工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置

1、编辑课件1编辑课件2直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。 若平面外的一直线与平面内的一若平面外的一直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。条直线平行，则该直线与此平面平行。一、直线与平面平行一、直线与平面平行利用该定理： 在平面外作一直线与平面平行 判断平面外直线与平面是否平行编辑课件3n a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？编辑课件4例例2：过：过M点作一正平线点作一正平线MN平行于平面平行于平面 ABC。c

2、b a m abcmn唯一解唯一解n 编辑课件5例例3编辑课件6不平行不平行编辑课件7二、直线与平面相交二、直线与平面相交 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点交点是直线与平是直线与平面的面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性。见性。 我们先讨论我们先讨论直线直线或或平面平面中中至少有一个至少有一个处于特殊处于特殊位置的情况。位置的情况。编辑课件8abcmnc n b a m 1、平面为特殊位置、平面为特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的

3、交点K，并判别可见性。，并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一是一铅垂面铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的的交点交点即即为为K点的水平投影。点的水平投影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KN段段在平面前，故正面投在平面前，故正面投影上影上k n 为可见。为可见。通过重影点判别可见性。通过重影点判别可见性。1 (2 )作作 图图k21k 编辑课件9例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K，并判别可见性。，并判别可见性。abcmnc n b a m 1 (2 )k21k mb

4、ckACBKMNnHa12编辑课件102、直线为特殊位置、直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为为铅垂线铅垂线，其，其水平投影水平投影积聚积聚成一个成一个点点，故故交点交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 为不可见。为不可见。作图作图用面上取用面上取点法点法km(n)bm n c b a ac1 (2 )21k 编辑课件11m km(n)bn c b a ac1 (2 )21k m (n)bckACBCMHaNk 铅垂线铅垂线编辑

5、课件123、一般位置直线与一般位置平面相交、一般位置直线与一般位置平面相交编辑课件13编辑课件14一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交辅助平面法：辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面，过直线作一特殊位置的平面，先求两平面的交线，先求两平面的交线，再求交线与已知直线的交点，再求交线与已知直线的交点，此交点即为直线与平面的交点。此交点即为直线与平面的交点。bacdeabcdemnkmnPVk编辑课件15平面与平面的相对位置平面与平面的相对位置编辑课件16一、两平面平行一、两平面平行 若一个平面内有两条相交直线分若一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，别

6、与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行。则这两个平面平行。PQABCEFGABEF；ACEGPQ例例53试判断两已知试判断两已知平面平面ABC和和DEF是否平行？是否平行？例例5-4已知由平行两直线已知由平行两直线AB和和CD给定的平面，给定的平面，试过定点作一平面平行该面？试过定点作一平面平行该面？编辑课件17二、两平面相交二、两平面相交编辑课件18两平面相交时要讨论的问题两平面相交时要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： 确定确定交线交线的的两个端点。两个端点。 先讨论两平面中先讨论两平面中至少有一个处至少有一个处于特殊位置于特殊位置的情况。的情况。 判别两平面

7、之间的相互遮挡关系，判别两平面之间的相互遮挡关系，即：即： 判别可见性。判别可见性。编辑课件19abcedfedfcabklkl空间及投影分析：空间及投影分析：DEF为铅垂面，为铅垂面，在在H面投影积聚成直线，面投影积聚成直线，交线应在此直线上，交线应在此直线上，同时又在同时又在abc，故交线的水平投影为故交线的水平投影为kl,再求再求kl.编辑课件20例例1：求矩形平面：求矩形平面P与与ABC的的交线交线MN，并判别可见性，并判别可见性。HACBPacbpHMNnmac b p cpHb作图过程作图过程判别判别可见性可见性a mnn m 空间及投影分析空间及投影分析 ABC是一般位置平面，是

8、一般位置平面， 平面平面P是是铅垂面铅垂面，其水平投影，其水平投影积聚成直线积聚成直线 pH ，pH与与abc的的交点交点m、n 即为两即为两平面交线平面交线MN的的水平性投影水平性投影。编辑课件21ac b p cpba 空间及投影分析空间及投影分析 平面平面P和和 ABC都都是是铅垂面铅垂面，它们，它们的水平投影有的水平投影有积聚性积聚性。ab与与p的的交点交点m(n) 即为两平面交线即为两平面交线MN的的积聚性投积聚性投影影。MN为铅垂线。为铅垂线。例例2：求矩形平面：求矩形平面P与与ABC的的交线交线MN，并判别可见性，并判别可见性。HACBPacbpMNM(n)n m 作图过程作图过

9、程m(n)判别判别可见性可见性编辑课件22aa c b p Pbc可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。空间及投影分析空间及投影分析平面平面P是是正垂面正垂面，正面投影，正面投影p 积聚积聚成一直线；成一直线； ABC是是一般位置平一般位置平面面。求出。求出ABC的的AC边边和和BC边边与与平面平面P的的交点交点M和和N，连接连接MN即得两平面的交线。即得两平面的交线。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线右侧，平面在交线右侧，平面ABC在上，其水平投影可见。在上，其水平投影可见。能否不用重能否不用重影点判别？影点判

10、别？能能!如何判别？如何判别？例例3：求矩形平面：求矩形平面P与与ABC的的交线交线MN，并判别可见性，并判别可见性。交点交点的正面投影的正面投影m 、n m n nm编辑课件23二、两个一般位置平面相交二、两个一般位置平面相交 用直线与平面求交点的方法求两平面的交线用直线与平面求交点的方法求两平面的交线abcdefacbdefSvPvmnmnOX编辑课件24小小 结结重点掌握：重点掌握：二、如何在平面上确定二、如何在平面上确定直线直线和和点点。三、两平面平行的条件：一定是分别位于两平三、两平面平行的条件：一定是分别位于两平 面内的面内的两组相交直线对应平行。两组相交直线对应平行。四、直线与平

11、面的四、直线与平面的交点交点及平面与平面的及平面与平面的交线交线是是 两者的共有点或共有线。两者的共有点或共有线。解题思路：解题思路：空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性判别可见性 尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性。投影特性。编辑课件25要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数

12、相等的类似多边形类似性类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性积聚性。另外两个投影类似。另外两个投影类似。 在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性实形性。 另外两个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。 编辑课件26二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上 平面上的直线平面上的直线 过平面上的两个点。过平面上的两个点。 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问题三、平行问题 直线与平面平行

13、直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。直线平行于平面内的一条直线。 两平面平行两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行于必须是一个平面上的一对相交直线对应平行于另一个平面上的一对相交直线。另一个平面上的一对相交直线。编辑课件27四、相交问题四、相交问题 求直线与平面的交点的方法求直线与平面的交点的方法 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性直接求解。有性和平面的积聚性直接求解。 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。取点的方法求解。 求两平面的交线的方法求两平面的交线的方法 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的