初中数学基础知识及经典题型

1、实用文档 标准文案 例题讲解 【例】如图10，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）过E作直线AB的垂线，垂足为F FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。 （1） 求证：BEFCEG （2） 当点E在线段BC上运动时，BEF和CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由 （3）设BEx，DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ 【例】如图 二次函数yax2bxc(a0)与坐标轴交于点A B C且OA1 OBOC3 （1）求此二次函数的解析式（2）写出顶点坐标和对称轴方程

2、 （3）点M N在yax2bxc的图像上(点N在点M的右边) 且MNx轴 求以MN为直径 【例3】已知两个关于x的二次函数1y与当xk?时，217y?；且二次函数2y的图象的对称轴是直222112()2(0)612yyaxkkyyxx?，线1x? （1）求k的值； （2）求函数12yy，的表达式； （3）在同一直角坐标系内，问函数1y的图象与2y的图象是否有交点？请说明理由 图 10 MBDCEFGx A实用文档 标准文案 【例4】如图,抛物线24yxx?与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点. （1）求

3、点A的坐标; （2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标; （3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x, 当462682S?时,求x的取值范围. 【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y与投资量x成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润2y与投资量x成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资量的单位：万元） （1）分别求出利润1y与2y关于投资量x的函数关系式； （2）如果这位专业户以8万元资金投入种

4、植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 实用文档 标准文案 【例5】如图，已知 (4,0)A?，(0,4)B，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C （1）求C点坐标及直线BC的解析式; （2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象; （3）现将直线BC绕 B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB 距离的点P 【例6】如图，抛物线21:23Lyxx?交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线1L向右平移2个单位后得到抛物线2L，2L交x轴于C、D两点. （1）求抛物线2L对应的

5、函数表达式； （2）抛物线1L或2L在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是抛物线1L上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P 关于原点的对 称点Q 是否在抛物线2L上，请说明理由. 解析过程及每步分值 实用文档 标准文案 211 33 222CPQSCP CQxxx? ? 3tan3BCCDBCD?727 【例7】如图，在矩形ABCD中，9AB?，33AD?，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点

6、，设CP的长度为x，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y （1）求CQP?的度数； （2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？ （3）求 y与x之间的函数关系式； 当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？ 解析过程及每步分值 解：（1）如图，四边形ABCD是矩形，ABC DADB?， 又9AB?，33 AD?，90C?， 9 CD? ，33BC? ，30CDB? PQ BD，30CQPCDB? （2）如图1，由轴对称的性质可知，RPQCPQ ， RPQCPQ?，RP CP? 由（1）知 30CQP?，60RPQCPQ? ?， 60RPB?，2 RPBP? CPx?，PRx?，3

7、3PB x? 在RPB中，根据题意得 ：2(33)xx?， 解这个方程得： 23x? （3）当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时， 023 x?， D Q C B P R A B A D C （备用图1） B A D C （备用图2） D Q C B P R A （图1） 实用文档 标准文案 7 2721331818322ERFSERFRxx? 232yx?RPQ CPQ，? 当023x? 时， 当R 在矩形ABCD的外部时（如图2），233 3 x?， 在Rt PFB中，60RPB?， 22(33) PFBPx? ?， 又RPCPx?，363RFRPPFx? ， 在RtERF中， 30EF

8、RPFB?，36ER x? ， RPQ ERFySS?， ? 当2333x?时，2318 18yxx? 综上所述，y与x 之间的函数 解析式是：223(0 23)2318183(2333)x xyxxx? ? 矩形面积933273?， 当023 x?时，函数232yx?随自变量的增大而 增大，所以y的最大值是63，而矩形面积的727的值72737327?， 而7363? ，所以，当023 x?时，y的值不可能是矩形面积的727； 当2333x?时，根据题意，得： 231818373xx?，解这个方程，得332x?，因为33233?， 所以332x?不合题意，舍去 所以332x? 综上所述，当3

9、32x?时，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的 实用文档 标准文案 第四章 兴趣练习 4.1 代数部分 1. 已知：抛物线2yaxbxc?与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA<OC）是方程2540xx?的两个根，且抛物线的对称轴是直线1x? （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围S是否存在最大值？若存在，求

10、出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由 y x B D O A E C 实用文档 标准文案 2. 已知，如图1，过点?01E?，作平行于x轴的直线l，抛物线214yx?上的两点AB、的横坐标分别为?1和4，直线AB交y轴于点F，过点AB、分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CFDF、 （1）求点ABF、的坐标； （2）求证：CFDF?； （3）点P是抛物线214yx?对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQPO交x轴于点Q，是否存在点P使得OPQ与CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 E D C A F B x O y l E D C O F

