考研数学三真题与解析

1、2017年考研数学三真题、选择题1 8小题.每小题4分，共32分.1 8s x x 01 .若函数f(x) ax 0在X 0处连续，则 b, x 0-11 .一 .一(A)ab -(B) ab -(C) ab 0 (D) ab 2221x .【详解】lim f (x) lim0°二x 1防_2_ 一 lim f(x)b f(0),要使函数在x 0处连续,x 0x 0 ax x 0 ax 2a x 01 1必须满足 b ab .所以应该选(A)2a22.二元函数z xy(3 x y)的极值点是()(A) 1(B) 2(C)1(D)2(A) (0,0)(B)(0,3)(C) (3,0)(

2、D) (1,1)【详解】y(3 x y) xy x2 Z2_3y 2xy y ,3x x 2xy ,y2222zzz z2y,2x,3 2xxyx y y xz2一 3y 2xy y 0解方程组x,得四个驻点.对每个驻点验证3x x2 2xy 0 y2AC B2,发现只有在点（1,1）处满足AC B2 3 0 ,且 A C2 0,所以（1,1）为函数的极大值点，所以应该选（D）3.设函数f（x）是可导函数，且满足f(x) f (x) 0 ,则(A) f(1) f( 1)(B) f(1) f ( 1)(C) |f(1)| |f( 1)(D) |f(1) |f( 1)2f （x）是单调增加函数.也

3、就得到2 f(1)2【详解】iv n一 11时 sin k ln(1 )11 k 11o 子(1 k)7 WMo 不显然当且仅当(1k) 0,也就是k 1时，级数的一般项是关于1 一1的二阶无穷小，级数收敛，从而选择 n(C).5.设 为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则(A) ET不可逆(B) E T不可逆(C) E2 T不可逆(D)E 2 T不可逆【详解】矩阵T的特征值为T,ET,E 2 T,E 2 T的特征值分别为 0,1,1,L 1 ;2,1,1,L,1 .，1,1,1L,13,1,1,L,1.显然只有T存在零特征值，所以不可逆，应该选(A).6.已知矩阵(A)(C)A,C相似,B,C

4、相似(B) A,C 相似,B,C不相似A,C不相似,B,C相似(D)A,C不相似，B,C不相似【详解】矩阵 A, B的特征值都是2, 31.是否可对解化，只需要关心2的情况.0 0对于矢I阵A, 2E A 0 0秩等于1也就是矩阵A属于特征值2存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是01对于矢I阵B , 2E B 00也就是矩阵A属于特征值2只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然B,C不相似故选择(B).7.设 A,BC是三个随机事件，且A,C相互独立，B, C相互独立，则 AU B与C相互独立的充分必要条件是(A)A, B相互独立(B) A, B互不相容(C)AB,

5、C 相互独立(D) AB,C互不相容P(AUB)C) P(AC AB) P(AC) P(BC) P(ABC) P(A)P(C) P(B)P(C) P(ABC)P(AUB)P(C) (P(A) P(B) P(AB)P(C) P(A)P(C) P(B)P(C) P(AB)P(C)显然，AU B与C相互独立的充分必要条件是P(ABC) P(AB)P(C),所以选择(C ).8.设Xi,X2,L ,Xn(n 2)为来自正态总体N( ,1)的简单随机样本，若 XXi,则下列结论中不正确的是()n(A) (Xii 1)2服从2分布(B) 2 XnXi 2服从2分布n(C) (Xi X)2服从 2分布 i

6、1(D) n(X)2服从2分布解：(1)显然(Xin)N(0,1) (Xi )2 2(1),i 1,2,L n 且相互独立，所以(Xi )2 服从i 12(n)分布，也就是(A)结论是正确的;n2 (Xi X)2i 1_ 2(n 1)S_ 2(n 1)S 22(n 1),所以(C)结论也是正确的;16.(本题满分10分)(3)注意 X - N( J). n(Xn22)N(0,1) n(X ) (1),所以(D)结论也是正确的; 一X X41o o(4)对于选项(B)： (Xn X1) N(0, 2) n1 N(0,1) 一(Xn X1) (1),所以(B)结22论是错误的，应该选择(B)二、填

7、空题(本题共 6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)9 . (sin3 x /2x2)dx . 3解：由对称性知(sin3x J_2x2)dx 2 yTx_xdx 一.0210 .差分方程yt 1 2yt 2t的通解为 .【详解】齐次差分方程 yt 1 2yt 0的通解为y C2x ；设y- 2yt 2t的特解为乂 at2t，代入方程，得a6； 2t1所以差分万程yt 1 2 yt 2的通解为y C2t t2t 211 .设生产某产品的平均成本C(Q) 1 eQ,其中产量为Q,则边际成本为 平均成本C(Q) 1 eQ,则总成本为C(Q) QC(Q) Q QeQ,从而边际成本为C

8、 (Q) 1 (1 Q)e Q.12 .设函数f(x,y)具有一阶连续的偏导数，且已知 df(x, y) yeydx x(1 y)eydy , f (0,0) 0,则f(x, y) 【详解】df(x,y) yeydx x(1y)eydy d (xyey),所以 f (x, y) xyey C,由 f(0,0)0,得 C0,所以 f (x, y) xyey .10113.设矩阵A112,011为.【详解】对矩阵进行初等变换A1, 2, 3为线性无关的三维列向量，则向量组A 1, A 2, A 3的秩1 0 10 11,知矩阵A的秩为2,由于0 0 01, 2, 3为线性无关，所以向量组A 1,

