垂径定理赵州桥

1、1、已知：如图，、已知：如图， O 中，弦中，弦ABCD，ABCD ，直径直径MNAB，垂足为，垂足为E，交弦，交弦CD于点于点F.图中相等的线段有图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有 .FEOMNABCDDOABC2、已知：如图，、已知：如图， O 中，中， AB为为 弦，弦，C 为为 AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求 O 的半径的半径OA.EOABDC已知：如图，直径已知：如图，直径CDAB，垂足为，垂足为E .若半径若半径R = 2 ，AB = , 求求OE、DE 的长的长. 若半径若半径R = 2 ，OE = 1

2、 ，求，求AB、DE 的长的长.由由 、两题的启发，你还能编出什么其他问题？两题的启发，你还能编出什么其他问题？32解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为R米，米，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设ABABABAB37.47.2OABCRD, 2 . 7, 4 .37CDABABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理

3、，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（米）（米）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9米米.在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示示.若油面宽若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. BAO600 650ED 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题来解决问题

4、.3、对于一个圆中的弦长、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆半径、圆半径r、弓形、弓形高高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：外两个量，如图有：hda2Od + h = r222)2(adr1、在直径为在直径为52cm的圆柱形油槽内装入的圆柱形油槽内装入一些油，油的最大深度为一些油，油的最大深度为16cm，那么，那么油面油面AB= cm.2、有一圆弧形桥拱，拱的跨度、有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16m,拱高拱高CD=4m,那么弓形的半径那么弓形的半径是是 m. 3.AB为为 O的直径，

5、的直径，C为圆上一点，弦为圆上一点，弦 CDAB，OCD的平分线交的平分线交 O于于P，当点当点C在上半圆（不包括在上半圆（不包括A.B）上移动时，）上移动时，点点P（ ） A.到到CD的距离不变的距离不变 B.位置不变位置不变 C.等分等分DB D.随点随点C的移动而移动的移动而移动 4. O半径为半径为5cm，弦，弦ABCD,且且AB=6cm，CD=8cm，求，求AB、CD之间的距之间的距离。离。 5、 O中，中，AB为直径，弦为直径，弦CD交交AB于于E，DEB=60，AE=1cm，EB=5cm.求弦求弦CD 的长。的长。E 在我们生活中处处存在数学问题，比在我们生活中处处存在数学问题，

6、比如：某村在村口建一个如图形状的门楼，如：某村在村口建一个如图形状的门楼，半圆拱的圆心距地面米，半径半圆拱的圆心距地面米，半径.米。米。现有一辆高现有一辆高.米，宽米，宽.米的集装箱米的集装箱卡车，问能通过这个门楼吗？要解决这卡车，问能通过这个门楼吗？要解决这个问题，必须运用圆的有关知识，个问题，必须运用圆的有关知识， 图示，在直角三角形中，角图示，在直角三角形中，角为直角，以为为直角，以为圆心，为半径作圆，交与点，圆心，为半径作圆，交与点，求的长。求的长。OABC3.AB为 O的直径，C为圆上一点，弦D.随点C的移动而移动 1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱多年前，我国隋

7、朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对是弦的长）为是圆弧形，它的跨度（弧所对是弦的长）为 37.4 米，拱高（弧米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径（精米，求桥拱的半径（精确到确到0.1米）米）.赵赵 州州 桥桥赵州桥的主要特点：赵州桥的主要特点：1、全长、全长64.4米，全桥只有一个大拱，像一张弓；跨度为米，全桥只有一个大拱，像一张弓；跨度为 37.4 米，米，拱高为拱高为7.2米米;2、大拱的两肩上各有两个小拱，增加过水量，减轻桥身重量；、大拱的两肩上各有两个小拱，增加过水量，减轻桥身重量；3、拼成大拱的二十

8、八道拱圈都能独立支撑重量；、拼成大拱的二十八道拱圈都能独立支撑重量；4、全桥形式优美，结构坚固，历史悠久，雕刻古朴美观，。、全桥形式优美，结构坚固，历史悠久，雕刻古朴美观，。赵州桥平拱赵州桥平拱示意图示意图赵州桥的传说 鲁班和他的妹妹鲁姜周游天下。一路上，鲁姜总是听到人们夸赞鲁班的手鲁班和他的妹妹鲁姜周游天下。一路上，鲁姜总是听到人们夸赞鲁班的手艺高超，她心里太不服气了，决心要跟哥哥比试比试。到了赵州，正巧要在河艺高超，她心里太不服气了，决心要跟哥哥比试比试。到了赵州，正巧要在河上造两座桥方便人们的生活，鲁姜就同哥哥约定，一人造一座，看看谁造得好。上造两座桥方便人们的生活，鲁姜就同哥哥约定，一

