数学物理方程与特殊函数ppt课件

1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 课程的内容课程的内容三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分别变量法、行波法、积分变换法、格林函数法动摇方程、热传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数 数学物理方程定义数学物理方程定义描画某种物理景象的数学微分方程。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导一、一、 根本方程的建立根本方程的建立第一章第一章 一些典型方程和一些典型方程和定解条件的推导定解条件的推导二、二、

2、定解条件的推导定解条件的推导三、三、 定解问题的概念定解问题的概念数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导一、一、 根本方程的建立根本方程的建立条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。例例1、弦的振动、弦的振动研讨对象：线上某点在 t 时辰沿纵向的位移。( , )u x t数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导简化假设：(2)振幅极小， 张力与程度方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的恣意一点的张力沿弦的切线方向。cos1

3、cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛顿运动定律：sinsinTTgdsma横向：coscosTT纵向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu

4、x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx一维动摇方程2Ta 令：-非齐次方程非齐次方程自在项22222uuatx-齐次方程齐次方程忽略重力作用：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导从麦克斯韦方程出发：cv0 DHJtBEtDB在自在空

5、间：HBED00HEtHEtEHcv0,0J例例2、时变电磁场、时变电磁场数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导00HEtHEtEH对第一方程两边取旋度，)(EtH根据矢量运算：2()HHH 2()HHtt222tHH由此得：得 ：2222222xyz 拉普拉斯算子： 同理可得：2221EEt电场的三维动摇方程222222221()HHHHtxyz磁场的三维动摇方程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例例3 3、热传导、热传导所要研讨的物理量：温度 ),

6、(tzyxu根据热学中的傅立叶实验定律在dt时间内从dS流入V的热量为：从时辰t1到t2经过S流入V的热量为 tSukQttSdd211 高斯公式矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分 tVukQttVdd2121 tSnukQdddtSnukddtSukdd热传导景象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热场MSSVn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导tVukQttVdd2121 ),(1tzyxu),(2tzyxuVtzyxutzyxucQVd),(),(12221QQ 流入的热量导

7、致V内的温度发生变化 2121dddd2ttVttVtVtuctVuktucuk22ukutc02 ufuatu22流入的热量：温度发生变化需求的热量为：VttucVttdd21 21ddttVtVtuc22au热传导方程热场MSSVn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导有界杆上的热传导杆的两端绝热数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例例4 4、静电场、静电场电势u 确定所要研讨的物理量：根据物理规律建立微分方程：Eu/ E)(uE/2 u02 u对方

8、程进展化简：uu2/拉普拉斯方程 泊松方程 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导同一类物理景象中，各个详细问题又各有其特殊性。边境条件和初始条件反映了详细问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：可以用来阐明某一详细物理景象初始形状的条件。边境条件：可以用来阐明某一详细物理景象边境上的约束情况的条件。二、定解条件的推导二、定解条件的推导其他条件：可以用来阐明某一详细物理景象情况的条件。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导初始时辰的温度分布：B、热传导方程

9、的初始条件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边境条件条件A、 动摇方程的初始条件00|( )( )ttuxuxt1、初始条件、初始条件描画系统的初始形状描画系统的初始形状系统各点的初位移系统各点的初速度数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导(2)自在端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边境条件、边境条件描画系统在边境上的情况描画系统在边境上的情况A、 动摇方程的边境条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：0|0,xu( , )0u a t 或：0 x

10、 auTx0 x aux( , )0 xu a t (3) 弹性支承端：在x=a端遭到弹性系数为k 的弹簧的支承。x ax auTkux 或0 x auux数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导B、热传导方程的边境条件(1) 给定温度在边境上的值|sufS给定区域v 的边境(2) 绝热形状0sun(3)热交换形状牛顿冷却定律：单位时间内从物体经过边境上单位面积流到周围介质的热量跟物体外表和外面的温差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn 交换系数； 周围介质的温度1k1u1SSuuun1kk第一类边境条件

11、第二类边境条件第三类边境条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导1 1、定解问题、定解问题三、定解问题的概念三、定解问题的概念(1) 初始问题：只需初始条件，没有边境条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只需边境条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边境条件的定解问题。 把某种物理景象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一同，就构成了一个定解问题。定解问题的检验定解问题的检验 解的存在性：定解问题能否有解；解的独一性：能否只需一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解能否有相应 的微小变动。数学

12、物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导3 3、线性偏微分方程的分类、线性偏微分方程的分类 按未知函数及其导数的系数能否变化分为按未知函数及其导数的系数能否变化分为常系数和变系数微分方程常系数和变系数微分方程 按自在项能否为零分为齐次方程和非齐次按自在项能否为零分为齐次方程和非齐次方程方程2 2、微分方程普通分类、微分方程普通分类 (1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程；(2) 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程；(3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导线性方程的解具有叠加特性 iifLu ffiuuifLu 0iLuuui0Lu4 4、叠加原理、叠加原理 几种不同的缘由的综合所产生的效果等于这些不同缘由单独产生的效果的累加。(物理上)xxuatu2222222222uuauxt222uuaxuxt222110uu判别以下方程的类型思索数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典