初三数学中学考试二次函数数型结合综合题中学考试数学最后一题 难 有详细

1、实用文档 文案大全 二次函数综合题（共30题） 1（2011?遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C （1）求抛物线y=ax2+bx+3（a0）的函数关系式及点C的坐标； （2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标 2（2011?淄博）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，2）

2、，与直线y=x交于点A（2，2），B（2，2） （1）求抛物线的解析式； （2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且 MN=，若M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由 3（2011?资阳）已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点 （1）如图1，若AOB=60°，求抛物线C的解析式； （2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180&

3、#176;得到抛物线C，求抛物线C、C的解析式； （3）在（2）的条件下，设A为抛物线C的顶点，求抛物线C或C上使得PB=PA'的点P的坐标 2 4（2011?株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1 ）若测得（如图1），求a的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BFx轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标 _ ； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度

4、时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标 5（2011?漳州）如图1，抛物线y=mx211mx+24m （m0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且BAC=90° （1）填空：OB= _ ，OC= _ ； （2）连接OA，将OAC沿x轴翻折后得ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式； （3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值

5、，并求出这个最大值 6（2011?湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，CD，AD，试证明ACD为直角三角形； （3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由 3 7（2011?岳阳）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践应用探究的过程： （1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图）进行测量，测得一隧道

6、的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式 （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答： I如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在x轴 上设矩形ABCD的周长为l求l的最大值 II?如图，过原点作一条y=x的直线OM，

7、交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P 为直线0M上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由 8（2011?永州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2，1），B（0，7）两点 （1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）当x为何值时，y0？ （3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标 4 9（2011?营口）如图（1），直线y=x+3与x轴、

8、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （4）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值 （图（2）、图（3）供画图探究） 10（2011?益阳）如图，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P

9、点关于x轴的对称点为P，过P作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值： （1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值； （2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与（1）所求的比值相同？请说明理由 5 11（2011?义乌市）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标； （2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存

10、在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外） ，以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MNx轴，交PB于点N将PMN沿直线MN对折，得到P1MN在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒求S关于t的函数关系式 12（2011?宜昌）已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，）和（mb，m2mb+n），其中 a，b，c，m，n为实数，且a，m不为0 （1）求c的值； （2）设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点是（x1，0）和（x2，0

11、），求x1?x2的值； （3）当1x1时，设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时|y0丨的最小值 13（2011?宜宾）已知抛物线的顶点是C（0，a）（a0，a为常数），并经过点（2a，2a），点D（0，2a）为一定点 （1）求含有常数a的抛物线的解析式； （2）设点P是抛物线上任意一点，过P作PH丄x轴垂足是H，求证：PD=PH； （3）设过原点O的直线l与抛物线在笫一象限相交于A、B两点，若DA=2DB且SABD =4求a的值 6 14（2011?烟台）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上直线CB的表达式为y=

12、x+，点A、D的坐标分别为（4，0），（0，4）动点P自A点出发，在AB上匀速运行动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动设点P运动t（秒）时，OPQ的面积为s（不能构成OPQ的动点除外） （1）求出点B、C的坐标； （2）求s随t变化的函数关系式； （3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值 15（2011?雅安）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c（a0）图象的顶点M 在反比例函数上，且与x轴交于AB两点 （1 ）若二次函数的对称轴为，试求a，c的值； （2）在（1）的条件下求AB的长； （3）若二次函数的对称轴与x轴的交点

13、为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式 16（2011?徐州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，2） （1）求此函数的关系式； 7 （2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及PEF的面积；若不存在，请说明理由 17（2011?孝感）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴

14、上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m0 （1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）； （2）连接OA，若OAF是等腰三角形，求m的值； （3）如图（2），设抛物线y=a（xm6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若OAM=90°，求a、h、m的值 18（2011?襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，ACCD是O'的切线，AD丄CD于点D，tanCAD=，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点 （1）求证：CAD=CAB； （2）求抛物

15、线的解析式； 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由 19（2011?湘西州）如图抛物线y=x22x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C 8 （1）求点A、点B和点C的坐标 （2）求直线AC的解析式 （3）设点M是第二象限内抛物线上的一点，且SMAB=6，求点M的坐标 （4）若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从 B 向A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动设运动的时间为t秒，请求出APQ的面积S与t的

