第五章平行四边形

1、5.1 多边形（ 1）学习目标：1. 了解四边形的概念。2. 理解四边形的内角和定理，会利用内角和定理进行计算。3. 理解四边形的外角和定理，会利用外角和定理进行计算。凸四边形： 把四边形的任何一边向两方延长， 如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫凸四边形。如图（图（ 1）2）不是凸四边形。我们只研究凸四边形和凸多边形。3. 多边形的对角线 ,四边形有两条对角线。 ABCD 中， AC ，BD 是它的两条对角线。如图，四边形类似地我们可以给出多边形对角线的概念，如图，五边形BD ， BE，CE 是它的五条对角线。即=5（条）ABCDE 中， AC ，AD ，同样，我们可以计算出

2、六边形有=9（条）对角线（请同学们自己动手画图） 。我们可以得出 n边形的对角线有条（n 为正整数）。4. 四边形内角和定理：四边形内角和等于360°，（一条对角线将四边形分成两个三角形，由此推出四边形内角和为 2×180°=360°）。类似地我们可以得出五边形内角和为3×180°=540°，n 边形内角和等于 （n-2） 1·80（°即多边形内角和定理）。四边形外角和等于 360°，任意多边形的外角和也是360°（多边形内角和定理的推论）。二、注意问题1、关于四边形的概念，可以仿照三

3、角形，通过类比的分法来建立，但要注意的是， 三角形的三个顶点确定一个平面， 所以三顶点总是共面的， 也就是说三角形一定是平面 图形， 但四边形就不是这样， 它的四个顶点有不共面的情况， 又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义加上 “在同一平面内 ”这个条件。2、三角形的三边确定后，三角形的形状就确定了，而四边形的四条边长确定后， 不能确定它的形状， 它的各个角的大小可以改变， 四边形改变形状时， 只改变某些角的 大小，它的边长不变，周长不变，这正是四边形的不稳定性，但它仍是四边形，所以它 的内角和不变。三、例题分析：例 1、 四边形最多有几个钝角？几个直角？几个锐角，最少有几个钝角

4、？几个锐 角？分析：根据内角和定理来列举。解：四边形中最多有三个钝角，四个直角、三个锐角，可以没有钝角和锐角。假设有四个钝角，则它的内角和就大于360°，这和四边形内角和为 360°矛盾，所以它最多有三个钝角，假设有四个锐角，则它的内角和又小于360°，故此也是错误的，最多只能有三个锐角。当然可以有四个直角，此时它是矩形（长方形），此时即没有钝 角也没有锐角。例 2、 已知四边形各内角之比为 3:3:5:4，求四个内角。分析：由四边形内角和定理知，四边形内角和为360°。依条件可设其内角为3x,3x,5x,4x, 根据题意得： 3x+3x+5x+4x=3

5、60 °，解这个一元方程即可。解：设四个内角分别为 3x,3x,5x,4x ，则 3x+3x+5x+4x=360° ，x=24°, 3x=72°， 5x=120°，4x=96°,四边形各内角分别为 72°，72°，120°， 96°。例 3.四边形 ABCD 中， A= B=C， D 的外角度数是 75°，求 A？解：由已知 D 的外角为 75° D=180°-75 °=105° 又 A+B+C+ D=360°（四边形内角和为 360&

6、#176;） A= B=C3A+105°=360° A=85°答： A=85°。例 4、已知如图，在四边形 ABCD 中， B 和 C 的平分线相交于点 O ，求证：BOC= （A+ D）分析：本题综合运用了三角形内角和定理，四边形内角和定理及角平分线等知识， 通过等量代换及和，差计算证得结果。证明： A+D+DCB+ CBA=36°0 （四边形内角和定理） DCB+ CBA=36°0 -(A+D)又 1= DCB ， 2= CBA 1+ 2= ( DCB+ CBA)= 360 °-( A+ D )=180 °-

7、(A+D) 又 BOC+ 1+ 2=180° BOC=18°0 -(1+2)=180°-180 °- (A+ D)= (A+D)5.1 多边形（ 2）1多边形及其内角和：（ 1）n 边形的内角和：（ 2）多边形的外角和等于 360°（3）多边形的对角线：从 n 边形的一个顶点作对角线有：（ n-3 ）条； n 边形共有：条对角线。（4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。例 1. 一个多边形除一个内角外，其余各角和为2210°，求这个内角的度数及多边形的边数。分析：考虑多边形的内角和与边数的关系，可以利用方程的思

