群题极值点偏移

1、1、（ 2017 二模）已知ln( xm)mx0 ，（ m1）有两个根x1 ， x2 ，求证： x1x20分析：几何感受明显，但有两个地方带m，常用的对称函数方法失效，但注意下图：方法一：t1x1 （ 1）故只需证明，ln( xm)x0 ，t2x2的两根 t1t20 ，即可。下面证明：Q ln( x1m)m x10，ln( t1 m)t10ln( t1m)mt1 ，( t1 , x1 <0)记: g( x)ln( xm)mx , g，(x)1m ；令 g，(x)1xm1g( x) 在（m，m ）单调递增；同理mg (x) 在（m又Q g(t1 )g( x1 )0，t1x1 ；同理 t2x

2、2 ， x1 x20 得 x1m ，mm ， 0）单调递减。t1t2只要证明 ln( xm)x0 的两根，即exxm 的两根 t1t20 即可；设 f (x)exx ，易知f ( x) 在（，0）单调递减，在（0，）单调递增，构造函数 h(x)f (x)f (x) = exe x2x ，（ x 0 ），e20 ，h( x) 在（ 0，）单调递增h ( x) exxh(x)h(0)0 ，即 f ( x)f (x) ，f (t2 )f ( t 2 )又 f (t1 )f (t2 ) ， f (t1 )f ( t2 ) ，且 t1 ， t2 <0t1 t20，x1x20，得证。方法二：证明：m

3、x1ln( x1m) ， mx2ln( x2m)1x1x2( x1）（x2+m)mm ln( x1m)ln( x2m) ln( x1m)ln( x2 m)1(x1m)( x2 +m) ，(x1m)( x2 +m)1mm2再由x1x2x1x2x1x2ln( x1m)ln( x2m) ln( x1m)ln( x2m) ln( x1 m)ln( x2 m)ln( x1m)ln( x2m)ln( x1 m)( x2 +m)得： x1 x2mmln12 ln mm20 ，（ m>1）mmx1x202、已知函数 f (x)ln x ，如果 x1x2 且 f ( x1)f ( x2 ) ，x求证： x

4、1x2 e2（方法 1）分析：已知的是相等关系所一个不等关系，已知的是函数值之间的关系所自变量之间的关系， 故考虑利用函数的单调性。 此外利用已知的相等关系将双变量降为单变量， 从而构造函数。证明： f , ( x)1 ln x ， x(0,)x2易得当 x(0,e) 时， f , ( x)0 ，当 x(e, ) 时， f , ( x)0f (x) 在 (0,e) 单调递增，在 (e,) 单调递减，且 f ( x1 )f ( x2 )0 x1ex2要证 x1x2e2 ，只要 x1e2，又易知 e2(0,e)x2x2所以只要证f ( x2 )f ( x1 )f ( e2) 即可x2构造函数 F

5、( x)f ( x) f ( e2) ， x(e,)xln e2ln x x(2ln x)ln xxxe2xe2xF , ( x)(e2x2 )(1ln x)0x2e2F ( x) 在 (e,) 单调递增，F ( x)F (e)0即 f (x)e2e2f () ，从而 f ( x2 )f () ，即原结论成立，证毕。xx2（方法2）（引入参数、设而不求，利用齐次式将双变量降为单变量）因为 f (x1)f (x2 ) ，所以可设ln x1ln x2mx1x2ln x1m1 x1 LL (1)ln x1mx2 L L(2)（1） +（ 2）得 ln x1ln x2m( x1x2 )L L (3)（

6、1） - （ 2）得 ln x1ln x2m( x1x2 )mln x1ln x2，带入（ 3）得x1x2ln xln xln x1ln x2 ( xx )x1x2 (ln xln x )12x1x212x1x212x11x2ln x1x11x2x2设 tx1(0,1) ，则 ln x1ln x2t1ln t， tx2t1要证 x1 x2e2 ，只要 ln x1ln x22只要 t1 ln t2 即可，即只要 ln t2(t1) 即可（此处很重要，指对幂分离）t12(t1) ， tt1设 g(t)ln t(0,1)t1所以 g, (t)(t1)20 ，所以 g(t) 在(0,1) 单调递增t

