北师大版初一数学(上)讲义--字母表示数

1、北师大版初一数学(上)讲义-字母表示数 第三章：字母表示数 学问梳理 一、字母表示什么 字母可以表示任何数。 1、用字母表示数的运算律和公式法则 1加法交换律 加法结合律 2乘法交换律 乘法安排律 2、用字母表示计算公式 1长方形的周长面积 （a、b分别为长、宽） 2正方形的周长，面积a表示边长） 3长方体的体积，表面积a、b、c分别为长、宽、高） 4正方体的体积,表面积a表示棱长） 5圆的周长面积（r为半径） 6三角形的面积（a表示底边长，h表示底边上的高） 3、在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。 用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必需使这个问题有

2、意义，并且符合实际。 4、留意书写格式的规范 (1) 表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“”，但通常省略不写； 数字与数字相乘必需写乘号； (2) 数和字母相乘时，数字应写在字母前面； (3) 带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数； (4) 除法运算写成分数形式 ，分数线具 “ ”号和“括号”的双重作用。 (5) 在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加 括号后再写单位。 二、代数式 1、代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫代数式。 如： n-2 、 0.8a、2n +500、abc、2ab+2bc +2ac （单独一个数或一个字母也

3、是代数式）【留意】列代数式时，数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常用表示或省略不写，并且把数字写在字母的前面，除法运算通常写成分数的形式。 2、单项式：表示数与字母的积的代数式叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。其中的数字因数（连同符号）叫单项式的系数，全部的字母的指数的和叫单项式的次数。 【留意】书写时，系数是1的时候可省略； 是数字，不是字母。 3、多项式：几个单项式的和叫多项式，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。 每个单项式称为项。 4、单项式多项式统称为整式。 【典型例题】 【例1】列代数式表示（留意规范书写） 1、某商品售价为a元，打八折后又降价20元，则现价为_元 2、橘

4、子每千克a元，买10kg以上可享受九折优待，则买20千克应付_元钱. 3、如图，图1需4根火柴，图2需_根火柴，图3需_根火柴， 图n需_根火柴。 （图1） （图2） （图n） 4、温度由t下降3后是_. 5、飞机每小时飞行a千米，火车每小时行驶b千米，飞机的速度是火车速度的_倍. 6、无论a取什么数，下列算式中有意义的是（ ） a. 1 a 1 b. 1 a 1 c. a 1 2 d. 1 2a 1 7、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为a，排数比每排同学数的3倍还多2，那么全班同学数为（ ） 3a 2 a. a b. a(3a 2) c. a 3a 2 d. 3a(a 2) 【例2】填

5、空 x2y 的系数为_，次数为_； 3 3a 2b2的次数为_ ；ab2的系数是； x2的系数是 1 x2的系数是 2 代数式5x y x2 x 1有 项，其次项的系数是 ，第三项的系数是 ，第 四项的系数是 【例3 】下列不是代数式的是（ ） s a . 0 b . c . x 1 d . x 0.1y2 t 【例4】用代数式表示 一个两位数的个位是a，十位是b，用代数式表示这个两位数。(思索三位数或更多位数的数怎么表示？） 全体奇数、偶数。 被5除余1的数。 【例5】用语言描述以下代数式的意义 3a 2b； 【例6】将下列语句转换为代数式 a除以b与c之和的商加上b与c之积的和 a减去a与

6、b的商的差与c的平方的积 aa ba；(a b)c ； bca ba b 三、合并同类项 1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 【留意】 两个相同:字母相同；相同字母的指数相同. 两个无关:与系数无关;与字母挨次无关. 如：100a和200a，240b和60b，-2ab和10ba 2、合并同类项法则 （1）写出代数式的每一项连同符号，在其中找出是同类项的项； （2）合并同类项：同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变. （3）不同种的同类项间，用“+”号连接 （4）没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄。 例如：合并同类项3x2y和5x2y，字母

7、x、y及x、y的指数都不变，只要将它们的系数3和5相加，即3x2y+5x2y=（3+5）x2y=8x2y 3、合并同类项的步骤 （1）精确的找出同类项； （2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起； （3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变； （4）写出合并后的结果. 4、留意 （1）不是同类项不能合并； （2） 求代数式的值时,假如代数式中含有同类项,通常先合并同类项再代入数值进行计算. 【典型例题】 【例1】推断下列各组中的两个项是不是同类项： 25 （1）a2b和 a2b （2）2m2np和 pm2n (3) 0和 1 37 【例2】下列各组中： 1111 5x2