8、想来解决。解：设这个多边形的边数为 n，这个内角的度数为 x°又 0<x°<180°依题意得 （n-2） 1·80°=x°+2210° 2210°<(n-2) ·180°<2210°+180° 12 <n-2<13 14 <n<15 n 是整数， n=15 x°=(15-2) ×180°-2210°=130°答：这个内角度数为 130°，多边形的边数为 15。例 2 .

9、一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？它的每个内角是多少度？解：法一，设这个多边形的边数为 n每个外角都等于 72°，每个内角 =180°-72 °=108° (n-2) 1·80°=108°·n解得 n=5答：这个多边形是五边形，每个内角为108°。法二：设这个多边形的边数为 n依题意n·72°=360° n= =5每个内角为 180°-72 °=108°答：略。说明：这两个解法同样是从不同的角度解决问题，显然法二比

10、法一简单。看来，认 真分析已知条件，选择好的解法是很重要的。例 3. 若一个多边形所有的内角与外角的和为1260°，求这个多边形的边数。分析：多边形的边数与内角和的关系是由多边形内角和定理给出的。解：设多边形的边数为 n，则由多边形内角和定理及推论得(n-2) 1·80°+360°=1260° (n-2) 1·80°=900° n-2=5 n=7答：这个多边形的边数为 7。5.1 多边形（ 3）1正多边形的概念： 正多边形的概念一般说来必须同时满足“各边相等”和“各角相等”，只有三角 形例外，满足其一即可说明：（

11、1）只满足“各边相等”的反例：菱形；（ 2）只满足“各角相等”的反例：矩形2多边形的内外角和的推导思路：（ 1）通过对多边形内角和公式的探究和推导，充分体会三角形在研究多边形问题的过程中所发挥的重要作用，在探究的过程中应与同学们充分讨论，发现不同的证法说明：可以将各种证法统一起来，即点 O 在不同的位置（2）利用内角和以及邻补角的定义，推导外角和公式，体会变与不变的关系五、例题选讲：1一个多边形的内角和是 540°，那么这个多边形的对角线的条数是（）（A）5（ B）4（C）3（D）2答案： A2己知一个多边形的内角和与外角和共2160°，求这个多边形的边数。答案： 123一

12、个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005°，求多边形的边数。答案： 13 提示：用 2005÷180=11 余 25，n 一 2=11， n=134若多边形最多有四个钝角， 那么此多边形的边数最 答案：七 提示：从外角考虑，外角和中最多有三个钝角，加上四个锐角，最多有七个外角， 所以也就最多有七个内角或七条边。5如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数答案： 130° 提示：用 2570÷180=14 余 50，180° -50° =130°例 6、正多边形

13、的每一个内角都比它相邻的外角的3 倍还多 20°，则这个多边形的内角和是多少？分析：这类题目的关键在于抓住多边形的边数、内角、外角及内角和、外角和这些 量之间的关系，对多边形的内角和公式一定要熟悉。解：设多边形的边数为 n,每个外角为 x°，则其相邻的内角为 （3x+20） °,解得180°（9-2）=1260 °, 多边形的内角和为 1260°。六、课题学习 镶嵌：1本节课是探索并推导平面图形的镶嵌问题，通过这个过程可以加深对多边形内 角和的理解2用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用 多边形覆盖平面（

14、或平面镶嵌）的问题。3通过探究和实验，总结出平面镶嵌的必要条件是：（ 1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；（2）相邻的多边形有公共边4主要解决的问题是：（ 1）什么样的正多边形可以实现平面镶嵌 ?假定有正 n 边形，则此正 n（ n3）边形的每一个内角等于，如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的内角，由于这些角的和应为360 °，因此有，化简得 ，所以此不定方程有且只有三组正整数解：即分别用 6 个正三角形或 4 个正方形或 3个正六边形可平面镶嵌n 5 时，2）用全等的任意 n 边形进行平面镶嵌，易证三角形和四边形可以，当只对于特殊的全等 n边形还可能， 如