16、函数关系式，并求出当t为何值时，APQ的面积最大，最大面积是多少？ 20（2011?湘潭）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由 21（2011?西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（1，0）如图所示，B点在抛物线y=x2+x2图象上，过点B作BDx轴，垂足为D，且B点横坐标为3 （1）求证：BDCCOA； （2）求BC所在直线的函数关系式；

17、（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 9 22（2011?武汉）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（3，0），B（1，0）两点， （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M，直线y=2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围； （3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使PEF的内心

18、在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 23（2011?芜湖）平面直角坐标系中，?ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到?A'B'OC' （1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式； （2）?ABOC和?A'B'OC'重叠部分OC'D的周长； （3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标 24（2011?温州）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是

19、（2，4），过点A作ABy轴，垂足为B，连接OA 10 （1）求OAB的面积； （2）若抛物线y=x22x+c经过点A 求c的值； 将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的内部（不包括OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可） 25（2011?潍坊）如图，y关于x的二次函数y= （x+m）（x3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点以AB为直径作圆，圆心为C定点E的坐标为（3，0），连接ED（m0） （1）写出A、B、D三点的坐标； （2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系； （3）当m变化时，用m表示AED的面积S，

20、并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意 图 26（2011?威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，3）点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行直线y=x+m过点C，交y轴于D点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值； （3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标 27（2011?潼南县）如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，A

21、CB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D （1）求b，c的值； 11 （2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下： 求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积； 在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由 28（2011?铜仁地区）如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，

22、AB与y轴相交于点M已知点C的坐标是（4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点 （1）求此抛物线的解析式及点M的坐标； （2）在x轴上有一点P（t，0），若PQCM，试用x的代数式表示t； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得BAQ的面积是BMC的面积的2倍？若存在，求此时点Q的坐标 29（2011?天水）在梯形OABC中，CBOA，AOC=60°，OAB=90°，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边DEF，DE在x轴上（如图（1），如果让DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到

23、达坐标原点时运动停止 （1）设DEF运动时间为t，DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式 （2）探究：在DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 12 30（2011?台州）已知抛物线y=a（xm）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线 （1）如图1，求抛物线y=（x2）2+1的伴随直线的解析式 （

24、2）如图2，若抛物线y=a（xm）2+n（m0）的伴随直线是y=x3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式 （3）如图3，若抛物线y=a（xm）2+n的伴随直线是y=2x+b（b0），且伴随四边形ABCD是矩形 用含b的代数式表示m、n的值； 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示）；若不存在，请说明理由 13 答案与评分标准 一解答题（共30小题） 1（2011?遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C （1）求抛物线y=ax2+bx+3（a0）的函数关系式及点

25、C的坐标； （2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标 考点：二次函数综合题。 分析：（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式； （2）从当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PAB=90°与当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PBA=90°，分别求出符合要求的答案； （3）根据当OEA

26、B时，FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可 解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过A（3，0），B（4，1）两点， ， 解得：， y=x2x+3； 点C的坐标为：（0，3）； （2）当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PAB=90°， A（3，0），B（4，1）， AM=BM=1， BAM=45°， DAO=45°， AO=DO， A点坐标为（3，0）， D点的坐标为：（0，3）， 直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得： 0=3k+b，b=3， k=1， y=x+3， y=x2x+3=x+3， 14 x 23x=0， 解得：x

27、=0或3， y=3，y=0（不合题意舍去）， P点坐标为（0，3）， 点P、C、D重合， 当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PBA=90°， 由（1）得，FB=4，FBA=45°， DBF=45°， DF=4， D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1）， 直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得： 1=4k+b，b=5， k=1， y=x+5， y=x2x+3=x+5， x23x4=0， 解得：x1=1，x2=4（舍）， y=6， P点坐标为（1，6）， 点P的坐标为：（1，6），（0，3）； （3）如图（2）：作EMAO于M， 直线AB的解

28、析式为：y=x3， tanOAC=1， OAC=45°， OAC=OAF=45°， ACAF， SFEO=OE×OF， OF最小时SFEO最小， OEAC时OF最小， ACAF OEAF EOM=45°， MO=EM， E在直线CA上， E点坐标为（x，x+3）， x=x+3， 解得：x=， E点坐标为（，） 15 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握 2（2011?淄博）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，2），与

