 ，4当cos( ) 1时， |2x 3y 12|取最小值 12 6 2 . 小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算 . 考点 8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值 域问题 .2例 14( 20XX 年福建卷)已知椭圆 x y2 1的左焦点为 F，2O 为坐标原点 . y ( I)求过点 O、F，并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程； ( II )设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x轴

25、交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围 考查意图 :本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力 .解答过程：( I) a2 2,b2 1, c 1,F( 1,0), l:x 2. 圆过点 O、 F， 圆心 M 在直线 x 1上 .设M ( 1,t),则圆半径21( ) ( 2)22由 OM r,得 ( 21)2 t2 32, 解得 t 2.所求圆的方程为 (x 1)2 (y 2)2 9. 24( II )设直线 AB 的方程为 y k(x 1)(k 0),2代入 x y2 1,整理得 (1 2k2)x2 4k2x 2k2 2 0.

26、2直线 AB 过椭圆的左焦点 F， 方程有两个不等实根 记 A(x1, y1),B(x2,y2 ),AB 中点 N(x0,y0 ),2 则 x x4k 2 ,x1 x2 2k2 1,1(x x0). kAB 的垂直平分线 NG 的方程为 y y0令 y 0, 得k2222 4k2 2.2k2k2xGx0ky0 2 2 2G0 02k21 2k21 2k21k 0, 1 xG 0,2点G 横坐标的取值范围为 ( 1,0).2例 15已知双曲线 C： x2 y2 1(a 0,b 0)，B 是右顶点， F是右焦点，点 A 在 x 轴正半 轴上，且满足 |OA |,| OB |,| OF |成等比数列

27、，过 F作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂 线l ，垂足为 P，( 1)求证： PA OP PA FP ；a ，即 A( a ,0) ， |OF| c c直线 l ： ya(x c) ，b ya (x c)y (x c)by b xyxaa2 ab ，P(a ,ab) ，cc故：PA (0,则：a2 abb2( , ),FP ( c cca2b2PA OP 2 PA FP ，即c2ab),OP cab)，cPA OP PA FP；(或 PA (OP FP) PAya(x c)( 2)由b2 2 2 2 2 2 b x a y a b a4c2 (a c 由 x1x2(PF PO)(b2P

28、A OF 0，即 PA OP PA FP4 4 22 a a c 2 22 2 2 cx ( 2 a2b2) 0 ， bbFP)b2a2b2)0 得：b2或由 k DF kDO4ab2ab4b2 c2 a2 a2 e2 2 e 2bba22caa2 e2 2 e 2 )b 小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地 求出各个点的坐标 .例 16已知 a (x,0) ， b (1,y) ， (a(a 3b)(2)若 l与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点 D,E，求双曲线 C的离心率 e的取值范围 . 解答过程：( 1)因 |OA |,| OB |,| OF

29、 |成等比数列，故 |OA | |OB |(1)求点 P(x, y) 的轨迹 C 的方程；(2)若直线 y kx m(m 0)与曲线 C交于 A、B 两点， D(0, 1)，且 |AD | |BD |，试求 m 的取值范围 .解答过程：( 1)a3b (x,0) 3(1,y) (x 3, 3y) ，a 3b (x,0)3(1,y) (x 3, 3y) ，因 (a 3b) (a3b) ，故 (a 3b) (a 3b) 0 ，即 (x 3, 3y) (x 3, 3y) x 3y 3 0 ，2故 P 点的轨迹方程为 x y2 1.3y kx m 2 2 22)由 2 2 得： (1 3k2)x 2

30、6kmx 3m2 3 0，x2 3y2 36kmx 1 x 2 1 3k2x1 x 23km mx 02 ， y0 kx 0 m 2 ，0 2 1 3k20 0 1 3k23km m ，2,2 )，设A(x 1,y1),B(x 2,y2)，A、B的中点为 M(x 0,y0) 则 (6km) 2 4(1 3k 2)( 3m2 3) 12(m 2 1 3k 2) 0，即 A 、 B 的中点为 (21 3k 2 1 3k将 D(0, 1) 的坐标代入，化简得：22m2 1 3k 2 0 2则由 2得： m24m 3k 2 1则线段 AB 的垂直平分线为： y m 2 ( 1)(x 3km2) ， 1