15、下图， 是圣地亚哥的一位妇女玛乔里· 赖斯于 1977 年 12 月找到的。（ 3）利用（ 1）的办法，研究用两种正多边形进行镶嵌，可能的结果有以下几种：3 个正三角形和 2 个正方形，或 4 个正三角形和 1 个正六边形，或 2 个正三角形和 2 个 正六边形，或 1 个正三角形和 2 个正 12 边形，或 1 个正四边形和 2 个正 8 边形图形 如下：5.2 平行四边形平行四边形是特殊的四边形 ,它具有许多特点 ,我们要认真研究。 因为矩形 ,菱形 ,正方形等 特殊的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的,所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分的关键 ,也是学好全章的关键。

16、一 .重点 :平行四边形的概念 ,性质和判定是这部分的重点。二 .知识要点 :（一 ）平行四边形定义 :两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（二 ）平行四边形的性质 :1.两组对角分别相等：利用平行四边形的对角相等和邻角互 补的关系，已知一个角，可以求出其余三个角。例题:（一 ）要熟练掌握平行四边形的性质及判定,就要学会多角度地思考问题 ,要学会认真审题,注意题设中的关键词语 ,如:"两组","互相 ","平行且相等 "等等,并会举反例否定一个命题。例 1. 判断正误 ( 我们要判断一个命题是假命题 ,举一个反例即可 )1. 一组对

17、边平行 ,一组对角相等的四边形是平行四边形。( )分析 :如图 ,四边形 ABCD 中,AB CD, A=C, A+ D=180°, B+ C=180°, B=D,四边形 ABCD 是平行四边形 (两组对角分别相等的四边形是平行四边形)。此命题正确。()()2. 一组对边平行 ,一组对边相等的四边形是平行四边形。 分析 : 此命题不正确。反例： AB CD,AD=BC,但四边形 ABCD 不是平行四边形。3. 一组对边平行 ,一组对角互补的四边形是平行四边形。 分析 : 是错误的。反例：如图 , AB CD, A+ C=180°,但四边形 ABCD 不是平行四边形

18、。()4. 一组对边平行 ,一组邻角相等的四边形是平行四边形。 分析 : 是错误的。反例：如图 ,AB CD, A= D=90°, 但四边形 ABCD 不是平行四边形。5. 四条边都相等的四边形是平行四边形。 分析 :正确。根据 "两组对边分别相等的四边形是平行四边形"即可证明。(),由定义知是平行四边形。()6. 两组邻边相等的四边形是平行四边形。分析 : 是错误的。反例：如图 ,AB=BC,AD=DC, 但 ADAB, 四边形 ABCD 不是平行四边形。7. 两组邻角互补的四边形是平行四边形。分析 : 是错误的。反例：如图 ,A+ D=180°,B+

19、 C=180°, 但四边形 ABCD 不是平行四边形。8. 各组邻角互补的四边形是平行四边形。分析 :正确。由各组邻角互补 ,可得两组对边分别平行9. 一组对边相等 ,一组对角相等的四边形是平行四边形。分析 :是错误的。 反例.作 ABC,使 AB=AC, 在 BC 上取一点 E 使得 BE>EC, 当 AED= EAC 且 ED=AC 时 , 可证 AEC EAD（SAS）, 可得 D= C,从而有 D= B,DE=AB, 但 BEAD, 四边形 ABED 不是平行四边形。5.3 平行四边形的性质（ 1）（一 ）平行四边形的性质定理 1 定理：平行四边形的两组对边分别相等；。

20、（二）平行四边形的性质定理 1 的两个推论 :1.推论 1：夹在两条平行线间的平行线段相等； 2.推论 2：夹在两条平行线间的垂线段相等例 1. 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。 （ ）分析 :是错误的。反例 ,如图 ,AO=CO, 但 BO DO, 四边形 ABCD 不是平行四边形。1. 平行四边形ABCD 中,AB AC, B=60°,AC=2,则平行四边形ABCD 的周长是分析 :按照题意正确画出图形。关键是要求出AB 和 BC 的长 ,Rt ABC 中,B=60°,所以 ACB=30°AB= BC, 由勾股定理得222AB 2+AC 2=B

