《连续体力学》习题及解答(1)

1、.因此 (a)*;图4-1(2) 为坐标原点(球心)，取单位球面，采用球坐标(图4-1)，则的分量分别为 (b)在各个方向上的平均值可表示为将式(a)、(b)代入上式，为单位球面面积，经运算后，可得 注意到则易于证明 4-9 设上取驻值，证明 并用Cauchy应力的驻值。又在的主方向坐标系内，证明下式成立。 解 (1) 求记为Lagrange乘子。求的极值等价于即应满足 (a)式(a)表明，的主值。由式(a)可求出的驻值为 (b)上式表明，有三个驻值，分别等的三个主应力。这反过来又说明了Cauchy应力的主应力是法向应力的驻值。 由式(a)和(b)又可看出 (2) 在，于是记，则有 (c)再结

2、合，则可由式(c)解出证毕。根据以上三式，可在平面上作出三个圆，即应力圆。 4-10 设方向的应力矢，证明方向的分量等于方向的分量。 解 已知点处的Cauchy应力张量。于是由于。证毕。 4-11 设变形体内任一点处的Cauchy应力张量的分量矩阵为试求切于圆柱面且过点的截面上的应力矢、的主应力和主方向。 解 将为在点，圆柱面的梯度为因此过点切于圆柱面的截面方向。于是过该点切于圆柱面的截面上的应力矢为 主应力由解下列特征方程求得式中，代入上式可解出分别将主应力代入下式并与联立求解，可分别求出对应于主应力的主方向，如下易证相互正交。 4-12 设点处Cauchy应力张量为不变的单位矢。如果是自我

3、平衡的，证明 (1) (2) 方向的剪应力的平方为 (3) 解 (1) 自我平衡，故有即。 (2) 于是所以 (3) 因为，则由上面的结果可得式中，所以 4-13 如果物体，且处于平衡状态；证明 (1) Cauchy应力张量的平均为可表示为式中。 (2) 若在。 (3) 若在均为不变的，则 解 平衡方程为上式遍乘上式可写成其中内积分上式，并应用Green公式，得到式中是应力矢在的方向的分量。将上式的指标对换，并注意到，于是可得或者写成 (a)证毕。 (2) 在时，式(a)简化为()所以 (b) (3) 在式(a)简化为(，为常数及)即证毕。 4-14 偶应力理论认为，在任一物质面元上，不仅作用

4、有应力矢，而且有偶应力矢是二阶偶应力张量。设单位质量的体力和体力偶分别为；物体处于平衡状态。证明，线动量守恒方程的局部形式为 (a)角动量守恒方程的局部形式为 (b) 解 在线动量守恒方程中，不涉及偶应力等，因此与没有偶应力存在的情况相同，所以在相关的Euler型运动方程中令便得到式(a)。 角动量守恒可表示为(对坐标原点取角动量) (c)其中因为；将上列结果代回式(a)，得到其局部形式即式(b)。 4-15 设杆件在参考构形内长为作用下伸长变形，变形后长为。物质和空间坐标系重合，试求名义应力及Kirchhoff应力沿杆长的分量。 解 在现时构形中，Cauchy应力分量为，其余为零；此处是采用

5、笛卡尔坐标系，是变形后杆中轴向单位面积上的内力，是实际存在的应力，有时称为真应力。 已知。于是上列应力常称为名义应力。 又按，有已经没有原来应力(内力集度)的意义，故有时称为伪应力。根据以上分析结果，人们有时将分别称为真应力张量、名义应力张量及伪应力张量。 4-16 试根据直接导出 (a) 解 首先由 (b) 其次其中用到了式(b)及。将上列结果代入注意到，就得到式(a)。 4-17 试从现时构形上的运动方程，导出 解 已知遍乘现时构形上的运动方程，得到 (a)式中，类似地=；以及于是式(a)可写成 (b)又已知，所以式(b)可写成证毕。提示：在以上的运算中，作为一个矢量先同进行运算，不是对后

6、面的量加括号时，表示将算子作用于括号中的场量，即对该场量求导。 例如： 4-18 某物体在参考构形内的体积为。当物体处于平衡状态时，证明 (1) (2) (3) 式中是参考构形内的面元。 解 (1) ，于是 (2) ，于是由于物体处于平衡状态，所以提示，还可如下推导。 (a) (3) 已得，则 (b)于是采用与上面类似的推导过程，可得提示，式(b)也可如下导出或者4-19 试推导用三种应力表述的变率型运动方程，设参考和瞬时构形的坐标系重合。 解 首先推导三种应力变率之间的关系。记的物质时间导数。于是由可得 (1)由上式可解出 (2)又由，可得 (3)由上式可解出 (4)此处用到了。 再由，可得