8、y与xy； 5x2y与yx2；5ax2与yx2；83与x3； x2与 x2；3x2 2555 与x；3x2与2，同类项有（填序号） 1111 【例3】假如xky与-x2y是同类项，则k=_，xky+（-x2y）=_ 3333 【例4】直接写出下列各式的结果： 11 xy+xy=_； （2）7a2b+2a2b=_； 22 11 （3）-x-3x+2x=_； （4）x2y-x2y-x2y=_； 23 （1）- （5）3xy2-7xy2=_ 【例5】合并下列多项式中的同类项 （1） 4x2y-8xy2+7-4x2y+10xy2-4； （2）a2-2ab+b2+a2+2ab+b2 （3）3x2 5x

9、6x2 1 （4）6xy2 2x2 4x2y 5yx2 x2 1 【例6】若x 0,y 0，xy2 axy2 0，则a 2 四、去括号法则 1、去括号法则 括号前是“+”号，把括号和前面的“+”号去掉，括号里的各项的符号都不转变。 括号前是“”号，把括号和前面的“”号去掉，括号里的各项的符号都要转变。 2、去括号法则中乘法安排律的应用：若括号前有因式，应先利用乘法安排律绽开，同时留意去括号时符号的变化规律。 3、多重括号的化简原则：（1）由里向外逐层去掉括号（2）由外向里逐层去掉括号； 【典型例题】 【例1】一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字2倍少3，这个两位数是 【例2】去括号，合

10、并同类项 （1）3（2s5）+6s (2)3x5x（x4） （3）6a24ab4(2a2+ ab) （4） 3(2x2 xy) 4(x2 xy 6) （5） (x y) (x y) （6）2(m n) 3(m x) 2x 1 2 12 （7）2x2 3x 1 (5 3x x2) （8）(2a2 11 3a) 4(a a2 ) 22 111 （9）a (5a 3b) 2( a 2b) （10）m2n nm2 mn2 n2m 326 五、代数式求值先化简，再求值 代数式求值： 1）用详细的数值代替代数式中的字母，根据代数式的运算关系计算，所得的结果是代数式 的值。 2）求代数式的值时应留意以下问题

11、: 严格按求值的步骤和格式去做 一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值代替，若有多个字母， 代入时要留意 对应关系，千万不能混淆 在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算符号不变； 字母取负数代入时要添括号。 有乘方运算时，假如代入的数是分数或负数，要加括号。 【典型例题】 1(x y)222 【例1】当x=，y=-3时，求下列代数式的值:（1）3x-2y+1； （2） 3xy 1 【例2】当x 2时，求代数式5x (4x 1)的值 【例3】已知a，b互为倒数，m，n互为相反数，求代数式 (2m 2n 3ab)2的值 【例4】化简，求值： 11312 x 2(x y2) ( x

12、y2),其中x 2,y 23233 12 9ab 6b2 3(ab b2) 1，其中(a )4 99|b 1| 0 23 课后针对训练（一） 1、甲乙两地相距x千米，某人原方案t小时到达，后因故提前1小时到达，则他每小时应比原方案多走 千米； 2(a b)2 2、代数式3xy 2 x的次数是 的系数是5 2 2 3、当x - y=2时，代数式（x - y）2+2（x - y）+5的值是_ 4. 已知4 y 2 2y + 5=9时，则代数式2 y 2 y + 1等于_ 5.已知a-1+(2a-b) 2=0,那么3ab15b 2-6ab+15a-2b 2等于_ 1x2 4xy22 6、当x=3，y

13、=时，求下列代数式的值:（1）2x-4xy+4y； （2） 2 22xy y11 7、小明读一本共m页的书，第一天读了该书的，其次天读了剩下的 35 （1）用代数式表示小明两天共读了多少页（2）求当m=120时，小明两天读的页数 8、当x= -1,y= -2时，求2x2 -5xy+2y2 -x2-xy-2y2-3x2的值。 1 9、.去括号 (a2b 2ab2 3) 1 2( 3a2 4ab ) 3 10、 a 2b 3c的相反数是（ ） a. a 2b 3c b. a 2b 3c c. a 2b 3c d. a 2b 3c 11、化简2a5(a1)的结果是 （ ） a3a5 b3a5 c3a

