代数方程与最优化问题的计算机求解

1、高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 第6章代数方程与最优化问题的计代数方程与最优化问题的计算机求解算机求解高等应用数学问题的MATLAB求解清华大学出版社2008CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 第第6章章 代数方程与最优代数方程与最优化问题的计算机求解化问题的计算机求解代数方程的求解无约束最优化问题求解有约束最优化问题的计算机求

2、解混合整数规划问题的计算机求解线性矩阵不等式问题求解多目标优化问题求解动态规划及其在路径规划中的应用高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.1 代数方程的求解代数方程的求解代数方程的图解法多项式型方程的准解析解法一般非线性方程数值解非线性矩阵方程求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.1.1 代数方程的图解法代数方程的图解法一元方程的图解法二元方程的图解法高等应用数

3、学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.1.1.1 一元方程的图解法一元方程的图解法用ezplot()函数可以绘制出给定的隐函数 曲线，所以可以用图解法从给出的曲线和 线的交点上读出所有的实数解。高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.1用图解法求解方程：MATLAB求解命令证明：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2

4、021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.1.1.2 二元方程的图解法二元方程的图解法使用ezplot()函数将所有的方程都画出来，得出曲线后就可以通过读取交点坐标的方式得出联立方程的根高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.2用图解法求解联立方程：画第一个函数：画第二个函数：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.1.2 多项式型方程的准解析解

5、法多项式型方程的准解析解法特殊的高阶方程如多项式型方程，可以被求解出Abel-Ruffini定理证明5阶以上的多项式型方程没有解析解一般的数值算法得出的解不精确得出高精度解的方法存在很多方程可以转换成多项式方程高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.3试用图解方法求解二元方程MATLAB求解命令：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 求解多项式型方程的函数调用格式最

6、简调用方式直接得出根指定变量高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.4使用solve()函数求解MATLAB求解命令：证明：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.5试求解MATLAB求解命令：证明：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 最后一个式

7、子改写成MATLAB求解命令：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.6试求解MATLAB求解命令：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 证明：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.7试求解带有参数的方程MATLAB求解命令：高等应用数学问题的M

8、ATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.1.3 一般非线性方程数值解一般非线性方程数值解求出已知多元方程的一个实数根的函数调用格式最简求解语句一般求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 选择方法和修改控制精度的函数调用格式获得默认的常用变量设置控制参数或 高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6,

9、13:09:29 求解数值代数方程组的步骤求解数值代数方程组的步骤设置变量，使等式变成如下所示按如下方式描述等式M-函数匿名函数Inline函数，不推荐使用求解方程组 检验阶的正确性高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.8Lambert 函数 ， 是变量， 是方程 的解， 对不同的 ，求解 然后绘制 求解策略和过程使用for循环使用匿名函数描述生成w向量绘制函数曲线MATLAB求解语句：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/1

10、9/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB表述直接求解，使用lambertw函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.9数值方法求解选择变量 把原始常微分方程组(ODEs)变为变成矩阵形式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 描述方程的方法描述方程的方法 M-函数匿名函数Inline函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息

11、学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 当初值选为当使用另一个搜索初始点注意：选择不同的初值可以得出不同的结果高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.10数值方法解使用solve()函数：使用图解法求初始值：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 重新设置相关精度的控制变量所期望的精度可能无法达到然而，在

12、算精度制下的最好结果可以得到高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.1.4 非线性矩阵方程求解非线性矩阵方程求解Riccati 方程（第4章）更多的非线性矩阵方程，例如，广义Riccati方程类Riccati方程还有很多很多的矩阵方程高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 函数fsolve()只能求解出 ，而不是 ，其中， 是向量不是矩阵将矩阵方程转换成向量方程向量转换成矩

13、阵 数学表述 MATLAB表述矩阵转换成向量数学表述MATLAB表述Riccati方程求解方程求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 以向量的形式描述Riccati方程的残差求解Riccati方程的新函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.11求解下列Riccati方程组： 其中高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)1

14、1/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 are() 函数可能会得出一个解重新使用MATLAB命令：另一个解：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.12给定其中 求出并检验全部的根高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 对于类Riccati方程另一个M-函数另一个矩阵方程求解函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide

15、1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 重新使用MATLAB命令注意：有些解可能很难得到，需要反复调用多次上述函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 已通过检验的可能解 高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.2 无约束最优化问题求解无约束最优化问题求解解析解法和图解法基于MATLAB的数值解法全局最优解与局部最优解利用梯

16、度求解最优化问题带有变量边界约束的最优化问题求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 无约束最小化问题的数学描述目标函数是一个标量函数向量 决定变量， 或优化变量物理意义：求取一组 向量，使得最优化目标函数 为最小最大化问题 数学描述数学描述高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.2.1 解析解法和图解法解析解法和图解法无约束最优化问题的必要条件：其中， 是最优点方程的求

17、解可能会更难，有时可能需要二阶导数运算高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.13研究下式的最优性绘制函数 的一阶导数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 求一阶导数为零的点，并验证二阶导数为正高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.2.2 基于基于MA

18、TLAB的数值解法的数值解法得出数值解的函数调用格式最简求解语句或一般求解格式或高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 描述目标函数M-函数匿名函数Inline函数（不推荐使用）在匿名函数或inline函数中无法使用中间变量高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.14给定 ，求其最小值 使用函数fminsearch()：使用函数fminunc()：高等应用数学问题的M

19、ATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 绘制出搜索过程中间点的轨线：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 结果：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.2.3 全局最优解与局部最优解全局最优解与局部最优解最小值存在的必要条件是使用搜索方法，从初始值出发，可能找到唯一的一个这样的点，它

20、是全局最小值高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.15给定 观察不同的初值得出的最小值构造目标函数初值是高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 初值是 在 内的曲线： 在 内的曲线高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.2.4 利用梯度求解最优化问题利用

21、梯度求解最优化问题有时，仅利用目标函数提供的信息，很难得到最优解。这是由于求解最优化问题收敛速度一般较慢，尤其是变量较多的最优化问题可以利用梯度信息解决上述问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.16求 Rosenbrock 函数的无约束最优化问题绘制三维等高线图：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 无梯度信息求梯度矩阵：高等应用数学问题的MATLAB求解东北

22、大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 编写目标函数：求解最优化问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.2.5 带有变量边界约带有变量边界约束的最优化问题求解束的最优化问题求解带有变量边界约束的最优化问题的数学描述 其中，符号s.t. 表示 subject toJohn DErrico, fminsearchbnd()函数在随书光盘中给出高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (o

23、f 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 带有变量边界约束的最优化问题求解的语句调用格式最简求解语句 一般求解格式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.17求解Rosenbrock问题其中， 和 MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.3 有约束最优化有约束最优化问题的计算机求解问题的计算机求解约束条件与

24、可行解区域线性规划问题的计算机求解二次型规划的求解一般非线性规划问题的求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.3.1 约束条件与可行解区域约束条件与可行解区域有约束非线性最优化问题的一般描述为其中，所有的 满足约束条件该范围称为可行解区域高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.18图解方法求解：目标函数描述可行解区域描述高等应用数学问题的MATLAB求解东北大

25、学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 可行区域图解说明可行区域图解说明高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.3.2 线性规划问题的计算机求解线性规划问题的计算机求解线性规划(LP)问题的一般数学描述为所有都是线性的注意，约束的标准形式 高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 求解LP问题的函数调用格式

26、高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.19试求解下面的线性规划问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB求解语句：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.20求解下列LP问题：先将原问题转换为最小值问题高等应用数学问题的MATLAB求

27、解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB求解命令高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.21是求解下列LP问题双下标描述高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 将原问题转换成单下标自变量原问题改写成高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)1

28、1/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB求解命令高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.3.3 二次型规划的求解二次型规划的求解一般二次型规划问题的数学表示为首先建立矩阵表述高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 求解二次型规划问题的函数调用格式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19

29、/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.22试求解下面的四元二次型规划问题首先求出相关矩阵形式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 展开目标函数得写成矩阵形式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB求解语句其中，忽略了常数30高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六,

30、2008-9- 6, 13:09:29 6.3.4 一般非线性规划问题的求解一般非线性规划问题的求解一般非线性规划问题其中，物理解释：在给出的约束条件下，找出向量 ，使目标函数达到最小值高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 简化描述求解出非线性规划问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.23试求解下面非线性规划问题为目标函数和约束函数编辑M-函数，后者返回两个变