9、A 2, A 3 的秩为 2.求极限lim -0x 0x tetdtx3【详解】令x t u ,则t x u ,dtdu, jx/xet出:心xudux tet dtlimx 00计算积分D (134一4-dxdy,其中D是第一象限中以曲线 y Jx与x轴为边界的无界区域. x y )【详解】D (13y2xydxdydx3 y(1 x217 .(本题满分10分)dxxd(1 xy4)22 dy4、 y)(1)211 x212x2dx 18求lim n与lnn k 1 n1k n【详解】由定积分的定义lim nlim nk Inn10 x ln(1x)dx18.(本题满分10分)、-1已知方程

10、一1ln(1 x)1.一k在区间 x【详解】设f (x)1ln(1 x)f (x)(112x)ln (1 x)令 g(x)(1x)ln 2 (1 x)g (x)ln2(1x) 2ln(1g (x)2(ln(1 x) x)由于g(0)时,g(x)g(0)limx 0f(x)limx 010 1n(1 x)dx(0,1)内有实根，确定常数1 一,x x12xx)0,xk的取值范围.(0,1),则22(1 x)ln (1 x) xx2(1,则 g(0)2x, g (0)2x)ln (1 x)0, g(1) 2ln 2 2(0,1),所以g (x)在(0,1)上单调减少,(0,1)时，g(x) g0)

11、 00,进一步得到当x (0,1)时,ln(1 x) xx ln(1 x) limx 0 xln(1 x)也就是g(x)g(x)在(0,1)上单调减少，当x(x)(0,1)0,也就是f (x)在(0,1)上单调减少.11f(i)1,也就是得到1ln 2ln 222.(本题满分10分)anxn的和函数0、口一1，、，一，一，一设 a0 1,a1 0,an 1 (nan an1)(n 1,2,3 L ), , S(x)为帚级数n 1(1)证明anxn的收敛半径不小于1 .n 0(2)证明(1x)S(x) xS(x) 0( x(1,1),并求出和函数的表达式.(1)an 1)(n 1)an 1 na

12、n an 11 .由条件an 1(nann 1也就得到(n1)(an 1 an)(an an1),也就得到亘 anan_an 1n,n 1,2,L也就得到anan 1(an 1anan 1anan 1a1a0anananan anan 1an 2a2a1a1 a01)n1(n 1)!an( 1)n 1 一1,n(n 1)!an) (an an 1) L(a22! 3!n!1,2,La1)a1lim n en(2)所以对于哥级数anxn ,由和函数的性质,n 01)k£1 ,所以收敛半径可得S(x)n 1nnanxnanxn 1nnanx也就是有(1解微分方程所以S(x)(n 1)an

13、 1xnn 0a1(nn 1nan 1xn 1x)S(x) xS(x) 0(x ( 1,1).(1 x)S(x) xS(x) 0,得 S(x)nnanx11)4n nan)xnanxn 0xanxn 0Ce x 一,由于 S(0) a01 xxS(x)设三阶矩阵A 1, 2, 3有三个不同的特征值，且 312 2(1)证明：r(A) 2；(2)若12,3,求方程组Ax的通解.【详解】(1)证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是r(A) 1 .假若r(A) 1时，则r 0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r(A) 2,又因为1 2 2 0,也就是1, 2, 3线性相关，

14、r(A) 3,也就只有r(A) 2.(2)因为r(A) 2,所以Ax 0的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于 31 2 2 0，所1以基础解系为x 211又由 12, 3，得非齐次方程组 Ax的特解可取为 11方程组Ax的通解为x k 211 ,其中k为任意常数.121 .(本题满分11分)2设二次型 f(x1,x2,x3) 2x122x2 ax3 2x#2 8x1x3 2x2x3在正交变换x Qy下的标准形为221%2 y2 ,求a的值及一个正交矩阵Q .214【详解】二次型矩阵 A 11141 a因为二次型的标准形为1y22y2 .也就说明矩阵 A有零特征值，所以 A 0,故a 2.

15、1411(3)(6)12令 E A0得矩阵的特征值为3, 2 6,通过分别解方程组（i EA）x 0得矩阵的属于特征值13的特征向量1、3,属于特征值特征值26的特征向量3 0的特征向量 31.6所以Q1 , 2, 31 ,31-3131,21、62 ，一 、，三为所求正交矩阵.、6122.（本题满分11分）设随机变量X,Y相的概率分布为PX2的概率密度为一、2y,0 y 1y 0,其他(1)求概率 P(Y EY)；（2）求Z X Y的概率密度.【详解】（1） EY所以(2)yfY(y)dy2EY P Y -3X Y的分布函数为Fz(z)P Z2y2dy203 2 ydy0,Y1 -PY 21

16、2 FY(z)Y的概率密度为zFy(z2)fZ(z)23.（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度,FzY z,Xz,X2,Y(z)f(z2)z,2,20,其他用该天平对一物体的质量做了n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量的绝对误2n次测量结果 Xi,X2,L ,Xn相互独立且均服从正态分布N(,).该工程师记录的是差Zi Xi ,(i 1,2,L ,n),利用Zi,Z2,L Z估计参数(1)求Zi的概率密度；(2)利用一阶矩求的矩估计量;(3)求参数 最大似然估计量.【详解】(1)先求Zi的分布函数为Fz(z)P 乙 z P XiXi当z 0时，显然Fz(z) 0 ；当 z 0时，FZ(z) P Zi z P Xi所以乙的概率密度为fz(z)Fz(z)22- e0,z,z数学期望EZi0 zf(z)dzz22 2 dz令EZ Z 1 n Zi ,解得的矩估计量Z n zi . n i 122n i 1(3