第六单元微分方程

1、第六单元 微分方程一、 微分方程的一般概念1、定义：含有未知函数的导数或微分的等式。 2、阶：未知函数最高阶导数的阶数。（一阶、二阶） 3、通解：含有与阶数相同个数的任意常量，且不能合并。 4、特解：不含任意常量的解。 5、初始条件：一阶：二阶：y(x0)=y0,y /(x0)=y /0二、一阶微分方程的解法 1、可分离变量方程：形如F(x)g(y)dx+f(x)G(y)dy=0或y /=f1(x)f2(y)， 分离变量后为：,两端同时积分即可求出通解。 2、齐次方程：形如，令代入原方程，化为关于以u为新的未知函数的可分离变量方程，求出u，从而得到y的表达式。 3、一阶线性方程：y /+P(x

2、)y=Q(x) 当Q(x)0时，y /+P(x)y=0称为一阶线性齐次方程，用分离变量法求解。 当Q(x)0时，y /+P(x)y=Q(x)称为一阶线性非齐次方程，其通解求法为（1）公式法： （2）常数变易法：先解出y /+P(x)y=0的通解为y=cu(x),再将c看作函数c(x)，求出导数y /=c /(x)u(x)+ c(x)u /(x)，代入原方程，求出c(x)，从而得到其通解。三、二阶常系数线性微分方程的解法 1、一般形式：y/+py /+qy=f(x)，其中p、q为常数，f(x)称为自由项。 2、解的结构：若Y是y/+py /+qy=0的通解，y是y/+py /+qy=f(x)的一

3、个特解，则y=Y+ y是y/+py /+qy=f(x)的通解。 3、当f(x)0时，y/+py /+qy=0称为二阶常系数线性齐次微分方程。 解法：特征根法 列出特征征方程：，解出r1,r2，讨论：（1） 若r1r2，通解为（2） 若r1=r2=r，通解为（3） 若，通解为 4、当f(x)0时，y/+py /+qy=f(x)称为二阶常系数线性非齐次微分方程。 解法：先求出y/+py /+qy=0的通解Y，再求特解y y的求法：（1） 自由项f(x)为n次多项式Pn(x)时，设 （Qn(x)是与Pn(x)同次的多项式，其系数设为A、B、） 讨论：特征根r1r20,取k=0 特征根r1或r2=0,

4、取k=1 特征根r1=r2=0,取k=2（2） 自由项f(x)=Pn(x)ex时，设ex（Qn(x)是与Pn(x)同次的多项式，其系数设为A、B、） 讨论：不是特征方程的根，取k=0 是特征方程的单根，取k=1 是特征方程的重根，取k=2（3） 自由项f(x)= ex（Acosx+Bsinx）时，设ex(Ccosx+Dsinx）讨论：±i不是特征方程的根，取k=0 ±i是特征方程的单根，取k=1四、可降阶的微分方程 1、一般形式：y(n)=f(x) 2、求解方法：两边同时积分，得到n-1阶的微分方程， 接连积分n次，含有n个任意常数项。五、y/=f(x,y /)型微分方程

5、（不含未知函数的一次项） 求解方法：右端不显含未知函数，设y /=p,则，原方程变为p /=f(x,p)，是一个关于变量x,p的一阶微分方程，设其通解为p=(x,c1),再由两端积分得 六、y/=f(y,y /)型微分方程 （不含自变量的项） 求解方法：右端不显含自变量的项，设y /=p,则， 将y /=p，代入原方程，使其降为关于p的一阶微分方程，解出p后，再用p=y /代入，得到关于y /的微分方程，再求出y,得到方程的通解。 例如：求的通解 解：令 两端同时积分得： 所以，。例1 求xyy /=1-x2的通解解：分离变量 两端积分 ， 即：x2+y2=2lnx+c例2 求(xy2+x)d

6、x+y(1+x2)dy=0的通解解：原方程变形为 x（y2+1)dx+y(1+x2)dy=0 分离变量 两端积分 即：（1+x2）(1+y2)=c例3 已知f /(x)=1+x2,且f(0)=1,求f(x) (解初值问题) 解：分离变量 df(x)=(1+x2)dx 两端积分 因f(0)=1,即1=0+c,所以c=1 故 例4 求的通解 （奇次方程，变量替换）解：方程变形为 代入前式，化简得 ，两端积分得 例5 求的通解 （一阶非齐次方程，化成一般形式）解：法一（公式法）因 所以 法二（常数变易用法）由y /+xy=0得 两端积分 设原方程的通解为，则 代入原方程得 即 所以，通解为 例6 设

7、曲线y=f(x)上任意一点(x,y)处的切线斜率为，且该曲线经过点，求（1） 求曲线y=f(x)（2） 求曲线y=f(x),y=o,x=1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积。解：（1）由题意知 所以 由 （2）xy / +y =2x例7 设函数y=f(x)由微分 确定，求（1） 函数y=f(x)的表达式（2） 讨论函数y=f(x)在（0,+）内的单调性 解：（1）方程化为 ，则 由（2）因在（0,+）内 故在（0,+）内的单调增加。 例8 设f(x)为连续函数，且由所确定，求f(x). 解：两端同时求导得 xf(x)=2x+f /(x),记y=f(x),上式变为 y /-xy=-2x,所以

