奥本海默信号与系统第2章

1、第第2章章 线性时不变系统线性时不变系统Linear Time-Invariant Systems LTI系统的框图结构表示。系统的框图结构表示。本章主要内容：本章主要内容： 信号的时域分解信号的时域分解用用 表示离散时间表示离散时间信号；用信号；用 表示连续时间信号。表示连续时间信号。 LTI系统的时域分析系统的时域分析卷积积分与卷积和卷积积分与卷积和 LTI系统的微分方程及差分方程表示。系统的微分方程及差分方程表示。 奇异函数。奇异函数。( ) t2.0 引言引言 ( Introduction ) 由于由于LTI系统满足齐次性和可加性，系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为

2、建并且具有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。了基础。基本思想：基本思想：如果能把任意输入信号分解如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到成基本信号的线性组合，那么只要得到了了LTI系统对基本信号的响应，就可以系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。号的响应的线性组合。问题的实质：问题的实质：1.1.研究信号的分解：即以什么样研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号的

3、基的信号作为构成任意信号的基本信号单元，如何用基本信号本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信单元的线性组合来构成任意信号；号；2. 如何得到如何得到LTI系统对基本单元系统对基本单元信号的响应。信号的响应。 作为基本单元的信号应满足以下作为基本单元的信号应满足以下要求：要求：1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号；信号；2. LTI系统对这种信号响应易于求得。系统对这种信号响应易于求得。如果解决了信号分解的问题，如果解决了信号分解的问题，即：若有即：若有( )( )iiix t

4、a x t( )( )iix ty t则则( )( )iiiy ta y t 将信号分解可在时域进行，也可在频域或将信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域进行，相应地就产生了对变换域进行，相应地就产生了对LTI系统的系统的时域分析法、频域分析法和变换域分析法。时域分析法、频域分析法和变换域分析法。分析方法分析方法： 离散时间信号中离散时间信号中, ,最简单的是最简单的是 , ,可可以由它的线性组合构成以由它的线性组合构成 ，即：，即：2.1 离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和一一. . 用单位脉冲表示离散时间信号用单位脉冲表示离散时间信号 （Discrete-Time LTI S

5、ystems:The Convolution Sum） 对任何离散时间信号对任何离散时间信号 , ,如果每次从如果每次从其中取出一个点，就可以将信号拆开来，其中取出一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以表示为不同加每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。权、不同位置的单位脉冲。 于是有于是有：上式把任意一个序列上式把任意一个序列 表示成一串移表示成一串移位的单位脉冲序列位的单位脉冲序列 的线性组合，的线性组合，其中其中 是权因子。是权因子。二二. . 卷积和卷积和（Convolution sum） 定义：离散时间定义：离散时间LTILTI系统的系统的单位脉冲响应单

6、位脉冲响应( impulse response ) 根据根据LTI的移不变性有：的移不变性有：再根据再根据LTI的齐次性和可加性有：的齐次性和可加性有：总之，总之，LTI系统对任何输入信号系统对任何输入信号 的的响应有：响应有：上面这种求得系统响应的运算关系称为上面这种求得系统响应的运算关系称为卷积卷积和和（The convolution sumThe convolution sum）。这表明：这表明：一个一个LTI系统对任意输入的响应都可以由它的单位脉系统对任意输入的响应都可以由它的单位脉冲响应和输入来表示。冲响应和输入来表示。卷积的意义：卷积的意义：单位脉冲响应完单位脉冲响应完全表征全表征

7、LTILTI系统的特性系统的特性系统与系统与信号的统一。信号的统一。三三. . 卷积和的计算卷积和的计算计算方法计算方法：有图解法、列表法、解析法（包有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。括数值解法）。运算过程运算过程： 将一个信号将一个信号 不动不动，另一个信号经反转另一个信号经反转后成为后成为 , ,再随参变量再随参变量 移位为：移位为： 在每个在每个 值的情况值的情况下，将下，将 与与 对对应点相乘，再把乘积的各点值累加应点相乘，再把乘积的各点值累加，即得到即得到 时刻的时刻的 。nnn例例1： 011k0 时时，0n 时时，所以所以例例2： 时时，0n 时时，04n 时时，46n

