第七章 振动和波动1

1、 广义振动：广义振动：机械振动、电磁振动、机械振动、电磁振动、 振动有各种不同的形式：振动有各种不同的形式： 机械振动机械振动 物体在一定位置附近作来回往复的运动。物体在一定位置附近作来回往复的运动。 任一物理量任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。在某一数值附近反复变化。 弹簧振子：弹簧振子： 平衡位置：平衡位置： 一、简谐振动的基本特征一、简谐振动的基本特征 弹簧弹簧 物体系统物体系统 所受合外力为零的位置。所受合外力为零的位置。 物体在平衡位置的两侧，在物体在平衡位置的两侧，在弹性恢复力弹性恢复力和和惯性惯性两个因素互相制约下，不断重复相同的运动过程。两个因素

2、互相制约下，不断重复相同的运动过程。xF平衡位置平衡位置kmOxxF平衡位置平衡位置kmOx简谐振动方程简谐振动方程 1. 动力学特征动力学特征 系统受力系统受力: : xkF 2. 2. 运动学特征运动学特征由牛顿定律：由牛顿定律：kxtxm 22dd 0dd22 xmktx得：得： 令：令： mk 3. 3. 运动方程运动方程 0dd222 xtx 谐振动的运动方程谐振动的运动方程 振动方程振动方程。得谐振动的微分方程：得谐振动的微分方程： x t 关系曲线称关系曲线称振动曲线振动曲线。 tOxTA 简谐振动特点：简谐振动特点： (1) 等幅振动；等幅振动； (2) 周期振动。周期振动。

3、) ( cos tAx ) ( sintAx或或4. 简谐振动的特征简谐振动的特征 动力学特征：动力学特征： 运动学特征：运动学特征： (1)拍皮球时，球的运动拍皮球时，球的运动 是否是简谐振动是否是简谐振动? xkF ) ( cos tAx受弹性或准弹性回复力：受弹性或准弹性回复力： 位移是时间的正余弦函数：位移是时间的正余弦函数： 思考题：思考题：合外力与位移成正比且反向：合外力与位移成正比且反向： (2) 小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动 切向运动：切向运动： 是谐振动。是谐振动。 sintmamg dd22tRRat dd 22tmRmg

4、 0dd22 Rgt sin 因为因为 很小，所以很小，所以 令：令： 2Rg 0dd222 t m g O O 1、振幅振幅 A 最大位移的绝对值。最大位移的绝对值。 ) ( cos tAx谐振动方程：谐振动方程： 2、周期、频率和角频率周期、频率和角频率 1） 周期周期 T 完成一次全振动所需的时间完成一次全振动所需的时间 2 T弹簧振子：弹簧振子： 2 kmT , mk ATtxO 21 T3 3） 角频率角频率 2 2 秒内完成全振动的次数。秒内完成全振动的次数。( (亦称圆频率亦称圆频率) ) 22T4 4） 相位相位 ( t + ) 决定物体的振动状态。决定物体的振动状态。 5 5

5、） 初相初相 t = 0 时刻的相位时刻的相位。 2 2） 频率频率 单位时间内完成全振动的次数。单位时间内完成全振动的次数。 tOx / v /a avx ) ( sin d d tAtxv ) ( cos dd2 22 tAtxa maxAv 2 max Aa 速度速度 加速度加速度 ) ( cos tAx振动方程：振动方程： ) ( cos tAx初始条件：初始条件： 22020 vxA tan00 xv 由上式得：由上式得： 注意：注意： cos0 Ax sin0 Av 0 t3、A 和和 的确定的确定（初始条件）（初始条件） 在在 - 之间有两个值之间有两个值, 要由初始条件判断取舍

6、。要由初始条件判断取舍。(初位移初位移) (初速度初速度) 由图知由图知：A = 2m ， cos0 Ax 解解： t = 0 时时 0v sin0 Av 2cos2 0sin2 22cos 0sin 得得： 4 , 0, 01vxst，例例1: 1: 已知某质点谐振动曲线如图，已知某质点谐振动曲线如图， 试写出振动方程。试写出振动方程。t /s x /m -2O1 2 2 t(rad/s)43 (SI) ) 443 ( cos2 t振动方程：振动方程： ) cos( tAx作坐标轴作坐标轴 Ox，以角速度以角速度 绕绕 O 点点逆时针逆时针旋转。旋转。 P 点的位移：点的位移： ) ( co