21、C 2,又知 AC=2例 2. 填空题 : A=60°, ADE=30° AE= AD= cm由勾股定理得有 AB 2+(2)2=(2AB) 2,可以求得 AB=2,BC=4,AB=CD,AD=BC, 平行四边形 ABCD 的周长为 12在这里我们用到了直角三角形的知识。2.平行四边形的两边长为 3cm 和 6cm,夹角为 60°,则平行四边形的面积为 cm 。分析 :依题意画出图形 , 平行四边形 ABCD 中, A=60°,AD=3cm,AB=6cm, 平行四边形的 面积为其一边与这边上的高的积 ,因此我们作 DE AB 于 E,只需求出 DE 的长

22、。 RtADE 中,DE=因此我们可以计算出平行四边形的面积=AB· DE=6×=9 (cm2)。在这里我们复习了平行四边形的面积的求法,并且利用了直角三角形的知识。3. 在平行四边形 ABCD 中 ,如果一边长 6cm,一条对角线长是 8cm,则另一条对角线 x 的取 值范围是 。分析 :由于平行四边形的对角线互相平分,如图 ,在平行四边形 ABCD 中,AC,BD 交于 O,如果 BC=6cm, AC=8cm,BD=x, 则有 BO= , OC= AC=4cm, 在 OBC 中由于三角形两边之和大于第三边,两边的差小于第三边 ,所以有 BC-OC<OB<BC

23、+OC, 即4cm<x<20cm在这里我们用到了三角形三边之间的关系2cm< <10cm,5.3 平行四边形的性质( 2)平行四边形的性质定理 2：平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的性质定理 2 在证明中的应用： 一般地， 当题目中出现平行四边形的对角线 时，可以优先考虑“平行四边形的对角线互相平分”这个定理。例 1.已知： 如图， AB/CD ，AD=BC ，求证 ： OD=OC 。分析 ：要证明 OD=OC ，根据图形特点，只需证 D= C，证明角等的方法可以通过全 等、等边、平行等得到。条件 AD=BC 的应用是本题的关键，所给的图形使此条件无法直接 应用，

24、需构造三角形或四边形，使其成为三角形或四边形中完整的边。证明 ： 过 B 作 EB/AD ，交 CD 的延长线于 E AB/CD 四边形 ADEB 为平行四边形 AD=BE又 AD=BC ， BE=BC C= E EB/AD ADC= E C= ADC ， OD=OC例2 求证：平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等 已知:如图：平行四边形 ABCD 中对角线 AC、BD 相交于 O，OEAB 于 E，OFCD 于 F ，求证 ： OE=OF 。分析 ：显然是通过证明两个三角形全等得到此结论，但是垂线的构成是由对角线的交点向一组对边引的两条垂线，在没有证明E、O、F 三点共线的情况下，切不

25、可用对顶角相 等作为全等三角形判定的条件。证明： 平行四边形 ABCD ， AO=CO ， AB/CD CAB= ACD又 OEAB 于E，OFCD于 F AEO= OFC=9°0在 AOE 和 COF中 CAB= ACD AEO= OFCAO=COAOECOF，OE=OF例3 已知：如图， E、 F分别为平行四边形 ABCD 中AB 、CD的中点， EF与AC交于 点 O ，求证： AO=CO 。相等的线段。证明 ： ABCD 为平行四边形分析 ：证明线段相等的问题可以利用平行四边形的对角线的性质， 但显然证明 AC、BD 交于 O 是涉及到三线共点的问题，是比较困难的。所以不妨仍

26、旧通过三角形的全等来寻找 AB=CD ， AB/CD 又 E、F分别为 AB、CD 的中点CF=AEAB/CD CAE= ACF AEF= EFCAOE COF， AO=CO例4. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中， E、 F分别在 AB、BC 上，且 EF/AC ， 求证： AED 与 DCF 面积相等。分析 ：证明三角形面积相等有几种常见的方法：（1）全等三角形面积相等（ 2）等底（同底）等高三角形面积相等。从 图形中观察， AED 与 DCF 显然不全等。只有找等底 等高，而相等的高往往通过平行线找到。AED 与 DCF 这两个三角形的底与高并无直线相等关系，这就需要借助于中间图形

