第2章一元函数微分学

1、第二章 一元函数微分学一、一元函数的导数与微分（一）导数的定义与几何意义1导数的定义设函数在点的某领域有定义，若极限存在，即在可导导数存在，左右导数存在相同；2.几何意义 导数为切线斜率（二）单侧可导与双侧可到的关系在点处可导在点左右导数均存在且相等（三）微分的定义、几何意义以及可微、可导与连续之间的关系1微分的定义 是是比高阶的无穷小，可微函数y=在点处的微分是该函数在点处函数增量的线性主要部分2.微分的几何意义是曲线y=在点处相应于自变增量的纵坐标的增量微分是曲线y=在点处切线相应于自变增量的纵坐标的增量3.可微、可导及连续之间的关系在点处可导在点处可微 在点处连续但连续不一定可导、可微y

2、=在点处可微时dy=（四）函数的区间上的可导性，导函数及高阶导数1.函数在区间上的可导性若在开区间每一点都可到，则在开区间可导，又在端点可导，则在闭区间可导2.若在区间可导，对于任意x在区间内，都有对应的一个确定的导数值，构成一个新的函数，称为导函数，记作3.二阶导数及高阶导数二阶导数 n阶导数N阶导数定义若在处n阶可导，则在的某领域比具有一切比低于n阶的导数（五）奇偶函数与周期函数的导数性质为奇函数为偶函数；为偶函数为奇函数；不能反推以T为周期也以T为周期二、按定义求导数及其适用的情形（一）按定义求导数（二）按定义求导数适用的情形情形1，除了常数及某些初等函数的导数公式外，均可按定义导出情形

3、2，求导法则不能用的情形，不知道是否可导情形3，求某类分段函数在分界点处的导数（三）利用导数定义求极限 其中三、基本初等函数导数表，导数的四则运算法则与复合函数微分法则（一）基本初等函数导数表与求导法则1基本初等函数导数表 2.求导法则复合函数求导法则幂指数函数求导 反函数求导 隐函数求导 变限积分求导 分段函数的求导（二）导数与微分的四则运算法则（三）复合函数的微分法则（四）初等函数求导法利用上述三种方法综合运用四、复合函数求导法的应用由复合函数求导法则导出的微分法则（一）幂指数函数的求导法1.将表成后求导2.对数求导法，对两边取对数得，两边对x求导用对数求导法求乘积的导数或微分很方便 先取

4、绝对值，再取对数幂指数函数导数公式也可用二元复合函数求导法推出（二）反函数求导法 （三）变限积分的求导法设在闭区间连续，在闭区间可导（四）隐函数微分法设有二元方程F（x，y）=0，若存在函数y=y（x）使得F（x，y（x）=0，对区间上任何x成立，则称y=y（x）为方程F（x，y）=0在区间上确定的隐函数运用复合函数求导法则五、分段函数求导法1.按求导法则分别求分界点处的左右导数2.按定义求分界点的导数或左右导数3.分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值（一）按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数 （二）按定义求分界点的导数或左右导数上述极限存在且相当，则（三）分界点为连续点时，求

5、导函数在分界点处的极限值可导且连续，六、高阶导数及n阶导数的求法（一）归纳法 逐一求出前几阶导数，观察规律性写出的公式（二）利用简单得初等函数的n阶导数公式（1） （2） （3） （4）（5） (6) (三)分解法1.有理函数与无理函数的分解2.三角函数的分解（利用三角函数恒等式及有关公式）（四）由f（x）在x=处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系数求七、微分中值定理(一)极值的定义 极小值、极大值 与左右两边的比较，还没涉及导数（二）微分中值定理及其几何意义1.费马定理及其几何意义 在x=处可导且取得极值，则导数为0，为驻点，驻点切线与x轴平行2.罗尔定理及其几何意义在点切线平行于x轴3.拉