11、x y （图1） 备用图 实用文档 标准文案 3. 已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建 立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点OA、不重合），现将POC沿PC翻折 得到PEC，再在AB边上选取适当的点D，将PAD沿PD翻折，得到PFD，使得 直线PEPF、重合 （1）若点E落在BC边上，如图，求点PCD、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式； （2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图，设OPxADy?，当x为何值时，y取得最大值？ （3）在（1）的情况下，过点PCD、三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不

12、存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标 C y E B F D A P x O 图 A B D F E C O P x y 图 4. 如图，已知抛物线243yxx?交x轴于A、B两点，交y轴于点C，?抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（1?，0） （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标； （2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由 D C A

13、 y E B O 实用文档 标准文案 实用文档 标准文案 5. 如图， 已知抛物线32?bxaxy（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标 y C A M O B x 图 y C A O B x 图 实用文档 标准文案 二、动态几何 6. 如图，在梯形ABCD中，906DCABAAD?，

14、°，厘米，4DC?厘米，BC的坡度34i?，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD?方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒 （1）求边BC的长； （2）当t为何值时，PC与BQ相互平分； （3）连结PQ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 7. 已知：直线112yx?与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线212yxbxc?与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0） （1）求抛物线的解析式； （

15、2）动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标 （3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC?的值最大，求出点M的坐标 CDAB QP y x O D E A B C 实用文档 标准文案 8. 已知：抛物线?20yaxbxca?的对称轴为1x?，与x轴交于AB，两点，与y轴交于点C，其中?30A?，、?02C?， （1）求这条抛物线的函数表达式 （2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC的周长最小请求出点P的坐标 （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作DEPC交x轴于点E连接PD、PE设CD的长为m，PDE的面积为S求S与m之间的函数关系式试说明S是否

16、存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由 9. 如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(24)，；矩形ABCD的顶点A与点O重合，ADAB、分别在x轴、y轴上，且2AD?，3AB? （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动设它们运动的时间为t秒（03t），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示） 当52t?时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； 设以PNCD、为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出

17、这个最大值；若不存在，请说明理由 A C x y B O y x M B C D O A 图2 P N E y x M B C D O (A) 图1 E 实用文档 标准文案 10. 已知抛物线：xxy22121? （1）求抛物线1y的顶点坐标 （2）将抛物线1y向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y，求抛物线2y的解析式 （3）如下图，抛物线2y的顶点为P，x轴上有一动点M，在1y、2y这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由 【提示：抛物线cbxaxy?2（0a?） 的对称轴是，abx2?

18、 顶点坐标是2424bacbaa?，】 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1? 1? 2? 3? 4? P y x 1y 2y O 实用文档 标准文案 11. 如图，已知抛物线C1：?522?xay的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1 （1）求P点坐标及a的值；（4分） （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分） （3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C

19、4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标（5分） y x A O B P M 图1 C1 C2 C3 y x A O B P N 图2 C1 C4 Q E F 实用文档 标准文案 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点(40)B，、(80)C，、(88)D，抛物线2yaxbx?过AC、两点 （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒过点P作PEAB交

20、AC于点E 过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G当t为何值时，线段EG最长？ 连接EQ在点PQ、运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形？ 请直接写出相应的t值 y O x A F D Q G E P B C 实用文档 标准文案 13. 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（2，1-），且P（1-，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理

21、由； （3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值 图1 y?AOMQP图2 xy?BCAOMPQ实用文档 标准文案 14. 如图，矩形ABCD中，AB = 6cm，AD = 3cm，点E在边DC上，且DE = 4cm动点P从点A开始沿着ABCE的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动若点P、Q从点A同时出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2），求S与t的函数关系式 15. 如图，已知二次函数22)

22、(mkmxy?的图象与x轴相交于两个不同的点 1(0)Ax，、2(0)Bx，与y轴的交点为C设ABC的外接圆的圆心为点P （1）求P与y轴的另一个交点D的坐标； （2）如果AB恰好为P的直径，且ABC 的面积等于5，求m和k的值 D EB P A C Q 实用文档 标准文案 16. 如图，点AB、坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且2OEOC?设(0)OEtt?，矩形OEDC与AOB重合部分的面积为S根据上述条件，回答下列问题： （1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值； （2）当4t?时，求S的值； （3）直接写出

23、S与t的函数关系式；（不必写出解题过程） （4）若12S?，则t? 17. 直线364yx?与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线OBA运动 （1）直接写出AB、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3） 当485S?时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标 B C O E D A x y x A O Q P B y 实用文档 标准文案 18. 如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧

24、两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在ABC内部的线段的长度叫ABC的“铅垂高”（h）我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 解答下列问题： 如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2） 求CAB的铅垂高CD及CABS； （3） 设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使SPAB=89SCAB，若存在， 求出P点的坐标；若不存在，请说明理由 AB C 铅垂高 水平宽 h a 图1 图2 x C O y A B D 1

25、 1 实用文档 标准文案 19. 如图，在平面直角坐标系中，点AC、 的坐标分别为(10)(03)?，、，点B在x轴上已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线1x?，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F （1）求该二次函数的解析式； （2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长 （3）求PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标 20. 如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，60B?°从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿ACB?的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A

26、BCD?的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，APQ与ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题： （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒； （2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当APQ是等边三角形时x的值是 秒； （3）求y与x之间的函数关系式 x y B F O A C P x=1 P Q A B C D 实用文档 标准文案 21. 定义一种变换：平移抛物线1F得到抛物线2F，使2F经过1F的顶点A设2F的对称轴分别交12FF，于点DB，点C是点A关于直线BD的对称点 （1）如图1，若1F：2y

27、x?，经过变换后，得到2F：2yxbx?，点C的坐标为(20)，则b的值等于_； 四边形ABCD为（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 （2）如图2，若1F：2yaxc?，经过变换后，点B的坐标为(21)c?，求ABD的面积； （3）如图3，若1F：2127333yxx? ，经过变换后，23AC?，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值 B D C O（A） y x F 1 F2 B D C O y x F1 F2 A B D C O y x F1 F2 A P （图1） （图2） （图3） 实用文档 标准文案 22. 如图，已知直线112yx?交坐

28、标轴于BA，两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点CD，A，的抛物线与直线另一个交点为E （1）请直接写出点DC,的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3 ）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上EC, 两点间的抛物线弧所扫过的面积 O A B C D E y x 112yx? 实用文档 标准文案 23. 如图，点AB、坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x

29、轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且2OEOC?设(0)OEtt?，矩形OEDC与AOB重合部分的面积为S根据上述条件，回答下列问题： （1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值； （2）当4t?时，求S的值； （3）直接写出S与t的函数关系式；（不必写出解题过程） （4）若12S?，则t? 24. 如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造已知ABC的边BC长120米，高AD长80米学校计划将它分割成AHG、BHE、GFC和矩形EFGH四部分（如图）其中矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上现计划在AHG上种草，每平米投资

30、6元；在BHE、FCG上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元 （1）当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？ （2）当矩形EFGH的边FG为多少米时，ABC空地改造总投资最小？最小值为多少？ B C O E D A x y A G H K B E D F C 实用文档 标准文案 25. 已知：12tt，是方程22240tt?的两个实数根，且12tt?， 抛物线223yxbxc?的图象经过点12(0)(0)AtBt， （1）求这个抛物线的解析式； （2）设点()Pxy，是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求

31、OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）的条件下，当 OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使 OPAQ为正方形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由 三、说理题 26. 如图，抛物线经过(40)(10)(02)ABC?，三点 （1）求出抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作PMx?轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标 Q B O A P x y O x y A

32、B C 4 1 2? 实用文档 标准文案 27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于ABCD、四点抛物线2yaxbxc?与y轴交于点D，与直线yx?交于点MN、，且MANC、分别与圆O相切于点A和点C （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长 （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由 28. 如图1 ，已知：抛物线212yxbxc?与x轴交于AB、两点，与y轴交于点C，经过BC、两点的直线是122yx?，连结AC （1）BC、两点坐标分别为B（

33、_， _）、C（ _， _），抛物线的函数关系式为 _； （2）判断ABC的形状，并说明理由； （3）若ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点DEF、G在ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由 抛物线2yaxbxc? 的顶点坐标是24,24bacbaa? O x y N C D E F B M A C A O B x y C A O B x y 图1 图2(备用) 实用文档 标准文案 29. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC

34、，过点D作DEDC，交OA于点E （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式； （2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 y x D B C A E O 实用文档 标准文案 30. 如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处

35、，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CMCEEO?，再以CM、CO为边作矩形CMNO （1）试比较EO、EC的大小，并说明理由 （2 ）令CFGHCMNOSmS?四边形四边形，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由 （3）在（2）的条件下，若113COCEQ?，为AE上一点且23QF?，抛物线2ymxbxc?经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式 （4）在（3）的条件下，若抛物线2ymxbxc?与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由 y x A N

36、O M C H G F B Q E 实用文档 标准文案 4.2 几何部分 经典难题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO 求证：CDGF（初二） 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA150 求证：PBC是正三角形（初二） 3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点 求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F 求证：DENF A P C D