8、当x=0时，代入得c=-2，故（初始条件不明显，可取上限x=0） 例9 求y/+y /-2y=0的通解 解：特征方程为 r2+r-2=0,解得r1=1,r2=-2 （r1r2） 所以通解为 例10 求y/+ 2y=0的通解 解：特征方程为 r2 +2=0,解得 （无） 所以通解为 例11 求y/+y /=0的通解 解：特征方程为 r2+r=0,解得r1=0,r2=-1 （r1r2） 所以通解为 例12 求以y=(c1+c2x)ex为通解的二阶线性常系数齐次微分方程。 解：法一：由y=(c1+c2x)ex知其特征根为重根r=1，相应的特征方程为,即r2-2r+1=0,从而知其对应的微分方程为：

9、y/-2y /+y=0 法二：因y=(c1+c2x)ex（1） y /=c2 ex+(c1+c2x)ex（2） y/=2c2 ex+(c1+c2x)ex（3） (3)-(2)×2+(1),消去c1,c2得y/-2y /+y=0 例13 已知二阶线性常系数齐次方程的两个特解为y1=ex,y2=e2x,求相应的微分方程。 解：由y1=ex及y2=e2x可知，原方程必有特征根r1=1,r2=2,故特征方程为（r-1）(r-2)=0,即r2-3r+2=0,所求的微分方程为： y/-3y /+2y=0 例14 求y/+y /-2y=e-x的通解 (Qn(x)为x的零次方) 解：对应的齐次方程的

10、特征方程为 r2+r-2=0,解得 r1=1,r2=-2,所以，对应的齐次方程的通解为Y=c1ex+c2e-2x 因自由项f(x)=e-x,=-1不特征根，取k=0,故设 (xkQn(x)e-x) ，代入原方程解得 所以，通解为 例15求微分方程y/+3y /=3x的通解 解：对应的齐次方程的特征方程为 r2+3r=0,解得 r1=0,r2=-3,所以，对应的齐次方程的通解为Y=c1+c2e-3x， 因自由项f(x)=3x,r1=0是特征方程的单根，取k=1,故设 (xkQn(x)代入原方程，得2a+6ax+3b=3x,比较系数有：2a+3b=0,6a=3,解得,因此 所以，通解为 例16求微

11、分方程y/+2y /+y=xex的通解 解：对应的齐次方程的特征方程为 r2+2r+1=0,解得 r1=r2=-1,所以，对应的齐次方程的通解为Y=（c1+c2x）e-x 因自由项f(x)=xex,=1不是特征根，取k=0,故设 (xkQn(x)ex)代入原方程整理得：4Ax+4(A+B)=x, 比较系数有：4A=1,4(A+B)=0,解得，因此 所以，通解为：例17 求微分方程y/=e2x-cosx的通解 解：对所给方程连续积分三次，得： 例18 求y/=xex满足的特解。 解：对所给方程连续积分三次，得： 例19 求微分方程(1+x2)y/=2xy /的通解 （不含y,为y/=f(x,y

12、/)型，非常系数） 解：设y /=p,则y/=p /,代入方程得 分离变量得： y/=p=c1(1+x2) (取c1=±ec) 即dy=c1(1+x2)dx,两端同时积分得 例20 求当的特解（不含y,为y/=f(x,y /)型，常系数非齐次） 解：设y /=p,则y/=p /,代入方程得 分离变量得： 所以： 由 故 例21求y/+y = x2+cox的通解 解：自由项为两项之和，先求出其特解y1*和y2*，则y1*+y2*即为原方程的特解。 对应的齐次方程的特征方程为：r2+1=0,解得r=±i(1)求y/+y = x2的特解y1* 自由项为多项式，r1r20,取k=0

13、，令y1*=Ax2+Bx+Cy1*/=2Ax+B, y1*/=2A，代入y/+y = x2得2A+Ax2+Bx+C=x2,解得A=1,B=2,C=0,故y1*=x2-2(2) y/+y = cox的特解y2*=1为对应的齐次方程的单根，令y2*=Axcosx+Bxsinx, y2*/=Acosx-Axsinx+Bsinx+Bxcosx,y2*/=-Asinx-Asinx-Axcosx+Bcosx+Bcosx-Bxsinx=-2Asinx+2Bcosx-Axcosx-Bxsinx,代入y/+y=cox，得：-2Asinx+2Bcosx=cosx,解得A=0，故又，对应的齐次方程的通解为：Y=c1

14、cosx+c2sinx所以，原方程的通解为：y=Y+ y1*+ y2*= x2-2+c1cosx+c2sinx 例22求微分方程xy /+y=ex满足初始条件的特解。 （05、20） 解：方程变形为 所以 用代入，解得c=0 故特解为： 例23求微分方程y/+10y /+9y=e-x的通解 （可看作Pn(x)=1） （05B、22） 解：对应的齐次方程的特征方程为 r2+10r+9=0,解得 r1=-1，r2=-9,所以，对应的齐次方程的通解为Y=c1 e-x +c2e-9x 因自由项f(x)=e-x,=-1是特征方程的单根，故设代入原方程，解得故通解为：例24 微分方程y/+3y /=0的通

15、解为 （y=c1+c2e-3x） (05B、11) R2+3r=0,r1=0,r2=-3 例25 求微分方程x2y /=xy-y2的通解 （06、17）（齐次方程） 解：方程变形为：，令，代入上式，化简得xu /=-u2,分离变量为两端积分得 所以通解为： 例20求微分方程xy / -y=2007x2满足初始条件的特解 （07、18） 解：法一 原方程变形为： 所以 用代入，解得c=1 故特解为：y=x(2007x+1) 法二：原方程变形为： 其对应的齐次方程为：，设原方程的通解为：y=xc(x),y /=c(x)+xc /(x),代入原方程得c(x)+xc /(x)- c(x)=2007x,即c /(x)=2007, c(x)=2007x+c 所以原方程的通