7、s tAx其矢端其矢端 M 在在 x 轴投影轴投影 t 时刻与时刻与 x 轴夹角为轴夹角为 t + 。其大小为其大小为 A， P 点的运动规律点的运动规律 简谐振动。简谐振动。 OxA A t+ PM参考圆参考圆 x A自原点作一矢量自原点作一矢量 ， 三、简谐振动的矢量图解法和复数解法三、简谐振动的矢量图解法和复数解法 )sin()cos()(tiAtAAexti复数解法复数解法 )(tiAeidtxdv)sin()cos(Re2tAitAiv)sin(tA)(222)(tiAeidtxda)sin()cos()Re(232tAitAia)cos(2tA四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量

8、3. 3. 总能总能 ) (sin21212222k tAmmvE ) (cos2121222p tkAkxE 212pkkAEEE ) (sin2122k tkAE1 1. 动能动能 2 2. 势能势能 结论：结论：简谐振动的总能量与振幅的平方成正比且简谐振动的总能量与振幅的平方成正比且守恒守恒。（1）在运动过程中，动能和势能相互转换。在运动过程中，动能和势能相互转换。 cos2122ktkAE sin2122ptkAE tOE / E k / E p T221kAE 说明：说明： （2）总机械能保持不变，且与振幅的平方成正比。）总机械能保持不变，且与振幅的平方成正比。 （3）动能和势能的极

9、大值相等。）动能和势能的极大值相等。 222212121kAkxmvE2222)(xAxAmkv在平衡位置处：在平衡位置处：x=0，速度为最大。，速度为最大。在最大位移处：在最大位移处：,Ax速度为零。速度为零。4. 4. 能量平均值能量平均值 结论结论: : 简谐振动的重要特征：简谐振动的重要特征： 41d) (sin21122220kkAttAmTET 41d) (cos2112220pkAttmkATET 21 pkEEE 简谐振动系统的动能和势能在一个周期内的平均简谐振动系统的动能和势能在一个周期内的平均 值相等值相等, , 且等于总能量的一半。且等于总能量的一半。五五. 研究谐振动问

10、题的基本方法研究谐振动问题的基本方法(1) 解析法解析法(2) 曲线法曲线法(3) 旋转矢量法旋转矢量法 ) ( cos tAx t + Oxxt = tt = 0 A A已知振动方程已知振动方程 A， ， ；已知已知 A， ， 振动方程振动方程。 已知振动曲线已知振动曲线 A, , ；tA-ATxO已知已知 A, , 振动曲线振动曲线。 Ammg O l系统受力矩系统受力矩: : sin mglM 由转动定律：由转动定律： dd22tJM 单摆的运动是谐振动。单摆的运动是谐振动。例例2 2：单摆：单摆 )5( mgl mgl , dd222mgltml 0dd22 lgt lg 令令 0dd

11、222 t得得： 2glT 周期周期 振动方程振动方程: : ) ( cos0 t 说明说明: : (1) 单摆周期单摆周期 T 与摆锤的质量与摆锤的质量 m 无关。无关。)(sin21)(21212220222tmldtdlmmvEk(4) 单摆系统的机械能。单摆系统的机械能。 Ammg O l 注意注意: : 初相初相 与角位移与角位移 的区别的区别 ！ (2) 由由 T， l 可测量该地的重力加速度可测量该地的重力加速度 g 。(3) 单摆在小角度近似下为谐振动。单摆在小角度近似下为谐振动。 ) ( cos0 t振动方程振动方程: : 动能动能 势能势能 )cos1 (mglmghEp!

12、 6! 4! 21cos642)(cos21212202tmglmglEp)(cos21)(sin2122022202tmgltmlEEEpk很小，所以我们只取上式的前两项很小，所以我们只取上式的前两项很小，所以我们只取上式的前两项很小，所以我们只取上式的前两项总能量总能量202221ml2021mgl例例5.5.复摆复摆- -任意形状刚体任意形状刚体, ,质量质量m,m,质心质心C,C,求求: :小角小角 度摆动周期。度摆动周期。Omgl 说明说明: : (1) 小角度近似下为谐振动小角度近似下为谐振动。 , 0dd22 Jmglt系统受力矩系统受力矩: : sin mglM 2mglJT

13、周期：周期： Jmgl 角频率角频率： 很小时很小时 dd22tJM mgl ) ( cos0 t振动方程振动方程: : 0dd222 t(2) 可测量物体对转轴的转动惯量可测量物体对转轴的转动惯量 J 。一横截面积为一横截面积为S的矩形木块浮在水面上，水下深度为的矩形木块浮在水面上，水下深度为a时达时达到平衡，在外力的作用下使木块在水中深度为到平衡，在外力的作用下使木块在水中深度为b，然后放手，然后放手，在忽略水的阻力的情况下，木块的振动是否是简谐振动？在忽略水的阻力的情况下，木块的振动是否是简谐振动？如果是，写出振动方程。如果是，写出振动方程。 例例6 6： a Sbxox解：解：建立建立