27、，构造面积相等的辅助三角形。证明 ：连结 AF 、 EC ABCD 为平行四边形， AB/CD ，AED 与 AEC 等积AD/BCDCF 与 AFC等积 EF/AC AEC 与 AFC等积 AED 与 DFC 等积。例 5如图，将 ABCD沿AC 折叠，点 B 落在 B'处，AB'交 DC 于点 M 求证：折叠后重合的部分（即 MAC）是等腰三角形所以 AC 所在直线是四边形 ABCB' 的对称轴，行四边形的性质：对边平行，易知3=4，MAC 是等腰三角形得证另外证明 证法 1：四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC ， D=B。由题意得 BC=CB ， B=

28、B， AD=CB ， D=B 又1=2评析：该题是等腰三角形、轴对称图形、平行四边形性质的综合因为沿 AC 折叠， 由轴对称的性质可以判定4=5根据平所以 3= 5，可知 MA=MC ， ADM CB'M ，也可得到 MA=MC ADM CBM， MA=MC即 MAC 是等腰三角形 证法 2：四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD，4=3 又 ACB ， ACB关于直线 AC 对称， 4=5，3=5 MA=MC ，即 MAC 是等腰三角形5.4 中心对称一、知识点：（一）中心对称把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，则称这两个图形关于这个点对称

29、或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心 的对称点（二）中心对称的特征： 1.关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平 分。2.关于中心对称的两个图形是全等图形。（三）中心对称图形： 中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形一个图形绕着某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 则这种图形叫做中心对称图形， 这个点叫做对称中心二、典型例题：（一）基础题型：1. 下列说法中，不正确的是（）A. 轴对称图形的对称轴是对称点连线的垂直平分线B. 中心对称图形的对称中心是对称点连线的中点C. 成轴对称的两个图形中，对应线段

30、相等D. 成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等解析： 选 D 。成中心对称的两个图形中，对应线段相等，有可能平行，还有可能在同 一直线上。2. 在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等边三角形中，既是轴对称 图形，又是中心对称图形的图形有（ ）A. 3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个解析： 选 B 。线段、矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；等腰梯 形、等边三角形是轴对称图形；平行四边形是中心对称图形。3. 选出下列图形中的中心对称图形（）6.下列图形绕某点旋转A. B.C. D.A.B. C.D. 解析： 选 B 。根据定义，一个图形绕着某一点旋转1

31、80°后，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，则这种图形叫做中心对称图形。4. 在等腰三角形、等边三角形、菱形、等腰梯形中是轴对称图形，但不是中心对称图形 个数是 （ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个解析： 选 C。等腰三角形、等边三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； 菱形则既是轴对称图形，又是中心对称图形。5. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等边三角形 解析： 选 D 。等边三角形是轴对称图形。180°后，不能与原来图形重合的是（解析： 选 B 。只有 B 不是中心对称图形7. 下列

32、说法正确的是 （ ）A.两个会重合的三角形一定成轴对称B. 两个会重合的三角形一定成中心对称C. 成轴对称的两个图形中，对称线段平行且相等D. 成中心对称的两个图形中，对称线段平行（或在同一条直线上）且相等 解析： 选 D 。8. 下列正方体的平面展开图中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（）C.D.解析： 选 A 。（二）提高题型：例 1. 如图所示，观察图中的 “风车 ”的平面图案，其中是中心对称图形的有（ ）A. 1 个B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个分析： 抓住图形特征，观察图形绕中心点旋转180°后能否与自身重合，则第 2 个、第 4个是，共有 2 个，选

33、B例 2. 如图所示，已知 ABC 与 CDA 关于点 O 对称，过 O 任作直线 EF 分别交 AD 、 BC 于点 E、 F，下面的结论： （1）点 E 和点 F；点 B 和点 D 是关于中心 O 的对称点； （2） 直线 BD 必经过点 O；（ 3 ）四边形 ABCD 是中心对称图形；（ 4）四边形 DEOC 与四边形 BFOA 的面积必相等；（ 5） AOE 与 COF 成中心对称，其中正确的个数为（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 5 个分析：ABC 与CDA 关于点 O对称是两个图形的关系， 但我们将这两个图形看成一 个整体，那么它就是一个关于 O 点的中心对称图形，故

