差分格式的稳定性与收敛性1

1、差分格式的稳定f生与收敛f生1基本昵所谓稳定性问题是指在数值计算过程中产生的误差的积累 和传播是否受到控制在应用羞分格式求近似解的过程屮，由于 我们是按节点逐次递推进行，所以误差的传播是不可避免的， 如果差分格式能有效的控制误羞的传播，使它对于计算结果不 会产生严重的影响，或者说差分方程的解对j:边值和右端具有 某种连续相依的性质，就叫做差分格式的稳定性.羌分格式的收敛性是指在步长h足够小的情况下，由它所 确定的羞分解能够以任意指定的精度逼近微分方程边值问题 的精确解U(xj下而给出收敛性的精确定义设叮是差分格式 定义的差分解，如果当hTO并且UTX时，有皿_U(X)|TO,贝IJ 称此格式是

2、收敛的.2差分方程的建立对丁二阶边值问题J Lu = -u + q(x)u = f (x), a < x < b,仃)u(a) = a,u(b) = 0,JL-'11 q(x) > f(x)eCa,b,q(x) >0.将区间a,b分成N等份，记分点为 = a+ mb,m = 0丄,N,这里步长利用泰勒公式，得N1 .丘(11(入+1)-211X) + 11(1) = U X)-Rn 其屮Rin = 一吉I】Km (SS)把式(2)代入式(1)中的微分方程，有呱）三-右（呱+1） - 加（片）+ U（V1）1 + q（xju（xm）=f（n）+Rni略去余项Rn，

3、便得到（1）式中的微分方程在内部节点人的差分 方程；再考虑到式（1）屮的边界条件，就得到边值问题（1）的差 分方程* < -Um 三一頁（ij ZUm + Ug-J+qlXX f （xj, a V X V b, Uo 二弘l】N 二 0，解线性代数方程组（5）,得11（入）的近似值Um%,11,Un称为边值 问题（1）的差分解.从上而的推导过程可以看出，在节点忌建立差分方程的关 键是在该点用函数u（x）的二阶屮心茅商代替二阶导数，最后用 差分算子Lj弋替微分算子L就产生差分方程（5）记 Rhl（u） = Lu（xln）-Llxu（） 称RJu）是用羞分算了代替微 分算子L所产生的截断误差

4、由式（2）,二阶中心差商代替二阶 导数所产生的截断误差Kn，从式（4）和式（5）可以得出心=3（耳）-Um），心称为差分方程（5）的截断误差.3讨论差分方程组（5）的解的稳定性与收敛ft引理31（极值原理）设吋吟八切是一组不全相等的数，记S = uo，Ui，,叶,kUm 二+ Vm + 初讪），皿=h 2 ,N - 1,（6）* L 中 bm > 0规 v 0,cm v 0,bm > |am| + |cm .（1）若LhUm < 0（m = 1,2,N -1）,则不能在q,比,叽1中 取到s中正的最大值；(2)若叽 > 0(m= 1,2,N 1)，则不能在5心,中 取到

5、s中负的最小值.证 首先用反证法证明(1)假设在山心心中取到s屮正 的最大值，记为M,那么M = maxum>0,由于S中的数不全相 0<m<N I等，一定存在某个iQ<i<N-l),使得叮M,并且与ig中至少有 一个小于M于是M=(ag+bM+cg)>bN 十(a： + cx )M > 0 这与<0矛盾，从而(1)得证.同理可证明(2)现在运用极值原理论证滓分方法的稳從性及收敛性.(7)定理3.2差分方程组(5)的解叮满足IumI max 闽'冏 + J(入-打卩-兀J 鲁器11 打,m = 1,2,N -1,证把方程组% = a,uN

6、 = pkUm=。111=12川-1,5 = 口“ = °的解分别记为i评和哙，其中差分算子1由式(5)定义，贝I方程组的解5为Um = U$)+U黒由极值原理可知uf max|a|,|/?|,m = l,2,-,N-l(9)接卜来再估计I请)，考虑差分方程 _rv(vm+1 - 2vm +) = M,m=l,2,N l,* lr、=Un=O(10)M = max0<m<N其屮 容易验证该微分方程是从边值问题J-v" = M,(11)v(a)二 v(b)二 0 得到的，而在此边值问题的解是v(x)=¥(x-a)(bx).因为v(x)是x的二次函数，它的

7、四阶导数为零，从式(2)、 看到V(x)在点、的二阶中心差商与V&n)相等，因此差分方 程(10)的解等于边值问题(11)的解，up5 = v(xj 二(冷-a)(b-xj ' 0.另一方而，k(Vm 土 U黑)=UVm 土 -U黑=也冬 + M ± 俎 I 0,% 土u)=Vn±u£)= 0,由极值原理可知vm±u >0,即 |um|< J 斗(耳-a)(b ),m= 1,2,N-1 (12)综合式(8)、(9)、(12)就得到式(7)定理3. 2表明差分方程(5)的解关于边值问题(1)的右端项 和边值问题是稳定的，亦即当f

8、、°、0有一个小的改变时， 所引起的差分解的改变也是小的.定理3.3设ii(x)是边值问题(1)的解，15是差分方程(5) 的解，贝IJ|u(x )-u <(b_a)h max u(x) ,m = 1,2,N 1. (13)1“ m96a<x<b证记务二叭耳).，由式(3)、(4)、(5)可知严殆=%丿】1二1，2,隈-1匂二即=其中«由式(3)定义从定理3. 2得 KI|(xtt-a)(b-xto)S|Rhl|< h2 max u(4)(x).96a<x<b式(13)给出了差分方程(5)的解的误差估计，而且表明当 h T 0差分解收敛到原边值问题的解，收敛速度为於4小结收敛性和稳定性是从不同角度讨论差分法的精确情况，稳 定性主要是讨论初值的误差和计算屮的舍入误差对计算结果的 影响，收敛性则主要讨论推算公式引入的截断误羞对计算结果 的影响使用既收敛有稳定的差分格式才有比较可靠的计算结 果，这也是讨论收敛性和稳定性的重要意义.参考文献1 李瑞遐、何志东.微分方程数值方法，上海：华东