14、 x 坐标如图坐标如图。 平衡位置：平衡位置： aSgmg 任意位置：任意位置： dd22Fmgtxm )(SgaxaSg , dd 22SgxtxaS 0dd22 xagtx ag 令令 得得 0dd222 xtx a Sbxox初始条件：初始条件： 0 , , 000 vabxt cos Aab sin 0 A abA 0 振动方程：振动方程： cos )(xagabx 22gaT 周期周期 ag 角频率角频率 作业7-2，7-3，7-4，7-5一一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成同一直线上两个同频率简谐振动的合成 21AAA A2A1xOAx2x1x 1 2 t = 0 时刻的矢量图

15、时刻的矢量图 coscossinsinarctan22112211 AAAA )cos(212212221 AAAAA ) ( cos222 tAx , ) ( cos111 tAx1 1. 旋转矢量法旋转矢量法 ) ( cos) ( cos221121 tAtAxxxcos ( ) , xAt2 2）. . 相位差相位差 ) () (12 tt两同频率谐振动的两同频率谐振动的相位差相位差： )(1 2 , ) ( cos111 tAx ) ( cos222 tAx 12 (初相差初相差) A2A1xOAx2x1x 1 2 , ) ( costAx )cos(212212221 AAAAA(1

16、) 同相：同相： 两振动步调相同，振动加强，两振动步调相同，振动加强，同相同相。 同相同相 x 21AAA ) , 2 , 1 , 0 ( k合振幅最大合振幅最大 212 k x2xox1t(2) 反相：反相： 两振动步调相反，振动减弱，两振动步调相反，振动减弱，反相反相。 反相反相x ) 12(12 k ) , 2 , 1 , 0 ( k21AAA 合振幅最小合振幅最小当当 A1 = A2 时，时，静止静止。x2xox1ttxox1x2 )cos(212212221 AAAAA（3 3）. . 超前和落后超前和落后 则称：则称： x2 比比 x1 超前；超前； 或或 x1 比比 x2 落后。

17、落后。超前超前 / 落后以落后以 0 弱阻尼弱阻尼 0无阻尼无阻尼 = 0 , 2220 共共 2220 hA共共 应用：应用：(1) 电磁共振选台电磁共振选台(收音机收音机)；(2) 用来研究物质结构；用来研究物质结构；(3) 研究避免共振的破坏的措施等。研究避免共振的破坏的措施等。v 破坏外力破坏外力( (强迫力强迫力) )的周期性的周期性v 改变系统固有频率改变系统固有频率v 改变外力的频率改变外力的频率v 增大系统阻尼力增大系统阻尼力塔科马海峡大桥的共振断蹋塔科马海峡大桥的共振断蹋 2 2 2 2 2 0 ()4hA 波动波动 振动在空间的传播过程。振动在空间的传播过程。 常见的波：机

18、械波，绳子上的波，声波，水波常见的波：机械波，绳子上的波，声波，水波 无线电波，光波等无线电波，光波等1 1、产生机械波的条件产生机械波的条件 1 1） 产生机械振动的产生机械振动的振源振源 (波源波源)2） 传播这种机械振动的传播这种机械振动的弹性介质弹性介质 波动是波源的振动状态或能量在介质中的传播波动是波源的振动状态或能量在介质中的传播，介质中介质中质点并不随波前进质点并不随波前进，只在各自的平衡位置附近往复运动。只在各自的平衡位置附近往复运动。2 2、横波和纵波、横波和纵波 1 1） 横波横波: : 振动方向振动方向传播方向传播方向的波。的波。2 2）纵波）纵波: : 振动方向振动方向

19、传播方向传播方向的波。的波。 v 固体中的波源可以产生横波和纵波。固体中的波源可以产生横波和纵波。v 液体和气体中的波源只能产生纵波。液体和气体中的波源只能产生纵波。v 水面波既不是纵波，也不是横波。水面波既不是纵波，也不是横波。任一波任一波(如水波、地表波如水波、地表波)都能分解为横波与纵波进行研究。都能分解为横波与纵波进行研究。3 3、波的几何描述波的几何描述1 1） 波面波面 振动相位相同的各点连成的面振动相位相同的各点连成的面(同相面同相面)。3 3） 波线波线 沿波的传播方向的射线。沿波的传播方向的射线。 在各向同性的均匀介质中：在各向同性的均匀介质中：波线波线波面波面。 平平 面面