34、（ 3）正确。 B 与 D 关于 O 对称，图形上的两点的连线若经过中心，这两点就是对称点，同时对称点的连线必经过对称中心， 所以（ 1）（ 2）都正确；从中心对称图形的性质得知，四边形DEOC 与四边形 BFOA 是四对对称点所围成的图形， AOE 与COF 也是对称点所围成的图形，所以它们分别成中心 对称，故（ 4 ）和（ 5）都正确。选 D例 3. 某同学学习了几何中的对称后，忽然想起了过去做过一道题：有一组数排成方阵， 如图所示，试计算这组数的和。这个同学想，方阵就象正方形，正方形是轴对称图形，也 是中心对称图形，能不能利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题吗？这个同 学试了试

35、，竟得到了非常巧妙的方法，你也能试试看吗？下面将这位同学的想法告诉大家，我们一起来体验一下。从方阵中的数看出，一条对角线上的数都是5，若把这条对角线当作轴，把正方形翻折一下，对称位置的两数之和都是10，这样方阵中数的和即可求。也可考虑：把方阵绕中心旋转 180°，就得到另一方阵，再加到原来的方阵上去，就得到所有的数都是10 的方阵，这一方阵数的和亦可求。解法一：解法二：此题还可引伸成解决其它数学问题。当在求一组有规律的数的和时，经常会用到对称思想。如：考虑：所以因此，数形结合是学习数学的一种重要思想方法。例 4. 一块方角形钢板（如图所示），如何用一条直线将其分为面积相等的两部分。解

36、析： 首先考虑分形（分成 n 个规则图形）。（1）该钢板可看成由上下两个矩形构成（如图所示），矩形是中心对称图形，过对称 中心的任一直线把矩形分成全等的两部分，自然平分其面积，而矩形的对称中心是两条对 角线的交点，因此，先作出两矩形的对称中心A 、B，直线 AB 即为所求；2）该钢板同样可看成左右两矩形构成（如图所示），作出两矩形对称中心C， D，直线 CD 也符合要求；（3）将钢板补成一个完整矩形（如图所示），作出大矩形对称中心E 和补上一块矩形的对称中心 F，直线 EF 既平分大矩形，又平分补充矩形的面积，于是 EF 平分原钢板面积。AE= AB= CD=CF5.5 平行四边形的判定（ 1

37、）平行四边形的判定：1. 利用定义判定：两组对边分别平行2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。例 1. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，K、L、M、N 分别为 AB、BC、CD、AD 上的点，且满足 AK=CM ， BL=DN ，求证 ： 四边形 KLMN 为平行四边形。分析 ：证明四边形是平行四边形的方法有很多，首先要明确证明的方向，根据题目所 给的条件及图形特点发现，图形中角等的条件比较少，所以通过角等或对边平行可能会比 较困难，通过两组对边分别相等应是此题的证明方向。证明： ABCD

38、是平行四边形， C=A ， AD=BC ， 又 BL=DN ， AD-DN=BC-BL ，即 AN=CL AK=CM ， ANK CLM ， KN=ML ，同理： DMN BKL ， MN=KL 四边形 KLMN 为平行四边形。例 2.已知：如图，平行四边形 ABCD 中， E、F分别为 AB、CD 中点，分别延长 BA、 DC 至 G、M ，使 AG=CM ，求证 ： EM/GF 。分析：要证明 EM/GF ，或是通过证明角等，或是证明 EM 与GF所在的四边形是平行 四边形，通过平行四边形的性质得到平行关系。图中给出了平行四边形 ABCD 的条件，也 就意味着 EG 与 MF 平行， 只需

39、证明 EG 与 MF 相等， 即可得到四边形 EMFG 为平行四边形 的结论。而找线段相等在此题中是较容易的。证明： ABCD 是平行四边形， AB/CD ， AB=CD又 E、F分别为 AB、CD 的中点 AG=CM AG+AE=CM+CF即 EG=FM在四边形 EMFG 中， EG/MF ， EG=FM 四边形 EMFG 是平行四边形 EM/GF5.5 平行四边形的判定（ 2）平行四边形的判定：1.对角线互相平分的四边形是平行四边形。1、已知，如图，ABC中，D为AB的中点，E 是 AC 上的一点，EF/BD，DF/BE，则 DF 与 AE间的关系是 【 考查内容 】平行四边形的性质与判定