6、格朗日中值定理及其几何意义（微分中值定理）在点切线平行于割线4.柯西中值定理（三）几个微分中值定理之间的关系拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况八、利用导数研究函数的性态（一）函数为常数的条件与函数恒等式的证明1函数为常数的条件 导数恒为02.两个函数差为常数的条件 导数相等3.两个函数恒等的条件，导数导数，存在一点使得两值相等（二）函数单调性充要判别法1.函数单调性的定义 单调增加、单调减少、单调不增、单调不减2.函数单调性判别定理及其几何意义单调不减 导数大于等于0；单调增加，导数大于等于0，区间内，不存在导数等于0的情况3.几何意义单调增加与x轴

7、锐角；单调减少与x轴钝角（三）极值点充分判别法1.极值第一充分判别定理及其几何意义左导数小于0，右导数大于0，极小值主要考察函数的不可导点，因为不可导点有可能是函数的极值点2极值第二充分判别定理及其几个意义几何意义结合第一充分判别定理分析 二阶导数小于0，一阶导数由大于0到小于0，极大值（四）凹凸性的定义与充要判别法1.凹凸的定义2.凹凸性充要判别定理及其几何意义 3. （五）观点的定义与充分判别法1.拐点的定义，在的左右侧凹凸性相反，在为拐点2.拐点的充分判别定理 连续，二阶可导，且二阶导数在反号 或二阶导数等于0，三阶导数不等于0（六）利用导数做函数的图形1、定义域，奇偶性、周期性、剪短点

8、2、一阶导数、二阶导数等于3、渐近线 九、微分学的几何应用与经济应用（一）平面曲线的切线1.用显式方程表示的平面曲线2.用隐式方程表示的平面曲线（二）边际与弹性1.边际及其先关概念 边际成本 边际收益 边际利润2.弹性及其相关概念需求函数 收益对价格的弹性 因为 注意弹性的绝对值问题，区别正负性十、一元函数的最大值与最小值问题（一）闭区间1.求出驻点，即一阶导数为02.算出驻点的函数值3.有不可导点，算出不可导点的函数值4.求出端点的函数值5.比较(二) 在区间可导且仅有唯一驻点的最大值和最小值的求法1通过一阶导数左右两端符号判断2.通过二阶导数的正负性判定十一、一元函数的泰勒公式（一）带皮亚

9、诺余项的n阶泰勒公式（二）带拉格朗日余项的n阶泰勒公式十二、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法（一）泰勒公式的唯一性这个定理称为泰勒公式的唯一性定理（二）泰勒公式的求法1.直接求法2.间接求法四则运算复合运算 替代变量法逐项求导或逐项积分十三、一元函数泰勒公式的应用（一）利用泰勒公式求未定式的极限（二）用泰勒公式确定无穷小的阶（三）利用泰勒公式证明不等式方法1，通过估计泰勒公式余项的大小来证明不等式方法2，通过函数与二阶导数的界估计一阶导数的界来证明不等式（四）由泰勒公式的系数求（五）用泰勒公式证明函数或高阶导数存在满足某种要求的特征点当要求证明存在某点使得函数或高阶导数在该点取值满足某等式或不等式

10、或具有某种其他要求的特征时，常常需要用泰勒公式，所求的点还常常是公式余项中出现的中间值十四、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关一元函数的导数与微分概念的命题题型二、用导数定义求函数的极限题型三、求各类一元函数的导数与微分题型四、求变限积分的导数1. 求仅积分限含参变量x的变限积分的导数2. 求被积函数也含有参变量x的变限积分的导数题型五、求一元函数的n阶导数题型六、用微分学的方法证明不等式方法1，利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式方法2，利用函数的单调性证明不等式方法3，利用函数的最大值或最小值证明不等式方法4，利用函数图形的凹凸性证明不等式题型七、利用导数研究函数的性态1. 函数等于常数的证明2. 单调性与凹凸性的证明3. 讨论函数的极值与拐点4. 求函数的单调区间与极值点及其图形的凹凸区间与拐点5. 用微分学知识作函数的图形6. 利用函数的性态研究函数零点的个数题型八、导数与微分在经济学中的简单应用题型九、微分中值定理命题及相关问题1. 费马定理型的中值命题2. 罗尔定理型的中值问题3. 与区间