8、时时，610n 时，时，10n 通过图形帮助确定反转移位信号通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积和计算的区间表示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很的区段及各区段求和的上下限是很有用的。有用的。 四四. . 卷积和运算的性质卷积和运算的性质1. 交换律：交换律：结论：结论： 一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是hn的的LTI系统系统对输入信号对输入信号xn所产生的响应，与一个单位所产生的响应，与一个单位冲激响应是冲激响应是xn的的LTI系统对输入信号系统对输入信号hn所所产生的响应相同。产生的响应相同。2. 结合律结合律: : 两个两个LTI系统级联可以等效为一个

9、单一系统级联可以等效为一个单一系统，该系统的单位脉冲响应等于两个级系统，该系统的单位脉冲响应等于两个级联系统的单位脉冲响应的卷积。联系统的单位脉冲响应的卷积。 两个级联的两个级联的LTI系统总的单位脉冲系统总的单位脉冲响应与其中各部分级联的次序无关。响应与其中各部分级联的次序无关。结论：结论：3. 分配律：分配律：结论：结论： 两个两个LTI系统并联可以用一个单系统并联可以用一个单一的一的LTILTI系统来等效，该单个系统的系统来等效，该单个系统的单位脉冲响应等于并联的各个子系统单位脉冲响应等于并联的各个子系统的单位脉冲响应之和。的单位脉冲响应之和。4. 4. 卷积运算还有如下性质：卷积运算还

10、有如下性质：卷积和满足差分、求和特性：卷积和满足差分、求和特性：时移特性：时移特性：则有：若： n y n x n hn-nyn-nxnhnxn-nh000 与离散时间信号分解的思想相一致，连与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。至少单位阶跃的单位冲激信号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关系：与单位冲激之间有这种关系：（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）0( )( )()tu tdtd 一一. . 用冲激信号表示连

11、续时间信号用冲激信号表示连续时间信号2.2 连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分 对一般信号对一般信号 ，可以将其分成很多，可以将其分成很多 宽度的区段，用一个阶梯信号宽度的区段，用一个阶梯信号 近似表近似表示示 。当。当 时时，有有( )x t0( )x t引入引入 ，即：即：( ) t1/0( )0ttotherwise 则有则有：10( )0ttotherwise ( )( ) ()x txtd 表明：表明：任何连续时间信号任何连续时间信号 都可以被分解成移位都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。加权的单位冲激信号的线性组合。 ( )x t于是：于是：二二. .

12、卷积积分卷积积分（The convolution integral）定义：连续时间定义：连续时间LTILTI系统的系统的单位冲激响应单位冲激响应卷积积分的表示：卷积积分的表示：又又( )( ) ()( )( )y txh tdx th t 表明表明: :连续时间连续时间LTI系统可以系统可以完全由它的完全由它的单位冲激单位冲激 响响应应来表征。来表征。( )h t卷积积分卷积积分三三. . 卷积积分的计算卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、解析法和数值解法。解法、解析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信运算过程的实质也是

13、：参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量号中，一个不动，另一个反转后随参变量 移动。对每一个移动。对每一个 的值，将的值，将 和和 对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有用的。是很有用的。tt( )x()h t01( )x例例1: : ( )( ),0atx teu ta( )( )h tu t 当当 时，时，0t ( )0y t 当当 时，时，所以：所以：例例2 : : 10( )0tTx totherwise 02( )0ttTh totherwise (

14、 )( )( )( ) ()() ( )y tx th txh tdx thd02T2T( )h()x t01tTt 当当 时，时，0t ( )0y t 当当 时，时，0tT 201( )2ty tdt 当当 时，时，2TtT 21( )2tt Ty tdTtT 当当 时，时，23T tT 2221( )2()2Tt Ty tdTtT 当当 时，时，3tT( )0y t 212T232TT3T2T0t( )yt四四. . 卷积积分运算的性质卷积积分运算的性质1. 交换律：交换律：结论：结论：一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是h(t)的的LTI系统对系统对输入信号输入信号x(t)所产生的响应，

15、与一个单位冲激所产生的响应，与一个单位冲激响应是响应是x(t)的的LTI系统对输入信号系统对输入信号h(t)所产生所产生的响应相同。的响应相同。2. 分配律：分配律：结论：结论：两个两个LTI系统并联，其总的单位冲激系统并联，其总的单位冲激响应等于各子系统单位响应等于各子系统单位冲激冲激响应之和。响应之和。3. 结合律结合律: : 两个两个LTI系统级联时，系统总的单位冲系统级联时，系统总的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应的卷激响应等于各子系统单位冲激响应的卷积。积。 由于卷积运算满足交换律，因此，由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。系统级联的先后次序可以调换。结论：