14、5 d3a1 12求下列多项式的值:（1） 221211a-8a-+6a-a2+，其中a=； 32342 （2）、3xy+2xy-7xy- 13、先化简，再求值。 2222 3122 xy+2+4xy，其中x=2，y= 24 （1）（5a23b2）(a2b2)(5a22b2) 其中a=1，b1 （2）9a6a2（aa） 其中a=2 14、（1）已知一个多项式与a22a+1的和是a2 +a1，求这个多项式。 （2）已知a=2x2y2+2z,b=x2y2 +z ,求2ab 3 2 3 2 3 2 课后针对训练（二） 1将如图两个框中的同类项用线段连起来: 2当m=_时，-x3b2m与 13 xb是

15、同类项 4 3假如5akb与-4a2b是同类项， 那么5akb+（-4a2b）=_ 第1题 4、下列各组中两项相互为同类项的是（ ） 22 xy与-xy2; b0.5a2b与0.5a2c; 3 1 c 3b与3abc; d-0.1m2n与m2n 2 a 5、下列说法正确的是（ ） a字母相同的项是同类项 b只有系数不同的项，才是同类项 c-1与0.1是同类项 d-x2y与xy2是同类项 6、合并下列各式中的同类项: （1）-4xy-8xy+2xy-3xy； （2）3x-1-2x-5+3x-x； （3）-0.8a2b-6ab-1.2a2b+5ab+a2b； （4）5yx-3x2y-7xy2+6x

16、y-12xy+7xy2+8x2y （5）2（x - y）23（x - y）+5（x - y）2 + 3（x - y） 7、先化简，再求值 2 2 2 2 2 2 2(a2b ab2) 2(a2b 1) 2ab2 2，其中,a 2,b 2 8、已知（a2）2+10，求5ab22a2b（4ab22a2b）的值。 课后针对训练（三） 1、代数式 1 xy的系数是_. 2 2、 2ab 的系数为 3、化简：2y2 6y 3y2 5y=_ 4、下列各题中，去括号正确的是（ ） a. 2a2 (3a 2b c) 2a2 3a 2b c b. 3a (5b 2c 1) 3a 5b 2c 1 c. a ( 3

17、x 2y 1) a 3x 2y 1 d. (a 2b) (c 2) a 2b c 2 5、 a 2b 3c的相反数是（ ） a. a 2b 3c b. a 2b 3c c. a 2b 3c d. a 2b 3c 6、计算：5(2x 7y) 3(4x 10y) 7、计算 22 3 1 1 3 4 5 1 8、计算16 ( 22) ( ) ( 2)2 4 9、长方形的一边长为3a 2b，另一边比它大a b，求这个长方形的周长。 力量提升 力量提升1：用字母表示数 初一数学(上册)讲义 第 12 页 初一数学(上册)讲义 第 13 页 力量提升2：图形关系的代数表示 有些数量关系表现为图形中的数量关

18、系，假如能将这些关系表示为代数式，这样就初步地实现了数与形相结合，抽象与直观相结合，对培育数学力量是特别重要的。 初一数学(上册)讲义 第 15 页 初一数学(上册)讲义 第 16 页 初一数学(上册)讲义 第 17 页 力量提升3：由代数式绽开的推理 初一数学(上册)讲义 第 19 页 力量提升4：求代数式的值 用详细的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特别的过程详细求解代数式值的问题时，对于较简洁的问题，代入直接计算并不困难，但对于较简单的代数式，往往是先化简，然后再求值下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧 【例1】 求下列代数式的值： （1）5ab 4 2

19、 132113 ab 2ab a3b2 2ab a2b 5，其中a 1,b 2； 2424 2 2 2 2 （2）3xy xyz (2xyz xz) 4xz 3xy (4xyz 5xz 3xyz)，其中x 1,y 2,z 3. 分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，简单出错我们可以利用已经学过的有关概念、 法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的精确性 =0-4a3b2-a2b-5 =-413(- 2)2- 12(-2)-5 =-16+2-5=-19 (2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2z3x2y-(xyz-5x

20、2z) =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z) =(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z =2(-1)2(-3)-2(-1)2(-3) =12+6=18 说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值去、添括号时，肯定要留意各项符号的变化 【例2】已知a b 1，求a 3ab b的值 分析 由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值下面给出本题的五种解法 解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简 a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3 =b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3 =-1 说明 这是用代入消元法消去a化简求值的 解法2 由于a-b=-1，所以 原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+a