29、直线y=x交于点A（2，2），B（2，2） （1）求抛物线的解析式； （2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且 MN=，若M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由 考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质。 专题：计算题。 分析：（1）把C的坐标代入求出c的值，把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可求出抛物线的解析式； 16 （2）以点P，M，Q，

30、N为顶点的四边形能为平行四边形，当M在OA上，N在OB上时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形为平行四边形，求出N的横坐标，求出NH、MH，根据勾股定理求出m即可 解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，2）， 代入得：c=2， y=ax2+bx2， 把A（2，2），B（2，2 ）代入得：， 解得：， y=x2+x2， 答：抛物线的解析式是y=x2+x2 （2） MN=，点A，B都在直线y=x上，MN在直线AB上，MN在线段 AB上，M的横坐标为m 如图1，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，它们相交于点H MHN是等腰直角三角形 MH=NH=1 点N的坐标为（m+

31、1，m+1） 如图2，当m0时，PM=m， NQ=m+1（m+1）2+m+12=（m+1）2+2 当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQ m=（m+1）2+2 解得： m= （不合题意舍去）或， 如图3，当m0，PM=m， NQ=m+1（m+1）2+m+12=（m+1）2+2 当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQ m=（m+1）2+2 解得：m=2 （不合题意舍去）或2， 当m= 或 m=2时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形 17 点评：本题主要考查对一次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，平行四边形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能用

32、待定系数法求二次函数的解析式和得到MD=ND=|2m|是解此题的关键 3（2011?资阳）已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点 （1）如图1，若AOB=60°，求抛物线C的解析式； （2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C，求抛物线C、C的解析式； （3）在（2）的条件下，设A为抛物线C的顶点，求抛物线C或C上使得PB=PA'的点P的坐标 考点：二次函数综合题；点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；相似三角形的判定与性质。 分析：（1）先连接AB

33、，根据A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B，得出AO=AB，再根据AOB=60°，得出ABO是等边三角形，再过A作AEx轴于E，在RtOAE中，求出OD、AE的值，即可求出顶点A的坐标，最后设抛物线C的解析式，求出a的值，从而得出抛物线C的解析式； （2）先过A作AEOB于E，根据题意得出OE=OB=2，再根据直线OA的解析式为y=x，得出AE=OE=2，求出点A的坐标，再将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a0）中，求出a的值，得出抛物线C的解析式，再根据抛物线C、C关于原点对称，从而得出抛物线C的解析式； （3）先作AB的垂直平分线l，分别交AB、x轴于M、N（n，0

34、），由（2）知，抛物线C的顶点为A（2，2），得出AB的中点M的坐标，再作MHx轴于H，得出MHNBHM，则MH2=HN?HB，求出N点的坐标，再 18 根据直线l过点M（1，1）、N（，0），得出直线l的解析式，求出x的值，再根据抛物线C上存在两点使得PB=PA'，从而得出P1，P2坐标，再根据抛物线C上也存在两点使得PB=PA'，得出P3，P4的坐标，即可求出答案 解答：解：（1）连接AB A点是抛物线C的顶点，且抛物线C交x轴于O、B， AO=AB， 又AOB=60°， ABO是等边三角形， 过A作ADx轴于D，在RtOAD中， OD=2， AD=， 顶点A的坐

35、标为（2 ，） 设抛物线C 的解析式为（a0）， 将O（0，0）的坐标代入， 求得： a=， 抛物线C 的解析式为 （2）过A作AEOB于E， 抛物线C：y=ax2+bx+c（a0）过原点和B（4，0），顶点为A， OE=OB=2， 又直线OA的解析式为y=x， AE=OE=2， 点A的坐标为（2，2）， 将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a0）中， a=， 抛物线C 的解析式为， 又抛物线C、C关于原点对称， 抛物线C 的解析式为； （3）作AB的垂直平分线l，分别交AB、x轴于M、N（n，0）， 由前可知，抛物线C的顶点为A（2，2）， 故AB的中点M的坐标为（1，1） 作MHx