31、 3k 2k 1 3k 24m 0，解之得 m 0或 m 4，4m 3k 2 1，21又 4m 3k 2 1 1 ，所以 m，4故 m 的取值范围是 ( 1,0) (4, ) .4 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象 . 考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题BC 过椭圆的存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的 坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立 例 17已知 A,B,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个顶点，使得yCB中心 O，且 AC BC 0，|BC| 2|AC

32、 |， (1)求椭圆的方程； (2)如果椭圆上的两点 P,Q使 PCQ 的平分线垂直于 OA ，是否总存在实数 PQ AB ？请说明理由； 解答过程：( 1)以 O为原点， OA 所在直线为 x轴建立平面直角坐标系，则 A(2,0) ， 22设椭圆方程为 xy2 1 ，不妨设 C 在 x 轴上4 b2方，由椭圆的对称性， |BC| 2|AC | 2|OC | |AC | |OC|，又 AC BC 0 AC OC ，即 OCA 为等腰直角三角形， 由A(2,0) 得： C(1,1) ，代入椭圆方程得： b2 4 ，3x 2 3y2即，椭圆方程为 x 3y 1 ；(2)假设总存在实数 ，使得 PQ

33、 AB ，即 AB/ PQ ，由C(1,1)得B( 1, 1)，则 kAB 0 ( 1) 1，AB 2 ( 1) 3若设 CP： y k(x 1) 1，则 CQ： y k(x 1) 1 ，x 2 3y2 121)x 3k2 6k 1 0 的一个根，23k 6k 1以 k 代k 得 xQ2 ，Q 1 3k 2由 4 4 1 (1 3k2)x2 6k(k 1)x 3k2 6k 1 0 ， y k(x 1) 1由C(1,1)得 x 1是方程 (1 3k2)x2 6k(k3k 2 6k 1由韦达定理得： xP xP 1 3k 6k2 1 ，P P 1 3k 21，3故 AB/ PQ ，故 yP yQ

34、k(x P xQ) 2k故 kPQxP xQxP xQ即总存在实数 ，使得 PQ AB .评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线 及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题 .考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题 直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组， 进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围 . 例 18设 G、M 分别是 ABC的重心和外心， A(0, a)， B(0,a)(a 0)，且GM AB ，( 1)求点 C 的轨迹方程；( 2)是否存在直线 m，使 m 过点 (

35、a,0) 并且与点 C 的轨迹交于 P、Q 两点，且 OP OQ 0 ？若存在，求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由 .解答过程：(1)设 C(x, y) ，则 G(x ,y)，33x因为 GM AB，所以 GM/ AB，则 M( ,0) ， 3由 M 为 ABC的外心，则 |MA | |MC |，即 (x)2 a2(x x)2 y2 ，22整理得： x 2 y2 1(x 0) ；3a2 a22)假设直线 m 存在，设方程为 y k(x a) ，y k(x a)2 2 2 2 2由 x2 y2 得： (1 3k2)x 2 6k 2ax 3a2(k 2 1) 0， 由 3xa2 ya2 1

36、(x 0) (1 3k )x 6k ax 3a (k 1) 0 ，设P(x1,y1),Q(x 2,y2) ，则 x1 x22 2 26k2a3a2(k 2 1)2， x1x22 ，1 3k 21 2 1 3k 2y1y2 k2 (x1 a) (2 x a2) k1 2x x 1 a(x2 2x 由 OP OQ 0 得： x1x2 y1y2 0 ，3a2(k2 1) 2k2a2 0，解之得 k 3 ，即 2 21 3k21 3k2又点 (a,0) 在椭圆的内部，故存在直线 m，其方程为小结：( 1)解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的 结果，然后做出正确的判断；(