20、 波波波线波线 波面波面2 2） 波前波前 波源最初振动状态传播到各点所连成的面。波源最初振动状态传播到各点所连成的面。 根据波前的形状可以把波分为根据波前的形状可以把波分为平面波平面波、球面波球面波、柱面波柱面波等。等。球球 面面 波波波线波线 波面波面v 横波波长：横波波长： 相邻的波峰相邻的波峰(或波谷或波谷)间距离；间距离； 简谐波简谐波 波源作简谐振动，介质不吸收波动的能量，波源作简谐振动，介质不吸收波动的能量， 各质点也重复波源的简谐振动形成的波。各质点也重复波源的简谐振动形成的波。 平面简谐波平面简谐波 波面是平面的简谐波波面是平面的简谐波(一维简谐波一维简谐波)。 1) 1)

21、波长波长 v 纵波波长：纵波波长： 相邻的密部相邻的密部(或疏部或疏部) 中心间距离。中心间距离。 波线上两个相邻的相位差为波线上两个相邻的相位差为 2 的质点间的距离。的质点间的距离。 波线上每隔波线上每隔的的距离出现相位差距离出现相位差 2 、振动状态相同振动状态相同的质点，的质点，反映了波的空间周期性反映了波的空间周期性。 单位时间内波动所传播的距离。单位时间内波动所传播的距离。 波前进一个波前进一个的距离所需的时间的距离所需的时间。 周期的倒数。周期的倒数。 2) 2) 周期周期 T 波线上各质点每隔波线上各质点每隔 T 时间完成一次全振动，时间完成一次全振动，T 反映了反映了 波的时

22、间周期性。波的时间周期性。3 3) ) 频率频率 振振波波TT 即单位时间内波传播的距离中包含的波长的数目即单位时间内波传播的距离中包含的波长的数目( (波数波数) )。 振振波波 4) 4) 波速波速 u 即同相面或波前前进的速度，亦称即同相面或波前前进的速度，亦称 相速相速。 在各向同性的均匀弹性介质中，简谐波的在各向同性的均匀弹性介质中，简谐波的u是常数，是常数，仅由介质本身的性质决定。仅由介质本身的性质决定。 5)5)、T、u 的关系的关系 Tu 波速波速 u 决定于介质；决定于介质； 频率频率决定于波源决定于波源。 该式将波的该式将波的空间周期性空间周期性和和时间周期性时间周期性联系

23、在一起。联系在一起。 同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时， 频率频率 不变，波速不同，不变，波速不同， 因而波长因而波长 不同不同。1 1） 弹性绳或弦线上的弹性绳或弦线上的横波波速横波波速2 2） 固体中的固体中的横波波速横波波速 Tu 横横T 绳或弦中的张力绳或弦中的张力；5 5、机械波的传播速度、机械波的传播速度 绳或弦的质量线密度绳或弦的质量线密度。 Gu 横横G 切变模量；切变模量；F切切 固体的质量体密度固体的质量体密度。 4 4）液体和气体中的）液体和气体中的纵波波速纵波波速 Bu 纵纵B容变模量容变模量； 3 3） 固体中

24、的固体中的纵波波速纵波波速Y杨氏模量；杨氏模量； Yu 纵纵 固体的质量体密度。固体的质量体密度。 液体或气体的质量体密度。液体或气体的质量体密度。 G Y， 固体中固体中 u横横 u纵纵 。一）波的叠加原理一）波的叠加原理两列或两列以上的波可以互不影响地同时通过某一区域；在两列或两列以上的波可以互不影响地同时通过某一区域；在相遇区域内共同在某质点引起的振动，是各列波单独在该质相遇区域内共同在某质点引起的振动，是各列波单独在该质点所引起的振动的合成，这一规律称之为点所引起的振动的合成，这一规律称之为波的叠加原理波的叠加原理。在其后任一时刻，这些子波的包络面就是新的波前。在其后任一时刻，这些子波