36、轴于H， MHNBHM，则MH2=HN?HB，即12=（1n）（41）， ，即N点的坐标为（，0） 直线l过点M（1，1）、N（，0）， 直线l的解析式为y=3x+2， ，解得 在抛物线C上存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为 19 P1 （ ，），P2 （ ，）； 解 得， 在抛物线C上也存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为 P3（ 5+，17 3），P4（5 ， 17+3） 点P的坐标是：P1 （ ，），P2 （ ，），P3（ 5+，17 3），P4（5 ， 17+3） 点评：本题是二次函数的综合，其中涉及到的知识点有旋转的性质，点的坐标，待定系数法求二次函数等知识点，

37、难度较大，综合性较强 4（2011?株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1 ）若测得（如图1），求a的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BFx轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标 4 ； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标 20 考点：二次函数综合题。 专题：代数几何综合题；

38、压轴题。 分析：（1）先求出B点坐标，代入抛物线y=ax2（a0）得a的值； （2）过点A作AEx轴于点E，可证AEOOFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标 （3）设A（m ，）（m0），B（n ，）（n0），易知AEOOFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，2） 解答：解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， ，AOB=90°， AC=OC=BC=2， B（2，2）， 将B（2，2）代入抛物线y=ax2（a0 ）得， （2）解法一：过点A作AEx轴于点E， 点B的横坐标为1， B（1 ，）， 又AOB=90&

39、#176;，易知AOE=OBF， 又AEO=OFB=90°， AEOOFB， ， AE=2OE， 设点A（m ，）（m0），则OE=m， ， ， m=4，即点A的横坐标为4 解法二：过点A作AEx轴于点E， 21 点B的横坐标为1， B（1 ，）， ， AOB=90°，易知AOE=OBF， ， AE=2OE， 设点A（m ，）（m0）， 则OE=m ， ， m=4，即点A的横坐标为4 解法三：过点A作AEx轴于点E， 点B的横坐标为1， B（1 ，）， 设A（m ，）（m0）， 则 ， ， AOB=90° AB2=OA2+OB2， （1+m）2+（+m2）2=+m

40、2+m4， 解得：m=4，即点A的横坐标为4 （3）解法一：设A（m ，）（m0），B（n ，）（n0）， 设直线AB的解析式为：y=kx+b ，则， （1）×n+（2）×m 得， （8分） 又易知AEOOFB， ， ， mn=4， 22 由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，2） （说明：写出定点C的坐标就给2分） 解法二：设A（m ，）（m0），B（n ，）（n0）， 直线AB与y轴的交点为C，根据SAOB=S梯形ABFESAOESB0F=SAOC+SBOC， 可得， 化简，得 又易知AEOOFB， ， ， mn=4， OC=2为固定值故直线AB恒过其与y轴的交点C

41、（0，2）， 说明：mn的值也可以通过以下方法求得 由前可知， ， ， 由OA2+OB2=AB2 ，得：， 化简，得mn=4 本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分 点评：本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质，第（3）问求出mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度 5（2011?漳州）如图1，抛物线y=mx211mx+24m （m0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且BAC=90° （1）填空：OB= 3 ，OC= 8 ； （2）连接OA，将OAC沿x轴翻折后得ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解

42、析式； （3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值 23 考点：二次函数综合题。 分析：（1）根据二次函数与x轴交点坐标求法，解一元二次方程即可得出； （2）利用菱形性质得出ADOC，进而得出ACEBAE，即可得出A点坐标，进而求出二次函数解析式； （3）首先求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式，进而利用S四边形AMCN=SAMN+SCMN求出即可 解答：解：（1）抛物线y=mx211mx+24m （m0

43、）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）， 抛物线与x轴的交点坐标为：0=mx211mx+24m， 解得：x1=3，x2=8， OB=3，OC=8 （4分）； （2）连接AD，交OC于点E， 四边形OACD是菱形， ADOC，OE=EC=×8=4， BE=43=1， 又BAC=90°， ACEBAE， =， AE2=BE?CE=1×4， AE=2，（6分） 点A的坐标为 （4，2）（7分） 把点A的坐标 （4，2）代入抛物线y=mx211mx+24m，得m=， 抛物线的解析式为y=x2 +x12； （9分） （3）直线x=n与抛物线交于点M， 点M的坐标为 （n

44、，n2 +n12）， 由（2）知，点D的坐标为（4，2）， 则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=x4， 点N的坐标为 （n，n4）， MN=（n2 +n12）（n4）=n2+5n8，（11分） S四边形AMCN=SAMN+SCMN=MN?CE=（n2+5n8）×4 =（n5）2+9 （13分） 当n=5时，S四边形AMCN=9 （14分） 24 点评：此题主要考查了二次函数与坐标轴交点坐标求法以及菱形性质和四边形面积求法等知识，根据已知得出ACEBAE是解决问题的关键 6（2011?湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A