40、 解：连结 AF、 DEEF/BD ，DF/BE四边形 BDFE为平行四边形EF=BDD 为 AB的中点， AD=BDEF=ADEF/AD四边形 ADEF为平行四边形DF 与 AE互相平分2、如图，已知 ABCD中， M是 BC的中点，且 边形的面积【 考查内容 】平行四边形的面积的求法。解：过点 D 作 DE/AM，交 BC延长线于点 E， 过点 D 作 DFBE 于 F在 ABCD中， AD/BC，四边形 ADEM为平行四边形DE=AM=，9 EM=AD=10M为 BC的中点， BM=5， BE=15 222BD2+DE2=BE2， BDE=90°BD·DE=BE

41、83;DF，即 12×9=15·DF， DF=5.6 三角形的中位线三角形中位线1.定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。2.三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的应用：一般地，当图形中出现了中位线时，应立即想到利用三角 形的中位线定理进行解题。另外，当条件中出现中点时，有时可以添加辅助线构造中位线 来解题。例 1. ABC 中， D 是 AB 中点，求证： OE= BEE是AC 上的点，且分析：已知 D 是 AB 中点，遇到中点我们应当考虑到可能要用中位线，有中位线就可以得到线段的一半， 同样可能再得到 线段的一半，

42、从而可以得到某线段的 ；又已知3AE=2AC ，得 AE= AC ，如果取 AE中点 F，连结 DF就可得到 ABE 的一条中位线 证明：取 AE 中点 F，连结 DF， D 是 AB 中点， DF 是 ABE 的中位线DF= BE 且 DF/BE （三角形中位线定理）3AE=2AC ，AE= AC AF=FE=EC= AC在 CFD 中， EF=EC 且 DF/BE 即 OE/DF ， CO=DO （过三角形一边中点，与另一边平行的直线，必平分第三边） OE 是 CDF 的中位线 OE= DF OE= BE 。例 2. 已知：如图，在 ABC 中 AB=AC ，延长 AB 到 D ，使 BD

43、=AB ，E 为 AB 的中点 求证： CD=2CE 。分析：这是证明线段的倍半问题。证明一条线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先找出短线段的二倍， 或者取长线段的一半， 设法把线段的倍半问题转化为证线段的相等证 CF=CD问题。这就是通常所说的 “加倍”，“折半”的方法。 下面我们就把问题转化成证明线段的相等。 方法1：找出 CE的2倍，然后证明 CE的2倍和 CD相等，因此要延长 CE到F使EF=CE证明：延长 CE 至 F 使 EF=CE ，连结 FB CF=2CE ， 1= 2 E为AB 中点， AE=BE在 AEC 和 BEF 中 AEC BEF （ SAS ） AC=BF ，

44、 3= F AC/BF FBC+ ACB=180o CBD+ ABC=180o AB=AC ， ABC= ACB FBC= DBC AC=AB ，AB=BD ， AC=BF 。 BF=BD 。在 CBF 和 CBD 中 CBF CBD（SAS）CD=CFCF=2CECD=2CE5.7 逆命题和逆定理教学目标：掌握勾股定理逆定理，并能结合勾股定理进行综合应用 教学内容解析：1勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c 满足 a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形2. 满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股 数常用的勾股数有 3、4、5；6、8、10；

45、5、12、13 等.3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和，再把它和最大边的平方 比较 .4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾 股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中 的应用 .例题解析：【例 1】如图，已知四边形 ABCD中， B=90°， AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四 边形 ABCD的面积 . AC=5.× 3×4 ×5×12=6 30=36.联想勾股数， 连接 AC，可实现四边形向三角形转化， ACD是直角三角形 .分析：根据题目所给数据特征， 并运用勾股定理的逆定理可判定 解：连接 AC，在 Rt ABC中， AC2=AB2BC2=3242=25， 在 ACD中， AC2CD2=25 122=169， 而 AB2=132=169，故 S 四边形 ABCD= SABC SACD= AB·BC AC·CD= AC2 CD2=AD2， ACD=9°0 答：四边形 ABCD的面积为： 36.【例 2】如下图，南北向 MN为我国领域，即 MN以西为我国领海，以东为公海 . 上午 9时 50分，我