9、人造一座，看看谁造得好。 鲁姜是个急性子，她一下子找来了许多材料，才半天功夫就在城西造好了一座鲁姜是个急性子，她一下子找来了许多材料，才半天功夫就在城西造好了一座桥，然后悄悄地溜到城南去偷看鲁班。到了那里，只见河水汩汩地流，却连个桥，然后悄悄地溜到城南去偷看鲁班。到了那里，只见河水汩汩地流，却连个桥影子也看不到。正觉得奇怪呢，忽然远远地，鲁班赶着一群羊过来了。走近桥影子也看不到。正觉得奇怪呢，忽然远远地，鲁班赶着一群羊过来了。走近了一瞧，那哪是羊啊，分明是一块块雪白细润的石头。鲁姜看得心头一凉：多了一瞧，那哪是羊啊，分明是一块块雪白细润的石头。鲁姜看得心头一凉：多好的石头！我造的桥跟它比，那怎

10、么比啊！嘿，对了，我有办法了！她急急忙好的石头！我造的桥跟它比，那怎么比啊！嘿，对了，我有办法了！她急急忙忙地回到城西，在自己造的那座桥的栏杆上细细地雕刻起来，什么牡丹呀、杜忙地回到城西，在自己造的那座桥的栏杆上细细地雕刻起来，什么牡丹呀、杜鹃呀、牛郎织女呀、凤鸣朝阳呀，一口气刻了好多好多非常漂亮的图案。第二鹃呀、牛郎织女呀、凤鸣朝阳呀，一口气刻了好多好多非常漂亮的图案。第二天天一亮，两座桥都造好了。鲁班修的大刀阔斧，气势雄伟，十分壮观，被后天天一亮，两座桥都造好了。鲁班修的大刀阔斧，气势雄伟，十分壮观，被后人称为大石桥；鲁姜修的则小巧玲珑，各种图案精雕细刻，秀气美观，被后人人称为大石桥；鲁姜

11、修的则小巧玲珑，各种图案精雕细刻，秀气美观，被后人称作小石桥。两座桥各有各的优点，都深得赵州人民的喜爱。称作小石桥。两座桥各有各的优点，都深得赵州人民的喜爱。兄妹造桥兄妹造桥 仙人过桥仙人过桥 鲁班一夜之间修成大石桥，人们奔走相告，到处传颂。八仙之一的张果鲁班一夜之间修成大石桥，人们奔走相告，到处传颂。八仙之一的张果老听说后，就倒骑毛驴，亲自到赵州看个究竟。张果老在桥头见到鲁班，问老听说后，就倒骑毛驴，亲自到赵州看个究竟。张果老在桥头见到鲁班，问道：道：“先生，你这桥能禁得住我的毛驴一过吗？先生，你这桥能禁得住我的毛驴一过吗？”鲁班毫不在意地说：鲁班毫不在意地说：“你你看这桥上行人客商，千军万

12、马来往不绝，你这小小毛驴不在话下，先生但过看这桥上行人客商，千军万马来往不绝，你这小小毛驴不在话下，先生但过无妨。无妨。”张果老暗暗用法术聚来日月星辰装进肩上的搭裢，笑眯眯地倒骑毛张果老暗暗用法术聚来日月星辰装进肩上的搭裢，笑眯眯地倒骑毛驴走上了桥。当毛驴走到三分之一处时，大桥被压得摇摇晃晃，形势危急。驴走上了桥。当毛驴走到三分之一处时，大桥被压得摇摇晃晃，形势危急。鲁班急忙飞身桥下，用大手托住桥身，保住了大桥。鲁班感到怪异，合住左鲁班急忙飞身桥下，用大手托住桥身，保住了大桥。鲁班感到怪异，合住左眼用右眼细细观察，才发现骑驴的老头原来是仙人张果老，毛驴虽小，但是眼用右眼细细观察，才发现骑驴的老头原来是仙人张果老，毛驴虽小，但是却装着日月星辰。此后，桥面石上就留下了仙人的驴蹄印。却装着日月星辰。此后，桥面石上就留下了仙人的驴蹄印。 柴王推车柴王推车 柴王听到鲁班在赵州修桥的消息后，为国家有这样的贤良能人而高兴。柴王听到鲁班在赵州修桥的消息后，为国家有这样的贤良能人而高兴。他便推上独轮车，装载三山五岳，由赵匡胤拉车，来赵州桥考查封赏鲁班。他便推上独轮车，装载三山五岳，由赵匡胤拉车，来赵州桥考查封赏鲁班。小车将至桥巅，因为车沉桥陡，柴王脚下一滑，单膝跪在桥上，把桥面上压小车将至桥巅，因为车沉桥陡，柴王脚下一滑，单膝跪在桥上，把桥面上压了一个