16、结论：4. 卷积运算还有如下性质：卷积运算还有如下性质：卷积积分满足微分、积分特性：卷积积分满足微分、积分特性：若若 ，则，则)()()(tythtx)()()()()(tythtxthtxtttdydhtxthdx)()()()()(卷积积分时移特性：卷积积分时移特性：)()()(tythtx若若 ，则，则)()()()()(000ttytthtxthttx将将 微分一次有微分一次有: :( )x t( )( )()x tttT( )x ttT0(1)( 1)( )( )( )( ) ( )()( )()y tx th th tttTh th tT例如：例如：2.2 中的例中的例2根据微分特

17、性有根据微分特性有: :02T2Tt( )ht212T232TT3T2T0t()yt( )( )ty tyd利用积分利用积分特性即可特性即可得得: :T2TT2T( )y t3T2TT0t2.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质 LTI 系统可以由它的单位冲激系统可以由它的单位冲激/ /脉冲响应来表征，因而其特性（记脉冲响应来表征，因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）忆性、可逆性、因果性、稳定性）都应在其单位冲激都应在其单位冲激/ /脉冲响应中有脉冲响应中有所体现。所体现。（ Properties of Linear Time-Invariant Properties of L

18、inear Time-Invariant SystemsSystems）1. 无无记忆性和记忆性：记忆性和记忆性：故必有：故必有：即：即：所以，无记忆系统的单位脉冲所以，无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为：冲激响应为： 如果如果LTI系统的单位冲激系统的单位冲激/ /脉冲响应不满足脉冲响应不满足上述要求，则系统是上述要求，则系统是记忆的记忆的。 2. 可逆性：可逆性： 如果如果LTI系统是可逆的，一系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且逆系统也是定存在一个逆系统，且逆系统也是LTI系统，系统，它们级联起来构成一个恒等系统。它们级联起来构成一个恒等系统。( )x t( )x t( )h t( )g

19、t因此有：因此有：例如：例如：延时器是可逆延时器是可逆LTI系统系统， 其逆系统是其逆系统是 ，显然有：，显然有：0( )()h ttt0( )()g ttt00( )( )()()( )h tg tt tt tt 累加器是可逆的累加器是可逆的LTI系统，其系统，其 其逆系统是其逆系统是 ，显然也有：，显然也有：3. 因果性：因果性：对连续时间系统有对连续时间系统有: :这是这是LTI系统具有因果性的充分必要条件系统具有因果性的充分必要条件。( )0,0h tt因此必须有：因此必须有：即：即： 根据稳定性的定义，由根据稳定性的定义，由 若若 有界，则有界，则 ; ;若系统稳定，若系统稳定，则要

20、则要 求求 必有界，由必有界，由可知，必须有可知，必须有:对连续时间系统，相应有对连续时间系统，相应有: ( )htd t 这是这是LTI系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件。4. 稳定性：稳定性：5. LTI系统的单位阶跃响应：系统的单位阶跃响应： 在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述述LTI系统。单位阶跃响应就是系统对系统。单位阶跃响应就是系统对 或或 所产生的响应。因此有所产生的响应。因此有: :( )u tLTI的特性也可用单位阶跃响应来描述。的特性也可用单位阶跃响应来描述。 2.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LT

21、I系统系统 在工程实际中有相当普遍的一类系在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用线性常系数微统，其数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类分析这类LTI系统，就是要求解线性系统，就是要求解线性常系数微分常系数微分方程方程或差分方程。或差分方程。 ( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations ) 求解该微分方程，通常是求出求解该微分方程，通常是求出通解通解 和和一个特解一个特解 则则 。( )pyt( )hy t( )( )(

22、 )phy ty ty t一一. .线性常系数微分方程线性常系数微分方程(LCCDE)(LCCDE)（Linear Constant-Coefficient Differential Equation）00( )( ),kkNMkkkkkkd y td x tabdtdt,kkab为常数为常数例：已知例：已知LTILTI系统系统 )()()(txtydttdy 2)()(tuetxt3且系统满足初始松弛条件，即且系统满足初始松弛条件，即if tif t00，x(tx(t) )0 0 thenthen t0t0，y(ty(t) )0 0 一般的线性常系数差分方程可表示为：一般的线性常系数差分方程

