复变函数柯西积分公式

1、第三节第三节 柯西积分公式柯西积分公式 一、问题的提出一、问题的提出二、柯西积分公式二、柯西积分公式三、典型例题三、典型例题第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 2一、问题的提出一、问题的提出 . , 0中一点为为一单连通域设DzD ,d)( 0 Czzzzf一般不为零一般不为零所以所以 .)( , )( 00不解析在那末内解析在如果zzzzfDzf根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变的变化而改变, 求这个值求这个值. .0的闭曲线内围绕为zDC3, , 00 zzzC的正向圆周的正向圆周半径为很小的半径为很小的为中心为中心取作以

2、取作以积分曲线积分曲线 , )( 的连续性的连续性由由zf , )( 0处的值处的值接近于它在圆心接近于它在圆心的缩小而逐渐的缩小而逐渐的值将随着的值将随着上函数上函数在在zzfC )(.d)( d)(000缩小缩小将接近于将接近于 CCzzzzfzzzzf Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 4二、柯西积分公式二、柯西积分公式定理定理3.7CzzzzfizfzCDDDCzf.d)(21)( , D , )( 000那末则有内任意一点为上连续，在内处处解析域围成的区在简单闭曲线如果函数D 0zC证证 , )( 0连续连续在在因为因为zzf, 0 则则, 0)( 5D

3、 0zCK , 0时时当当 zz . )()(0 zfzf, :)( , 00的内部的内部全在全在的正向圆周的正向圆周半径为半径为为中心为中心设以设以CRzzKRRz Czzzzfd)( 0则则 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000 Kzzzzfzfzifd)()()(2000闭路变形原理闭路变形原理6 Kszzzfzfd)()(00.2d KsR证毕证毕 Czzzzfizfd)(21)(00柯西积分公式柯西积分公式柯西介绍柯西介绍 Kzzzzfzfd)()(00Czifdzzzzf)(2)(00.27关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明: :(1

4、) 把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的值表示值表示. (这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分而且给出了解析函数的一个积分表达式表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具) dzfizfC )(21)()(2)(zifdzfC 或者或者8(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值的平均值., 0 ieRzzC 是圆周是圆周如果如果.d)(2

5、1)(2000 ieRzfzf9三、典型例题三、典型例题例例1 1解解 （1） 44.d3211)2(;dsin21(1) zzzzzzzzi求下列积分求下列积分 , sin)( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zzf , 4 0内内位于位于 zz 4dsin21zzzzi; 0 由柯西积分公式由柯西积分公式0sin221 zzii10 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 11例例2 2 2.d1 zzzze计算积分计算积分解解 , )( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zezf , 2 1内内位于位于 zz由柯西积分公式由柯西积分公式12

6、2d1 zzzzeizze.2ie 12例例3 3.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 内解析内解析在在因为因为 izzf,0iz 由柯西积分公式由柯西积分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii . i 13例例4 4;211 (1): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 14例例5 5;211 (2): ,d14sin

7、2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解15 22d14sin)3(zzzz由闭路复合定理由闭路复合定理, 得得例例6 6. 2 (3): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解解 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 16从以上几个例子我们可知：从以上几个例子我们可知：在求上述类型的复积分时，我们需要注意：在求上述类型的复积分时，我们需要注意： 分析被积函数，谁是分析被积函数，谁是 谁是谁是 .)(

8、zf0z17柯西积分公式的重要性柯西积分公式的重要性 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西它的证明基于柯西古萨基本定理古萨基本定理, 它的重要性它的重要性在于在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函所以它是研究解析函数的重要工具数的重要工具. Czzzzfizf.d)(21)(00柯西积分公式柯西积分公式:18同样的，我们也可以把它推广到多连通区域上。同样的，我们也可以把它推广到多连通区域上。dzzzzfidzzzzfizfCC210

9、00)(21)(21)(为为D D的的一一点点，则则有有z z的的内内部部, ,在在且且连连续续到到边边界界，且且曲曲线线二二连连通通区区域域D D内内解解析析并并所所围围成成的的在在由由简简单单闭闭曲曲线线推推论论2 2设设函函数数0 01221,)(CCCCzf19四、解析函数的最大模原理四、解析函数的最大模原理没没有有最最大大值值. .常常数数，则则在在D D内内不不是是在在区区域域D D内内解解析析，又又定定理理3 3. .8 8设设函函数数)()()(zfzfzf结论成立.结论成立.则定理的则定理的如果如果证明：记证明：记,)(max MMzfDz含于D内就成立着含于D内就成立着只要

10、圆盘只要圆盘式),式),则有推论1(平均值公则有推论1(平均值公使得使得一个点z一个点z用反证法.如果D内有用反证法.如果D内有设设0 0RzzMzf 00,)(,M20 drezfzfi 2000)(21)()0(Rr 于是于是MdrezfzfMi 2000)(21)(由此推出由此推出Mdrezfi 200)(21.)(MzfR 内内z z- -z z可以证明在可以证明在于是,于是,0 0故故内内连连续续, ,在在由由于于使使故故存存在在使使就就有有一一点点因因为为，若若不不然然, ,RzzzfMzfMzfRrerzzi 00)(,)(0,)()0( 21上连续,上连续,在圆周在圆周0rzz

11、 时，有时，有使当使当于是存在于是存在 0，2)()(00 iierzferzf从而有从而有2)(0 Merzfi于是有下面的估计式于是有下面的估计式 derzfzfi 2000)(21)(22 derzfi)(210 derzfi ,2,00)(21MMM )()2(内成立.内成立.在在相矛盾，所以相矛盾，所以这与这与RzzMzfMzf 000)()(23 iMezfMRzzzfzf )(,)()(0记记为为一一常常数数，其其模模为为内内为为在在可可知知在在D D内内为为解解析析, ,再再由由.)(为为常常数数个个D D内内利利用用这这个个结结果果证证明明在在整整zf使使得得依依次次插插入入

12、分分点点到到在在l l上上从从和和折折线线l l连连接接在在D D内内有有一一条条的的连连通通性性, ,是是D D内内任任意意一一点点，由由D D设设z z* *，*210*0*0,zzzzzzzzzn dzzkk 124含含点点一一定定含含于于D D内内，并并且且包包则则每每个个圆圆盘盘dzzk 而而内内由由上上面面结结果果可可知知在在,)(,01 ikMezfdzzz 的的再由z再由z依次证明,依次证明,有有在此圆盘内,在此圆盘内,z z* *1 1， iMezf )(1但这与原来给定但这与原来给定任意性，知在D内有任意性，知在D内有,)( iMezf 没没有有最最大大值值. .内内不不为

13、为常常数数矛矛盾盾，故故在在的的)()(zfDzf25推论推论1：在区域内：在区域内D解析的函数，若其模在区域解析的函数，若其模在区域D内点达到最大值，则此函数必为常数。内点达到最大值，则此函数必为常数。大模.大模.必在D的边界上达到最必在D的边界上达到最续，则续，则上连上连并且在并且在在有界区域D内解析，在有界区域D内解析，推论2：若推论2：若)()(zfDzf关于定理的几个等价命题关于定理的几个等价命题26 在流体力学上最大模原理反映了平面稳定在流体力学上最大模原理反映了平面稳定流动在无源无旋的区域内流速的最大值不能在流动在无源无旋的区域内流速的最大值不能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是等速流动。等速流动。最大模原理的应用最大模原理的应用27任任意意的的在在全全平平面面上上解解析析，又又对对设设函函数数)(zf上上解解析析, ,在在证证明明：因因为为对对于于任任