7、(t1)2所以 g(t)g(1)0，即 ln t2(t1)0 , 即 ln t2(t1) ，从而原结论成立，证毕t1t1注：本题变式 ln xmx 有两个不同的实数根x1 ， x2 ，求证： x1 x2 e23、已知 f ( x)xex ，若 f ( x)xex 且， f (x1 )f ( x2 )求证： x1x224、已知函数 f (x)1 x2(1a)xalnx ， a R , 有两个不同的零点 x1, x22求证： x1 x22证明： f (x) 的定义域为 (0,)fx(x1)(xa)x，显然 a0时，不符合题意a 0 时当 x(0, a)fx0f ( x) 单调递减当 x(a,),f

8、x0,f ( x) 单调递增f (x)有极小值f (a) ，且0x1x2下面证明 x1x22a构造 F (x)f (x)f (2ax),x(a,2 a)aln (2ax) alnx2x2aFx2( xa)20x(a, 2a)x( x 2a)F (x) 在 (a,2 a) 单调递减F ( x)F (a)0f (x)f (2 ax)f (x2 )f (2ax2 )又 f ( x)1f ( x2 )f ( x1 )f (2 a x2 )又 x1(0, a)2a x2(0, a)且 f (x) 在 (0, a) 单调递减x12a x2x1x22a又 f (a)1 a2(1a)aalna02lna1 a

9、 1021 a设 g (a)lna12易知 g (a) 在 (0,) 单调递增，且 g(1)0,g(2) 0由 g (a) 0易知 a1x1x22a25 、 已 知 函 数 f ( x) xlnxa x2 (aR) ， 若 函 数 g( x)f ( x) x 有 两 根 极 值 点2x1, x2 ,( x1x2 )求证：112aelnx1lnx2证明： g(x)xlnxa x2x,( x0)2g (x)lnxax设 h( x)lnxax,( x0)h (x)1axx当 a0 时， h ( x)0,h(x) 在 (0,) 单调 x 递增，不符合题意当 a0时，若 x(0, 1 ), h ( x)

10、0,h( x) 在 (0,1 ) 上单调递增1a1a若 x), h( x)0,) 单调递减(,h( x) 在 (aah( x)h( 1 )ln 11aa依题意 h(x) 有两根不同的零点x1 , x2 ，不妨设 0 x1x2ln 110a12ae2ae要证明112ae只要证明112即可，lnx1lnx2lnx1 lnx2下面证明：由上可知：lnx1ax1111 ( 11 )lnx2ax2lnx1lnx2ax1x2且 lnx1 lnx2a( x1 x2 )1x1x2alnx1lnx211x1x21 1)1x1x2)lnx1lnx2lnx1lnx2(x2x1(x1x1x2lnx2设 tx1 ,t(

11、0,1)故只要1(t1)2即 2tlnt t 2 10 即可x2lntt令 m(t)2tlntt21,t (0,1)m (t)2(lntt1)易知 m (t ) 在 (0,1) 单调递增m (t)m(1)0m(t)在(0,1)单调递减m(t )m(1)0即 2tlntt 210所以原结论得证。6、已知 aR ，函数 f ( x) xaex1有两个零点 x1 , x2 ,( x1 x2 ).（ 1）数 a 的取值围。（ 2）证明： ex1 ex2 2解析：设 texxlnt则原函数有两个零点可转化为lntat1 0有两个根 t1 , t2 (t1t2 )要证明 ex1ex22只要 t1t 22

12、即可（方法一）：对数均值不等式可证t1t22 (2)a（方法二）：构造函数先设 g (t)lntat 1(t0)可得 g(t ) 在 (0,1) 单调递增，在 (1,) 单调递减1aa可得 0x1x2a要证 t1t22 只要 t22x1 即可ag( 2只要 g(t2 )x1) 即可 , 又 g(t1)g (t2 )a构造函数 h(x)g (t)g( 2x)1a7、已知 f ( x)xxlnx2（1）求 f ( x) 的单调区间（2）若 f ( x)a 有两个不等实根x1 , x2112求证：x2ex18、已知函数 f (x) exax 有两个零点 x1, x2( x1x2 ) 则下列说确的是（

13、）A.x1x22B.aeC.x1x21D . 有极小值点 x0 且 x1x2 2x0解析： (1)f(x)exa 有极值点 x0lna而且 f (lna )aalna0aeex1ax10x1lnalnx1(1)(2) 又ex2ax20x2lnalnx2(2)(1)(2) 得 x1x2 lnx1lnx 2x1x2x1x21x1 x22lnx1lnx2x1x22(3) x1x2 1(4) x1x2 2lnalnx1x22lna2x0下面另证 x1x22ex1ax10x2 x1x2，ex2ax20ex1设 tx2(t1)e(t1) x1tx1lntx1t 1x1x2(t1)lnt2(要证)lntt1