31、量高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 编辑非线性约束函数编辑目标函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 使用函数fmincon()求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 简化非线性约束条件函数：求出结果：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Sl

32、ide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.24利用梯度信息求解如下问题，并比较结果 高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 推导Jacobian矩阵编写目标函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 使用函数fmincon()得出结果高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)1

33、1/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.4 混合整数规划混合整数规划问题的计算机求解问题的计算机求解整数线性规划问题的求解一般非线性整数规划问题与求解0-1规划问题求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.4.1 整数线性规划问题的求解整数线性规划问题的求解整数线性规划的一般数学描述其中， 为变量 的子集高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:2

34、9 求解整数线性规划问题的函数调用格式该免费工具箱，可以由MathWorks公司网站下载，也可以由本书光盘得出当前版本的ipslv_mex()函数不能用于低于MATLAB 7.*的版本高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 求解下列线性整数规划问题，其中，各个变量全为整数例例 6.25高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB求解命令高等应用数学问题的MATLAB求解

35、东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 采用穷举算法，假定 的各个元素均为20高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 得出次最优解混合整数规划问题，要求 为整数，其他两个变量为任意数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.4.2一般非线性整一般非线性整数规划问题与求解数规划问题与求解分枝定界算法是一

36、种最常用的处理非线性整数规划或混合规划问题的算法免费工具箱由 Mr.Keort Kuipers提供 该工具箱也附在由随书光盘上在MATLAB R2008a 中，薛定宇老师对其进行了简单的修改高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 函数调用格式向量 表示变量 必须是整数，当 表示变量可以是实数fun变量要是一个被引用的文件名，而不能是.的形式如果err返回空，则求解成功高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-

37、9- 6, 13:09:29 补丁语句调用前 调用后，截断多余的数字高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.26假定 , 使用函数bnb20()求解线性整数规划问题(ILP)编辑目标函数（不要编辑非匿名函数）高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 求解出 ILPerrmsg是空，求解成功高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)1

38、1/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 如果要求 为整数，其他两个变量为任意数，则高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 穷举法小结穷举法小结优点保证得出全局最优值除了最优值，还可以得出次最优值对于小规模问题，求解简便缺点带来很重的计算负担和极大的内存使用不可能求解大型甚至中型问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.27求出修改的Ros

39、enbrock问题其中，并且 是整数目标函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB求解语句：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 选择区间 给定区间 ，使用穷举法高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.4.3 0-1规划问题求解规划问题求解0-1线性

40、规划问题MATLAB求解函数0-1非线性规划问题，使用函数bnb20()将下界定义一个全为0的向量将上界定义一个全为1的向量直接使用函数bnb20()高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.28求解0-1线性规划问题MATLAB求解语句：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 枚举方法高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11

41、/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.29运用函数bnb20()求解下列问题构造目标函数：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB求解语句：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.5 线性矩阵不等式问题求解线性矩阵不等式问题求解线性矩阵不等式的一般描述Lyapunov不等式线性矩阵不等式问题分类线性矩阵不等式问题的MATLA

42、B求解基于YALMIP工具箱的最优化求解方法高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.5.1 线性矩阵不等式的一般描述线性矩阵不等式的一般描述线性矩阵不等式(LMI)的数学描述其中， 为多项式系数向量，又称为决策向量， 为实对称矩阵或复Hermit矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 如果LMI矩阵 是负定矩阵，那么解 是凸集其中，多个线性矩阵不等式 可以合并成单一的线

43、性矩阵不等式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.5.2 Lyapunov不等式不等式Lyapunov不等式的数学描述 其中， 是对称矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 构造MATLAB函数求取高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 接上页函数调用格式：高

44、等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.30给定试求出其线性矩阵不等式表示。对于 矩阵，写出相应的线性矩阵不等式MATLAB求解语句：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 对于X 矩阵线性矩阵不等式形式的数学描述高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 对于 的

45、符号矩阵结果：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 给定分块矩阵其中， 是方阵，那么，下述三种况等价Schur补性质补性质高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 数学描述其中，原非线性不等式可以等价地变换成下述线性矩阵不等式代数代数Riccati不等式不等式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-

