第九章直线平面简单几何体直线与平面垂直

1、课 题：94 直线和平面垂直 （四）教学目的：1掌握三垂线定理及其逆定理的证明 2正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直 教学重点： 三垂线定理及其逆定理的证明 教学难点： 用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直 授课类型： 新授课 课时安排： 1 课时 教具 ：多媒体、实物投影仪教学过程 ： 一、复习引入：无数个公共点） ；A （有且只有一个公共点）（没有公共点）aIa/1 直线和平面的位置关系 （ 1）直线在平面内 a （2）直线和平面相交 （3）直线和平面平行2 线面平行的判定推理模式： l ,m ,l /m l /定理： 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直 线平行，

2、那么这条直线和这个平面平行3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么 这条直线和交线平行 推理模式： l / ,l , I m l / m4 线面垂直定义： 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一 条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面 互相垂直 其中直线叫做平面的 垂 线 ，平面叫做直线的 垂面 交点叫做 垂足直线与平面垂直简称 线面垂直 ，记作： a5 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线垂直于这个平面OA6 直线和平面垂直的性质定理 : 如果两条直线同垂直于 一个平面

3、, 那麽这两条直线平行7 三垂线定理 在平面内的一条直线， 如果它和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面 的一条斜线的垂直关系；PO ,O2）推理模式： PAIAa PAa ,a OA8三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂 直，那麽它也和这条斜线的射影垂直PO ,O推理模式： PAI Aa AO a ,a AP注意：三垂线指 PA，PO， AO都垂直内的直线 a 其实质是：斜线和平面内 一条直线垂直的判定和性质定理 要考虑 a 的位置，并注意两定理交替使用 三、讲解范例：例 1 如图，道路两旁

4、有一条河，河对岸有电塔AB ，高 15m ，只有量角器和皮尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？ 解：在道路边取点 C，使 BC 与道路边所成的水平角等于 90o，再在道路边取一点 D ，使水平角 CDB 45o，测得 C,D 的距离等于 20m， BC是 AC 在平面上的射影，且 CD BC CD AC （三垂线定理）因此斜线段 AC 的长度就是塔顶与道路的距离， CDB 45o,CD BC,CD 20m ， BC 20m ，在 Rt ABC 中得 |AC| AB2 BC2 152 202 答：电塔顶与道路距离是 25m 例 2点 A为 BCD 所在平面外的一点，点 O为点 A在平面 B

5、CD内的射影，若 AC BD,AD BC ，求证： AB CD 证明： 连结 OB,OC,OD ， AO 平面 BCD ，且 AC BD BD OC （三垂线定理逆定理）同理 OD BC， O 为 ABC 的垂心， OB CD ，又 AO 平面BCD ， AB CD （三垂线定理）例 3已知：四面体 S ABC 中，SA 平面ABC ,B点 A在面 SBC 上的射影，求证： H 不可能是 SBC的垂心 证明： 假设 H 是 SBC的垂心，连结 BH ，则 BH SC ， BH 平面 SBC BH 是 AB在平面 SBC 内的射影， SC AB （三垂线定理）又 SA 平面ABC， AC是SC在

6、平面 ABC内的射影 AB AC （三垂线定理的逆定理） ABC是直角三角形，此与“ABC 是锐角三角形”矛盾假设不成立，例 4已知：如图，在正方体所以， H 不可能是 SBC的垂心ABCD A1B1C1D1中， E是 CC1的中点， 中，有 AOC 60°证明：AA1 平面ABCD ， AF是A1F 在面 ABCD上的射影F 是 AC,BD 的交点，求证： A1F 平面BED 又 AC BD ， A1F BD取 BC 中点 G ，连结 FG, B1G ， A1B1 平面BCC1B1, FG 平面BCC1B1 ， B,G为A1F 在面 BCC1B1上的射影， 又正方形 BCC1 B1

7、中， E,G分别为 CC1,BC 的中点， BEB1G ， A1FBE （三垂线定理）又EBI BD B， A1F平面 BED 四、课堂练习：ABAC13，1如图， PA ABC 所在平面， BC的距离BC10， PA 5，求点 P 到直线参考答案：设 BC 的中点为 D，连结 PD ABAC13，BC10， ADBC且 AD 12又 PA平面 ABC， PDBC即 PD 的长度就是 P 到直线 BC的距离 而 PD 132如图， l 是平面的斜线， 斜足是 O，A是l 上任意一点， AB是平面的垂线，B是垂足，设 OD是平面内与 OB不同的一条直线， AC垂直于 OD于 C，若直线 l 与平面所成的角 45°， BOC 45°，求 AOC的大小 参考答案： 连结 BC五、小结 ：