7、 (5)由上式可解得 (6) 下面讨论一个特殊情况，即现时构形与参考构形重合，于是，字母指标可一律采用小写(或大写)字母，以及。或者换一种更一般的说法，设采用流动参考构形，则都是相对于流动参考构形定义的。讨论瞬时构形与流动参考构形重合的特殊情况，即，。在式(1)到(6)中将等，就得到相应的(简化)公式 (7) 下面推导率型运动方程。在时刻，Lagrange型运动方程分别是注意，此处的是与时间无关的。将以上两式相减，且除以，将得到 (8)式(8)是对时刻的构形建立的，其中已省去了场量。这是对于应力建立的率型运动方程。 将式(1)代入式(8)，将得到对应力建立的率型运动方程 (9)式(8)和(9)

8、的分量式分别为 (10)式中用到了。 Cauchy应力的率型运动方程是在时刻的构形内建立的，实质上它可看成是以时刻的构形为流动参考构形，并令瞬时构形与流动参考构形重合所得到的结果。为此，在式(8)和(9)中，以等，以，再将式(7)代入式(8)或等价地式(9)，就得到对应力建立的率型运动方程 (11)上式是数值分析中的重要公式。 式(11)也可值接导出如下，Euler型运动方程为此处，分别建立时刻的运动方程，再令两式相减，得到以，得到 (a)式中是空间时间导数，它与物质时间导数有如下的关系于是式(a)可写作 (b)式中根据Euler型运动方程，上式右侧一、三项之和为零。而将以上有关结果代入式(b

9、)，得到 (c)可以证明这可用分量式证明如下上式的直接记法为于是式(c)最后变为此即式(11)。 式(11)还可如下推导，注意到则Euler型运动方程可写成对上式求物质时间导数，得到 (d)式中可以证明实际上，的分量表示为其直接表示式为于是将以上有关式代入式(d)，并注意到，我们又得到式(c)，从而可得到式(11)。 提示，此处及以下都不考虑应力变率的客观性问题。 4-20 试推导应力率边界条件 解 设以为参考构形内物体边界的单位法线矢，则用表示的应力边界条件为或者式中是沿坐标轴方向的给定的应力分量。于是有 (a) 如果要用Cauchy应力表示应力率型边界条件，情况将稍复杂些。应力矢为瞬时构形

10、内物体边界的法线矢，它也是随时间而变化的。于是有式中(可由式3-6-6及3-7-6以及导出)最后得到 (b) 4-21 试推导Cauchy应力增量和Kirchhoff应力增量的表达式。 解 Cauchy应力是在瞬时构形内定义的(真实的)应力，与参考构形无关，同时，我们是采用固定的标准正交基，它不随时间而变化；因此有 (a) Kirchhoff应力与参考构形有关，因此它的增量，亦如Green应变的增量，有两种描述方法。下面将时刻步。为书写简单计，以下将记作，等等。 TLD法。此法始终相对于(固定的)参考构形进行计算。取时的构形为固定参考构形，质点的位矢为时刻质点的位矢为。于是有 (b)式中Cau

11、chy应力分别为由以上两式相减得到 (c)式中当为小量时，式中。于是 (d)上式是的线性化表达式。将式(d)代入式(c)，并注意到此处的线性化表达式又注意到上式最后可写成 (e)此式与习题4-19中的表达式(式6)是一致的。 ULD法。以时刻的构形为流动参考构形，因此，在上面的结果中，将改为、。于是由上面的式(c)可得或者 (7)当都属小量时，有亦为小量，这时于是在略去二阶小量后，由式(f)可得到的线性化公式 (g)上式与习题4-19中的式(7)一致；但应注意在式(7)中，有，及。 下面进一步分析TLD法中和ULD法中之间的关系。此时式(f)可写作()按TLD法，有下列关系将上列后一式中的代入

12、前一式，并注意到经运算后得到 (h)或 (i) 4-22 试推导用名义应力和Kirchhoff应力表示的虚功原理(虚位移原理)和虚功率原理(虚速度原理)。解 设处于平衡(或满足运动方程)的物体具有应力，作用于物体的外力和惯性力为。物体在参考和现时构形的体积分别为是任意的小量，且在给定位移的边界。于是外力在上所作的虚功为式中，所以上式中的面积分只在上进行。其中于是外虚功为应用运动方程及，最后得到(注意=) (a)式(a)是用名义应力表述的虚功原理，它是在物体满足运动方程的条件下建立的。反过来，如果式(a)成立，则将上式代入式(a)，得到(注意在)位移的变分是任意的，由上式可得到这表明，如果物体的