37、2)直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组 成的方程组的求解问题 .【专题训练与高考预测】一、选择题直线 m 过点 (a,0) ， y 3(x a).1如果双曲线经过点(6, 3) ，且它的两条渐近线方程是22A x2 y2 1 36 9 2 2已知椭圆 x 2 3m2 程为( )A. 15A. x y222B x2 y2 181 92 y 1 和双曲线25nC2m2 3n2x29 y2 12 y21yx32D x，那么双曲线方程是()2y2 118 31有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方C. 3 D. 3C. x y D. y x443已知 F1,F2为椭

38、圆 x2 y2 1(a b 0)的焦点， M 为椭圆上一点， MF1垂直于 x轴， a2 b2且 F1MF 2 60 ，则椭圆的离心率为(A. 1 B. 2 C. 3 D. 32 2 3 2224二次曲线 x y 1，当 m 2, 1 时，4mB. 3,B. 2 ,kx 1，双曲线 C 的方程为k 的取值范围是C. 2, 2)若抛物线过点 A( 1,0)， B(1,0) ，且以圆的切线为准线，)22x y 1(y 0)4322x42 y32 1(x 0)43B. 15B. y x222该曲线的离心率e 的取值范围是( )A.C. 52262265直线 m 的方程为 y 相交于不重合的两点，则实

39、数 A. ( 2, 2) B.(1, 2) 6已知圆的方程为 x2 y2 4 ， 则抛物线的焦点的轨迹方程为( 22A. x y 1(y 0)3422C. x y 1(x 0)34二、填空题B.D.D. 3 2y2 1 ，若直线 m 与双曲线 C 的右支 )D.1, 2)227已知 P 是以 F1、 F2 为焦点的椭圆 x2 y2 1(a b 0)上一点，若 PF1 PF2 0 a2 b 21 ，则椭圆的离心率为 .2228 已知椭圆 x2+2y2=12， A 是 x 轴正方向上的一定点，若过点 截得的弦长为 4 13 ，点A的坐标是 .32y上的点， F1,F2 是椭圆的左右焦点，设tan

40、PF1F2A，斜率为 1 的直线被椭圆29P 是椭圆 x143 与最小值之差是 _10给出下列命题：圆 (x 2)2 (y 1)2 1关于点 M( 1,2) 对称的圆的方程是 22x y 1右支上一点 P 到左准线的距离为 18， 16 9双曲线|PF1| |PF2 | k，则 k 的最大值22(x 3)2 (y 3)2 1 ； 那么该点到右焦点的距离为29 ；2顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点 ( 4, 3)的抛物线方程只能是 y29 x；4P、Q是椭圆 x2 4y2 16上的两个动点， O为原点，直线 OP,OQ 的斜率之积为1，4则|OP|2 | OQ |2等于定值 20 . 把你认

41、为正确的命题的序号填在横线上 .三、解答题11已知两点 A( 2,0)，B( 2, 0) ，动点 P在 y轴上的射影为 Q，PA PB 2PQ2， ( 1)求动点 P的轨迹 E 的方程；( 2)设直线 m 过点 A，斜率为 k，当 0 k 1时，曲线线 m 的距离为 2 ，试求 k 的值及此时点 C 的坐标 .12如图， F1( 3,0) ， F2 (3,0) 是双曲线 C的两焦点，直线 xE 的上支上有且仅有一点C 到直4 是双曲线 C 的右准线，3 A1,A2 是双曲线 C 的两个顶点，点 P是双曲线 C 右支上异于 A2P交双曲线 C 的右准线分别于 M,N 两点， 1)求双曲线 C 的

42、方程； 2)求证： F1M F2N 是定值 .A 2的一动点，直线 A1P 、13已知 OFQ 的面积为 S，且 OF FQ 1 ，建立如图所 系，(1)yMNQ，示坐标yA若 S 1 ， |OF | 2 ，求直线 FQ 的方程；2设 |OF| c(c 2) ， S 3c，若以 O 为中心， F为焦点的椭圆过点 4求当 | OQ |取得最小值时的椭圆方程14已知点 H上，且满足 HP PM 0， PM3MQ ，2)( 3,0) ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点x(1)当点 P在y轴上移动时，求点 M 的轨迹 C；(2)过点 T( 1,0)作直线 m与轨迹 C交于 A、B

