二次函数与x轴的关系

1、义务教育课程标准实验教科书华东师大版一、探究一、探究探究探究1、求二次函数图象、求二次函数图象y=x2-3x+2与与x轴的交轴的交点点A、B的坐标。的坐标。解：解：A、B在轴上，在轴上， 它们的纵坐标为它们的纵坐标为0， 令令y=0，则，则x2-3x+2=0 解得：解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）你发现方程你发现方程 的解的解x1、x2与与A、B的的坐标有什么联系？坐标有什么联系？x2-3x+2=0结论结论1：方程：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=x2-3x+2与与x轴的两个交点的横坐标。轴的两个交点的横坐标。因此，抛物因此，抛物线与一元二次方程

2、是有密切联系的。线与一元二次方程是有密切联系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2， 则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交与轴的两个交点坐标分别是点坐标分别是A（ ），）， B（ ）x1，0 x2，0 xOABx1x2y探究探究2、抛物线与、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？二次方程的知识来说明呢？b2-4ac0b2-4ac=0b2-4ac0OXY结论结论2：抛物线抛物线y=ax2+bx+c抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴的交点个数可由轴的交点个数可由一元二次方程一元二次方

3、程ax2+bx+c=0的根的情况说明：的根的情况说明： 1、 b2-4ac 0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根有两个不等的实数根与与x轴有两个交点。轴有两个交点。抛物线抛物线y=ax2+bx+c 2、 b2-4ac =0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根与与x轴有唯一公共点。轴有唯一公共点。抛物线抛物线y=ax2+bx+c 3、 b2-4ac 0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根没有实数根与与x轴没有公共点。轴没有公共点。 例例1 1、你能否画出适当的函数图象，、你能否画出适当的函数图象， 求

4、方程求方程的解？的解？二、例题推荐二、例题推荐2132xx和2就是原方程的解.和2就是原方程的解.2 23 3标标B的横坐B的横坐他认为它们的交点A,他认为它们的交点A,3的图象,3的图象,x x2 21 1和y和yx xy y而是分别画出函数而是分别画出函数项,项,唯独小刘没有将方程移唯独小刘没有将方程移方程的解,方程的解,得出得出观察它与x轴的交点,观察它与x轴的交点,画出函数图象,画出函数图象,0,0,3 3x x2 21 1x x化为化为几乎所有学生都将方程几乎所有学生都将方程3的解时,3的解时,x x2 21 1求方程x求方程x: :中出现争论中出现争论初三某班的学生在问题初三某班的

5、学生在问题2 22 22 2例例2、已知二次函数、已知二次函数y=x2-kx-2+k.(1)求证求证:不论不论k取何值时，这个二次函数取何值时，这个二次函数y=x2-kx-2+k与与x轴有两个不同的交点。轴有两个不同的交点。(2)如果二次函数如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为与轴两个交点为A、B，设此抛物线与，设此抛物线与y轴的交点为轴的交点为C，当，当k为为6时时,求求SABC .例例3、已知抛物线、已知抛物线y=x2+2x+m+1。（1）若抛物线与）若抛物线与x轴只有一个交点，轴只有一个交点， 求求m的值。的值。（2）若抛物线与直线）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，只

6、有一个交点，求求m的值。的值。三、基础训练三、基础训练1、已知抛物线、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在的顶点在x轴上，则轴上，则a= ；若抛物线与；若抛物线与x轴有两个交点，则轴有两个交点，则a的范围是的范围是 ；若抛物线与坐标轴有两个；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则公共点，则a的范围是的范围是 ；3、已知抛物线、已知抛物线y=x2+px+q与与x轴的两个交点为轴的两个交点为（-2，0），（），（3，0），则），则p= ，q= 。2、已知抛物线、已知抛物线y=x2-3x+a+1与与x轴最多只有一轴最多只有一个交点，则个交点，则a的范围是的范围是 。4、判断下列各抛物线是否与、判断下列各抛

7、物线是否与x轴相交，如果轴相交，如果相交，求出交点的坐标。相交，求出交点的坐标。（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+45、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象）的图象 全部在轴下方的条件是（全部在轴下方的条件是（ ）（A）a0 b2-4ac0（B）a0 b2-4ac0（C）a0 b2-4ac0（D）a0 b2-4ac0D6、已知是、已知是x1、x2方程方程x2-（k-3）x+k+4=0的两的两个实根，个实根，A、B为抛物线为抛物线y= x2-（k-3）x+k+4与与x轴的两个交点，轴的两个交点，P是是y轴上异于原点的点，设轴上异于原点的点，设PAB=，PBA=，问，问、能否相等？并说能否相等？并说明理由明理由.AOBPXY7、已知抛物线、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.求证求证:不任不任m为何实数为何实数,抛物线与抛物线与x轴都有两个不轴都有两个不同的交点同的交点,四、小结四、小结1、若一元二次方程、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2， 则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与与x轴的两个交点坐轴的两个交点坐标分别是标分别是A（x1，0 ），）， B（ x2