13、应力和外力满足虚功原理(式a)，则它满足运动方程和应力边界条件。 类似地在现时构形上可建立用Cauchy应力表述的虚功原理 (b) 在式(a)中，令，于是注意到是对称张量，因此有于是由式(a)可以得到用Kirchhoff应力表述的虚功原理如下 (c)式中 如果在虚功原理中，用虚速度是任意选取的虚速度场(或称为速度的变分)，但在，则可导出虚功率(或虚速度)原理，其推导过程与虚功原理类似。但速度是现时构形内的场量，所以(在上)对应于。考虑到于是可以分别得到用Cauchy应力和Kirchhoff应力表述的虚功率原理如下： (d) (e) (f) 考虑到于是式中，称为带权的Cauchy应力，有人也称为

14、Kirchhoff应力。于是式(d)又可写成 (g) 4-23 试推导虚功率变率原理 解 在虚功率原理(上题的式d、e、f)中，是任意给定与时间无关的虚速度场，同时虚功率原理在任何时刻都成立，因此它们对时间的物质导数亦成立，即有 (a) (b) (c) 在进一步求积分的物质时间导数时，要用到以下各式及 于是有式中 将上列各式代回式(a)，得到 (d) 在式(b)中，有。于是由式(b)可直接得到 (e) 在式(c)中，有所以于是式(c)可写成 (f)式(d)、(e)、(f)分别是用表述的虚功率变率原理。 4-24 试推导功率平衡方程 解 在一般教材中已经介绍了机械能守恒方程。此处将从虚功率原理导

15、出这个方程，又称为功率平衡方程。 设在现时构形内，物体的体积为而在参考构形内，它们分别记为，于是物体的总动能表示为应变能率可表示为记外功率为 令质点的速度为虚速度，于是习题4-22中三种表述方法的虚功率原理可统一写成 (a)上式就是机械能守恒方程或称为功率平衡方程。如果体积力有势，即存在一个势函，使得则记又如果(a)简化为 (b)式(b)称为总机械能守恒方程。 4-25 证明 解 在习题4-19中，已经导出(该题式1)于是由于的对称部分为所以有或者证毕。 4-26 设线弹性体处于平衡状态，且设体积力为零，在给定位移的边界上，上，只承受集中力作用。证明下式成立式中是物体的总余应变能率的变分。 解

16、 设给予物体一虚应力场，则外虚余功率为在推导此式时，已用到(因为体力为零)。由于表面力为集中力，因此或者上式是结构力学中常用的Castigliano定理。 4-27 Lagrange型应变张量为为整数。证明 解 按定义对上式求物质时间导数，得或者而，代回上式，最后得到 4-28 证明 (a) 解 根据共轭对的定义，有式中于是上式对任何的都成立，由此得到将上式两侧分别前乘和后乘，然后相减，就得到式(a)。 显然，由上题的结果为负整数时的相应公式。但这些公式不适用于的情况(见下题)。 4-29 推导的关系式 解 由，不难得到由上式不难求得显然在上题所得公式中，令，则可得到上式，因此上题的式(a)适

17、用于为任何整数。 4-30 推导下列公式 (a)式中。 解 可以按两个途径导出式(a) (1) (b)于是将上式代入式(b)，由于是任意的，可得但上式可写成证毕。 (2) 已知 (c)式中，代入式(c)，并注意到这是因为为反称的。于是式(c)可简化成注意到的反称系数不能确定，于是由上式只能确定对称的系数，即这表明的对称部分，常称为Biot应力张量，有些作者则称为Jaumann应力张量。 4-31 证明对于所有的正整数，有下式并导出用在Lagrange主轴的剪切分量。 解 已知(参见习题4-28) (a)当，代回式(a)，得到 (b)式中，于是式(b)又可写成证毕。 在Lagrange主轴的分量

18、式为设于是有在上式中令上的分量式。将这些分量式代入式(a)，可得由上式可得。 4-32 设，此处是Lagrange主轴，是固定的标准正交基，使得证明 (1)式中， (2) 解 (1) 由。于是式中于是有 (a)证毕。 (2) 由及可得上式右侧第一项是两个对称部分的双点乘，第二项是两个反称部分的双点乘。事实上，将该项展开，得到其中及。于是最后得到 (b) 现在分析式(a)，它的右侧第一项是两个反称部分的双点乘，第二项是两个对称部分的双点乘。由于式(a)和(b)中的对称和反称部分彼此独立，所以在式(a)和(b)中对称部分和反称部分应分别相等，由此得到证毕。 4-33 证明 (1) (2) 功共轭 解 已知，所以又知，于是其中于是最后得到又有，将上面有关的表达式代入，可得两侧是任意的，故从上式可得证毕。 (2) 由，易得于是上式右侧是应变能率，所以功共轭。证毕。 4-34 证明，一般地不存在与功共轭的应变。给出上列两(诱导)应力张量的载荷-面积解释。 解 上题已证将上式写成式中不能表示成应变张量的物质时间导数，所以一般地没有功共轭的应变。类似地，可证上式可写成其中一般地不能表示成应变张量的物质时间导数，所以一般地没