14、此处不宜直接令g(t)(t1)也不要转化为只要 lnt2( t1)0 即可t1t1g(t) (t 1)lnt2(t1)0 原则是指对幂分离设 g(t)lnt2(t1)14(t 1)20t 1g (t )(t 1)2t(t 1)2tg(t) 在 (1,) 单调递增g(t)g(1) 0所以 x1x2 2再证 x1 x21x1x2tx12t lnt1（要证）只要 lntt10 即可t1t设 h(t )t1111t0lnth ( x)tt 2t 2th(t) 在 (0,) 上单调递减h(t )h(1)0x1 x219、已知 f ( x)x1 xlnx , 若 f (x)a 有两个不等实根x2 , x2

15、2求证： 112x1x2e证明：设 t1 ,t0x则 g(t )1lnt2lnt ,(t0)t2t2t则 g(t)a 有两不等实根 t1 ,t 2 ( 不妨设 t1t2 )要证112只要 t1t22 即可x1x2ee又 g (t )2(1lnt )4t2t(0, 1) 时,g (t)0, g(t ) 单调递增1e,) 时 g (t) 0, g (t ) 单调递减teg( 1)eg(t) maxe2方程 g(t )a 要有两个不等实根，则ae12即ae12且 0t1t2e下面证明 t1t21a（方法1）：2 lnt12at1lnt1lnt 22a(t1t 2 ) , 4 lnt1 lnt 2 2

16、a(t1 t2 )2lnt 22at 21t1t2t1t2t1t22a4lnt 1lnt 2lnt1lnt 22t1t21得证a（方法2）：要证 t1 t22e22只要 t2t1只要 g(t2 )g(t1 )ee又 g(t1 ) g(t2 )所以只要证 g (t1)g( 2t1)2e构造函数 h(t )g(t) g(t)e以下略10、（ 2016 年新课标 i ）已知 f (x) (x2) exa( x 1)2 有两个零点(1) 求 a 的取值围(2)设 x1, x2 是 f ( x) 的两个零点，证明：x1 x2211、 (2015 年中国科技大学自主招生考试) 已知函数ln xf ( x)

17、x(1)求函数 f (x) 的单调区间和最大值(2) 设0a b , 且 abba, 证明： ab 2e , 其中 e 为自然对数的底数12、 (2013年卷 ) 已知函数 f ( x)1x ex1x(1) 求 f ( x) 的单调区间(2) 证明：当 f ( x1 ) f ( x2 )(x1 x2 ) 时 , x1 x2 013、 (2011 年卷 ) 已知函数f ( x)ln xax 2(2a) x(1) 讨论 f ( x) 的单调性(2) 若函数 yf (x) 的图像与 x 轴交于 A, B 两点，线段AB 的中点的横坐标为x0 ，证明： f ( x0 )014、已知函数f ( x)ln

18、 xax( aR)(1) 若函数 f (x) 无零点，数 a 的取值围(2)若存在两个实数x1, x2 且 x1x2 , 满足 f ( x1 )0, f ( x2 )0 , 求证： x1 x2 e215、已知 f ( x)x ln x 的图像上有两点，其横坐标为0 x1x2 1, 且 f ( x1 ) f (x2 )(1)证明： 2x1x2 1e(2)证明： 1x12x2e(3)若 x1tx2t1, 求 t 的取值围解析： (1)f (x)1ln x , 令 f (x)0得 x1e111所以 0 x1x21 且 f (x) 在 (0,) 单调递减，在 (, ) 单调递增ee2e构造函数（极值点偏移）易证x1 x2以下略e要证明 x1x21 只要 x21x1 即可（因为 x11 ,x111 x1111且， x21 )eeeee而 f (x) 在 (1 ,) 单调递增e所以只要证明f ( x2 )f (1x1 ) 只要 f ( x1 )f (1 x1 ) 即可构造函数 g (x)f (x)f (1x), x(0, 1)2g (x) ln xln(1x)2g (x)1 2x0x(1x)g ( x) 在 (0, 1 ) 上单调递增2且 g (1)由于 x0 时， g (x)ln( e 1) 0e故必存在 x0(0, 1)