23、可表示为：可以将其改写为：可以将其改写为：若要求若要求 除了要知道所有的输入外，还必除了要知道所有的输入外，还必须知道须知道 。由于这种差分由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为方程可以通过递推求解，因而称为递归方程递归方程（recursive equationrecursive equation）。二二. . 线性常系数差分方程线性常系数差分方程(LCCDE)(LCCDE):(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)当当 时，差分方程变为：时，差分方程变为：0,0kak此时此时, ,求解方程不再需要迭代运算，求解方程不再需要迭代运算

24、，因而称为因而称为非递归方程非递归方程（non-recursive equation）显然，此时方程就是一个卷积显然，此时方程就是一个卷积和的形式，相当于和的形式，相当于此时，系统单位脉冲响应此时，系统单位脉冲响应 是有限长是有限长的的, ,因而把这种方程描述的因而把这种方程描述的LTI系统称为系统称为FIR（Finite Impulse Response）系统系统。与此相。与此相应，将递归方程描述的系统称为应，将递归方程描述的系统称为IIR（Infinite Impulse Response）系统系统, ,此时系此时系统的单位脉冲响应是一个无限长的序列。统的单位脉冲响应是一个无限长的序列。F

25、IR系统与系统与IIR系统是离散时间系统是离散时间LTI系统中两系统中两类很重要的系统，它们的特性、结构以及设类很重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法都存在很大的差异。计方法都存在很大的差异。三三. .由微分和差分方程描述的由微分和差分方程描述的LTI系统的方框系统的方框图表示图表示 Block-Diagram Respresentation of the LTI System described by LCCDE）1. 离散时间系统的三种基本网络单元：离散时间系统的三种基本网络单元：相加器相加器乘以系数乘以系数单位延迟单位延迟例：因果系统例：因果系统 ，建立，建立该系统的方框图表示该系统

26、的方框图表示nbxnayny1例：因果系统例：因果系统 ，建立，建立该系统的方框图表示，首先：该系统的方框图表示，首先：nbxnayny11naynbxnynxbaDny 2. 连续时间系统的基本网络单元连续时间系统的基本网络单元相加器相加器乘以系数乘以系数微分器微分器积分器积分器 但由于微分器不仅在工程实现上有困难，但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对误差及噪声极为灵敏，因此，工程上而且对误差及噪声极为灵敏，因此，工程上通常使用积分器而不用微分器。通常使用积分器而不用微分器。)()()(tbxtaydttdy例：已知因果系统例：已知因果系统 ，确定该系统的方框图表示。确定该系统的方框图

27、表示。tdaybxty)()()( 在第一章介绍单位冲激时，采用极限的在第一章介绍单位冲激时，采用极限的观点，将观点，将 视为视为 在在 时的极限。时的极限。这种定义或描述这种定义或描述 的方法在数学上仍然是的方法在数学上仍然是不严格的，因为可以有许多不同函数在不严格的，因为可以有许多不同函数在 时都表现为与时都表现为与 有相同的特性。有相同的特性。( ) t( ) t0( ) t0( ) t2.5 奇异函数奇异函数（Singularity function） 例如例如: :以下信号的面积都等于以下信号的面积都等于1 1，而且，而且时，它们的极限都表现为单位冲激时，它们的极限都表现为单位冲激。

28、0 01t( ) t021t( )( )( )r ttt0241t( )( )r tr t 之所以产生这种现象，是因为之所以产生这种现象，是因为 是一个是一个理想化的非常规函数，被称为理想化的非常规函数，被称为奇异函数奇异函数。通。通常采用在卷积或积分运算下函数所表现的特常采用在卷积或积分运算下函数所表现的特性来定义奇异函数。性来定义奇异函数。( ) t一一. . 通过卷积定义通过卷积定义( ) t定义定义 为一个信号，对任何为一个信号，对任何 信号有：信号有： ( ) t( )( )( )x tx tt( ) t 根据定义可以得出根据定义可以得出 的如下性质：的如下性质： ( ) t 根据上述定义可以得出根据上述定义可以得出 的如下性质：的如下性质： 00( )( )( )( )( )( )()( )()x ttx ttttt ttt t 当当 时，有时，有( )1x t ( )( )() ( )( )1x ttx tdd ( )1t dt1)(0dttt 此式即可作为在积分运算下此式即可作为在积分运算下 的的定义式。定义式。( ) t 采样性：采样性： 原点采样公式原点采样公式 )0()()0()()0()()(xdttxdtt