46、9- 6, 13:09:29 6.5.3 线性矩阵不等式问题分类线性矩阵不等式问题分类可行解问题可行解问题实际上就是求下述的解其中要找到最小值 如果找到的 ，则得出的解是原问题的可行解，否则会提示无法找到可行解。高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 线性目标函数最优化问题给定这样的问题可以用普通的线性规划方法求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 广义特征值最优化问题广义

47、特征值问题可以视为线性矩阵不等式问题的最一般的问题.表达式由该式演化可以得到更一般的不等式其中， 是矩阵的广义特征值归纳出下面的最优化问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.5.4 线性矩阵不等式线性矩阵不等式问题的问题的MATLAB求解求解用MATLAB描述线性矩阵不等式创建LMI模型定义需要求解的变量其中， 是未知矩阵类型的标记高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29

48、 描述分块形式给出线性矩阵不等式 其中通常，该项是 APB如果 , 那么 k=-k如果flag=s,该项是 如果该项是常数，那么P=0，并且忽略B完成LMI模型描述高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 求解LMI问题可行解问题线性目标函数问题广义特征值问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.31给定 对于Riccati不等式试求出该不等式的一个正定可行解高等应用

49、数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB求解语句：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.5.5 基于基于YALMIP工工具箱的最优化求解方法具箱的最优化求解方法YALMIP(yet another LMIpackage)由瑞典Linkping 大学电子工程专业的Johan Lfberg博士开发, johanlisy.liu.se现在，它以成为最优化问题建模和求解的一种

50、简便求解方法接近数学形式本书的随书光盘附带最新的版本高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 决策变量的声明对称矩阵长方形矩阵整数变量二项形式其它形式，例如Hankel矩阵，hankel()高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 约束可以通过 来声明最优化问题求解求解可行解问题求解目标函数的最优化问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)

51、11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 允许设定选项，如算法选择提取得出的解矩阵高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.32给定 使用YALMIP工具箱求解Riccati不等式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB求解命令比使用鲁棒控制工具箱(RCT)更方便高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (

52、of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.33求解线性规划问题MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 假设决策变量是整数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.34对于线性系统其中 高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008

53、-9- 6, 13:09:29 采用LMI方法也可以求解系统的范数，其数学描述为 求解线性系统模型的 范数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB求解命令：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.6 多目标优化问题求解多目标优化问题求解多目标优化模型无约束多目标函数的最小二乘求解多目标问题转换为单目标问题求解多目标优化问题的Pareto解集极小极大问题求解目标规

54、划问题求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.6.1 多目标优化模型多目标优化模型多目标最优化问题的一般表示为其中，高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.35 三种糖果，单价每公斤4，2.8和2.4元，买糖果不超过20元，总量不得少于6公斤， 和 不得少于3公斤，设计方案设 购买量为 公斤，则高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1

55、(of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.6.2 无约束多目标无约束多目标函数的最小二乘求解函数的最小二乘求解设目标函数将其转换成单目标问题MATLAB函数调用格式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.36求解下面无约束非线性多目标规划问题的最小二乘解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB求解语句使用函数f

56、mincon()高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.6.3 多目标问题转多目标问题转换为单目标问题求解换为单目标问题求解线性加权变换及求解线性规划问题的最佳妥协解线性规划问题的最小二乘解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.6.3.1 线性加权变换及求解线性加权变换及求解单目标优化算法不能直接由于求解多目标优化问题，需要将其变换成单目标优化问题线性加权变换的数学描

57、述其中， 且高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.37重新考虑例6.35，求解如下最优化问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 不同加权系数下的方案高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 不同加权系数下的最优方案高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学

58、信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.6.3.2 线性规划线性规划问题的最佳妥协解问题的最佳妥协解特殊的线性规划数学描述目标函数不是一个向量，而是一个矩阵每一个目标函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 最佳妥协解的求解步骤如下单独求解每个单目标函数的最优化问题，得出最优解通过规范化构造单独的目标函数最佳妥协解变换成单目标线性规划高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)

59、11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 最佳妥协解（最大值）的求解程序高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 例例 6.38重新考虑例6.35，求解如下最优化问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB求解语句：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9-

60、6, 13:09:29 例例 6.39求解如下最优化问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 MATLAB求解语句：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/2021星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 6.6.3.3 线性规划线性规划问题的最小二乘解问题的最小二乘解多目标线性规划问题的最小二乘表示则最小二乘解可以由函数直接得出高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 11)11/19/20