45、，B两点（点A在点B的左侧） （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，CD，AD，试证明ACD为直角三角形； （3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题。 分析：（1）由定点列式计算，从而得到b，c的值而得解析式； （2）由解析式求解得到点A，得到AC，CD，AD的长度，而求证； （3）由（2）得到的结论，进行代入，要使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是AB平行且等于EF，那么只需将E点的坐标向左或向右平移AB长个单位即可得出F点

46、的坐标，然后将得出的F点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的F点 解答：解：（1 ）由题意得， 解得：b=2，c=3， 则解析式为：y=x2+2x3； （2）由题意结合图形 则解析式为：y=x2+2x3， 解得x=1或x=3， 25 由题意点A（3，0）， AC=， CD=， AD=， 由AC2+CD2=AD2， 所以ACD为直角三角形； （3）A（3，0），B（1，0）， AB=4， 点E在抛物线的对称轴上， 点E的横坐标为1， 当AB为平行四边形的一边时，EF=AB=4， F的横坐标为3或5， 把x=3或5分别代入y=x2+2x3，得到F的坐标为（3，12）或（5，12）

47、； 当AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分， F点必在对称轴上，即F点与D点重合， F（1，4） 所有满足条件的点F的坐标为（3，12），（5，12），（1，4） 点评：本题考查了二次函数的综合运用，本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点主要考查学生数形结合的数学思想方法 7（2011?岳阳）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践应用探究的过程： （1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直

48、角坐标系，请你求出抛物线的解析式 （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答： I如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在x轴 上设矩形ABCD的周长为l求l的最大值 II?如图，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P 为直线0M上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线

49、于点Q问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由 26 考点：二次函数综合题。 分析：（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当x=2时，正好是汽车宽度，求出即可； （3）I首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； II?利用等腰直角三角形的性质得出QN=AB=AO，以及P在y=x的图象上，即可得出P点的坐标 解答：解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点， 代入顶点式得： y=a（x5）2+6.25， 0=a（105）2+6.25， 解得：a=0.

50、25， y=0.25（x5）2+6.25； （2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时， 103×2=4， 4÷2=2， x=2代入解析式得： y=0.25（25）2+6.25； y=4， 43.5=0.5， 隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶； （3）I假设AO=x，可得AB=102x， AD=0.25（x5）2+6.25； 矩形ABCD的周长为l为：l=20.25（x5）2+6.25+2（102x）=0.5x2+x+20， l 的最大值为： =20.5 II?当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， P在y=x的图象上，过P点

51、作x轴的垂线交抛物线于点Q 27 POA=OPA=45°， Q点的纵坐标为5， 5=， 解得：m=5 ±， 当P3NQ3=90°时，过点Q3作Q3K1对称轴， 当NQ3K1为等腰直角三角形时，NP3Q3为等腰直角三角形， Q点在OM的上方时，P3Q3=2Q3K1，P3Q3= x， Q3K1=5x， Q点在OM的下方时，P4Q4=2Q4K2，P4Q4=x （）， Q4K2=x5， x2x+10=0， 解得：x1=4，x2=10， P3（4，4），P4（10，10） 使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为： （5 ，5 ）或（ 5+， 5+）或（4

52、，4）或（10，10） 点评：此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，根据函数图象获取正确点的坐标以及利用y=x图象上点的性质是解决问题的关键 8（2011?永州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2，1），B（0，7）两点 （1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）当x为何值时，y0？ （3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标 28 考点：二次函数综合题。 分析：（1）根据待定系数法求二次函数解析式，再用配方法或公式法求出对称轴即可； （2）求出二次函数与x轴交点坐标即可，再利用函数图象得出x取值范围； （3）利用正方形的性质得出横纵坐标之间的关系即可得出答案 解答：解：（1）二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（2，1），B（0，7）两点 ， 解得：， y=x2+2x+7， =（x22x）+7， =（x22x+1）1+7， =（x1）2+8， 对称轴为：x=1 （2）当y=0， 0=（x1）2+8， x1=± 2， x1