43、两点，若在 x轴上存在一点 E(x 0 ,0) ，使 得 ABE 为等边三角形，求 x0的值 .2215已知椭圆 x y 1(a b 0) 的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点 M 向 x a2 b2轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量 AB与OM 是共线向量 ( 1)求椭圆的离心率 e；(2)设 Q 是椭圆上任意一点，F1、 F2 分别是左、右焦点，求 F1QF2 的取值范围；16已知两点 M(-1，0)，N(1，0)且点 P 使 MP MN,PM PN,NM NP成公差小于零的 等差数列，()点 P 的轨迹是什么曲线？()若点 P坐标为 (x0,y0) ， 为PM与PN 的夹角

44、，求 tan【参考答案】一. 1C .提示，设双曲线方程为 (1x y)(1x y) ，将点 (6, 3)代入求出 即可. 332D .因为双曲线的焦点在 x轴上，故椭圆焦点为 ( 3m2 5n2 ,0) ，双曲线焦点为 ( 2m2 3n2 ,0) ，由 3m2 5n2 2m2 3n2 得|m| 2 2 | n |，所以，双曲线的渐近线为 y 6|n| 3 x .2|m| 43C .设|MF1| d，则 |MF2| 2d ， | F1F2 | 3d，c 2c |F1F2 | 3d 3 . e.a 2a |MF1 | |MF2 | d 2d 34.C .曲线为双曲线，且5 1，故选 C；或用 a

45、2 4，b2m来计算 .25B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.6B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.二 .7 解： 设 c 为为椭圆半焦距， PF1 PF2 0 ， PF1 PF2.1PF1 2 PF2 2 （2c） 2又 tan PF1F2 21 PF1 PF2 2aPF2 1PF1 2解得： （c）2 5,e c5 选 Da9a3解：设 A（x0，0）（x0>0），则直线 l 的方程为 y=x-x 0，设直线 l 与椭圆相交于 P （x1，y1）， Q（ x2、 y2），由 y=x-x 0 可得 3x 2-4x 0x+2x 02-12=0 ，2

46、2 x +2y =122x1 x2 4x0， x1 x2 2x02 12，则3316x0 8x0 48 2 36 2x02 9 3 3 04 14 1 x2 |x1 x2|，即 4 14 2 2 36 2x02| x1 x2 | (x1 x2 )2 4x1x23 1 2 3 32 x02=4，又 x0>0，x0=2， A(2，0)91；k |PF1| |PF2 | (a ex)(a ex) a2 e2x2 .10 .三. 11解( 1)设动点 P的坐标为 (x, y) ，则点 Q(0, y) ， PQ ( x,0) ， PAPB ( 2 x,( 2 x, y) ，y) ， PA PB x

47、2 2 y2 ， 因为 PA PB 2PQ2 ，所以 x2 2 y2 2x 2， 即动点 P的轨迹方程为： y2 x2 2 ； (2)设直线 m： y k(x 2)(0 k 1) ， 依题意，点 C 在与直线 m 平行，且与 m 之间的距离为 2的直线上， 设此直线为 m1:y kx b，由| 2k b| 2，即 b2 2 2kb 2，把 y kx b 代入 y2 则4k 2b2 4(k 2由得： k 2 55此时，由方程组 yy12解：( 1)依题意得：k 2 1 x2 2 ，整理得： 1)(b2 2) 0 ，即10 ， b，52 5 x 10x 5 C(2 2, 10) .5 x2 2a2

48、(k2 1)x 2 2kbx (b2 2)22b2 2k2 2 ，4 ，所以 a 2 ， b235，0，22xy451,y1)，N(x2,y2)，则A1( 2,0) ，10A1P (x0 2,y0)， A2P (x0 2,y0)，A1M ( ,y1) ，1 3 110因为A1P与A1M 共线，故 (x0 2)y1y0，y13所求双曲线 C 的方程为2)设 P(x0,y0) ，M(x2y0 ， y2 ， 23(x 0 2)13A 2(2,0) ， 2， A2N ( ,y2) ，3 10y 0 ，同理： 3(x 0 2)则F1M (133,y1)， F2N ( 35,y2)，65 y1y2 659所以 F1M F2N 913解：( 1)