37、B A F G C E B O D D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A N F E C D M B 实用文档 标准文案 P C G F B Q A D E 经典难题（二） 1、已知：ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，OB （1）求证：AH2OM； （2）若BAC600，求证：AHAO（初二） 2、设MN是圆O外一直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线 EB及CD分别交MN于P、Q 求证：APAQ（初二） 3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE

38、，设CD、EB分别交MN于P、Q 求证：APAQ（初二） 4、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半（初二） ·A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A 实用文档 标准文案 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于F 求证：CECF（初二） 2、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CECA，直线EC交DA延长线于F

39、求证：AEAF（初二） 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE 求证：PAPF（初二） 4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D求证：ABDC，BCAD（初三） DA FD E C B E D A C B F A E P C B A O D B F A E C P 实用文档 标准文案 经典难题（四） 1、已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5 求：APB的度数（初二） 2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDA 求证：PABPCB（初二） 3、Ptolemy（托勒密）定理：设

40、ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CDAD·BCAC·BD （初三） 4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AECF求证：DPADPC（初二） A P C B P A D C B C B D A F P D E C B A 实用文档 标准文案 经典难题（五） 1、设P是边长为1的正ABC内任一点，lPAPBPC，求证：l2 2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC 的最小值 3、P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长 4、如图，ABC中，ABCACB800，

41、D、E分别是AB、AC上的点，DCA300，EBA200，求BED的度数 P C B A C B P D E D C B A A C B P D 实用文档 标准文案 第五章 复习提纲 初中数学总复习提纲 第一章 实数 重点 实数的有关概念及性质，实数的运算 内容提要 一、重要概念 1数的分类及概念 数系表： 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、 2非负数：正实数与零的统称。（表为：x0） 常见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3倒数： 定义及表示法 性质：A.a1/a（a±1）;B.1/a中，a0;C.0a1时1/a1;a1时，1/a1;D.积为1。

42、 4相反数： 定义及表示法 性质：A.a0时，a-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5数轴：定义（“三要素”） 实数 无理数( 无限不循环小数) 有理数 正分数 负分数 正整数 0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 正无理数 负无0 负数 整数 分数无理数 有理数 正数 整数 无理数 有理数 a 2aa(a0) (a为一切实数) 实用文档 标准文案 作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6奇数、偶数、质数、合数（正整数自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n（n为自然数） 7绝对值：定义（两种）： 代

43、 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 a0,符号“”是“非负数”的标志;数a的绝对值只有一个;处理任何类型的题目，只要其中有“”出现，其关键一步是去掉“”符号。 二、实数的运算 1 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2 运算定律（五个加法乘法交换律、结合律;乘法对加法的 分配律） 3 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左” 到“右”（如5÷51×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例（略） 附：典型例题 1 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：x-a+x-b =b-a. 2.已

44、知：a-b=-2且ab<0，（a0，b0），判断a、b的符号。 第二章 代数式 重点代数式的有关概念及性质，代数式的运算 内容提要 一、重要概念 分类： 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独 的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。 2.整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 a(a0) -a(a<0) a = a x b 单项式 多项式 整式 分式有理式 无理式 代数式 实用文档 标准文案 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3

45、.单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积包括单独的一个数或字母） 几个单项式的和，叫做多项式。 说明：根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如， xx2 =x,2x=x等。 4.系数与指数 区别与联系：从位置上看;从表示的意义上看 5.同类项及其合并 条件：字母相同;相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式 表示方根的代数式叫做根式。 含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。 注意：从外形上判断; 区别：3 、

46、7是根式，但不是无理式（是无理数）。 7.算术平方根 正数a 的正的平方根（aa0与“平方根”的区别）; 算术平方根与绝对值 联系：都是非负数，2a=a 区别：a中，a为一切实数 ;a中，a为非负数。 8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化 化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 满足条件：被开方数的因数是整数，因式是整式;被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。 把分母中的根号划去叫做分母有理化。 9.指数 (na幂，乘方运算) a0时，na0;a0时，na0（n是偶数），na0（n是奇数） 零指数：0a=1（a0） 负整指数：pa?=1/pa（a0,p是正整数）

47、a·aa=n个 实用文档 标准文案 二、运算定律、性质、法则 1分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 2分式的性质 基本性质：ab =ambm（m0） 符号法则：ababab? 繁分式：定义;化简方法（两种） 3整式运算法则（去括号、添括号法则） 4幂的运算性质：ma·na=nma?;ma÷na=nma?;nma)(=mna;nab)(=nanb; nnnbaba?)( 技巧：ppbaab)()(? 5乘法法则：单×单;单×多;多×多。 6乘法公式：（正、逆用）2222)(bababa? （a+b）（a-b）=22ba? (a±b)(22baba?=3