25、的包络面就是新的波前。 介质中波动到达的各点都可以看作发射子波的波源，介质中波动到达的各点都可以看作发射子波的波源， 二）惠更斯原理二）惠更斯原理平平 面面 波波 球球 面面 波波传播方向传播方向t 波面波面t + t 波面波面u tt t + + t tt t传播方向传播方向2 2） 波的衍射波的衍射 ( 绕射绕射 ) 波传播过程中遇到障碍物能绕过其边缘传播的现象。波传播过程中遇到障碍物能绕过其边缘传播的现象。如果你家在大山之后，如果你家在大山之后，广播台、电视台都在山前，广播台、电视台都在山前，a听广播听广播和和看电视看电视哪个更容易哪个更容易? 简谐波简谐波 波源作简谐振动，介质不吸收波

26、动的能量，波源作简谐振动，介质不吸收波动的能量， 各质点也重复波源的简谐振动形成的波。各质点也重复波源的简谐振动形成的波。 平面简谐波平面简谐波 波面是平面的简谐波波面是平面的简谐波(一维简谐波一维简谐波)。 cos( ) oyAt uxt x P x yOcos( 2) pxyAtu在在 t t时间内时间内O O点完成全振动点完成全振动 次次xtu O点的振动方程：点的振动方程： 距距O点为点为x的的P点的振动方程：点的振动方程： P P点的相位落后点的相位落后O O点点2xuP P点的振动方程：点的振动方程：cos( 2) pxyAtu平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 ),( txyy

27、 , 22 T Tu 利用关系式：利用关系式： ) (2 cos xtAy ) (2 cos xTtAy 2 cos xtAy得下述等价形式的得下述等价形式的波函数波函数： cos yAtkx 2:k 角角波波数数2. 2. 波函数的物理意义波函数的物理意义 波函数表示波函数表示 x1 1 处质点的处质点的振动方程振动方程， (1) x 一定：一定： x = x1 (常量常量) )2 ( cos1 xtAy常常 量量 对应对应 y t 曲线曲线为该质点为该质点振动曲线振动曲线。 该质点的相位落后于该质点的相位落后于O点点 ， 21 x 2 cos xtAytyO振动曲线振动曲线 波函数表示波函

28、数表示 t1 时刻各质点位移分布，时刻各质点位移分布， (2) t 一定：一定： t = t1 (常量常量) )2 ( cos1 xtAy ) 2( cos1 txA常常 量量 y x 曲线曲线为该时刻为该时刻波形曲线波形曲线。 称称 t1 时刻的时刻的波形方程波形方程。 xuyOt1Px 波形曲线反映了横波、纵波的波形曲线反映了横波、纵波的 各质点各质点位移位移情况。情况。 ( , )cos () PxyxtAtu(3) x，t 皆为变量皆为变量 ( , )cos ( ) Qxxy xx ttAttuQ )( cos),( uxtAttxxyQ ) , ( txyP x = u t xut

29、+ t波动方程表示波线上波动方程表示波线上所有质点所有质点在在各个时刻各个时刻的位移情况。的位移情况。当当x x和和t t都在变化时，整个波形以波速都在变化时，整个波形以波速u u沿波线传播，称之为沿波线传播，称之为行波行波。 xu t txyO质点质点P P的运动状态以速度的运动状态以速度u u向前传播。向前传播。 波动方程的波动方程的物理意义物理意义 简谐波具有空间和时间周期性：简谐波具有空间和时间周期性：空间上每隔空间上每隔的距离出现振动状态相同的点；的距离出现振动状态相同的点；v 时间上每隔时间上每隔 T 的时间波形重复一次。的时间波形重复一次。v 平面简谐波的波动方程既适用于横波，也

30、适用于纵波。平面简谐波的波动方程既适用于横波，也适用于纵波。 xuyOtt + t ) ( cos uxtAy 波动方程既描述了波线上各质点振动状态及相位差异，波动方程既描述了波线上各质点振动状态及相位差异， 又描述了随着时间的推移，波形以波速又描述了随着时间的推移，波形以波速 u 沿传播方向传播的沿传播方向传播的情况，具有完整的波动意义。情况，具有完整的波动意义。4.4.波函数的复数表示波函数的复数表示 2 cos xtAy(2)xityAe()it kxAe波函数波函数3.3.波沿着波沿着x x轴负方向传播轴负方向传播 cos 2 xyAt 5 5. 波线上各质点的振动速度和加速度波线上各

31、质点的振动速度和加速度 ) ( sin uxtAtyv ) ( cos 222 uxtAtya 注意注意 振动速度振动速度 v 与波速与波速 u 的区别：的区别： u 波在各向同性的均匀介质中传播速度，是常数。波在各向同性的均匀介质中传播速度，是常数。 v 介质中各质点振动速度，是时间的周期函数；介质中各质点振动速度，是时间的周期函数； ) ( cos uxtAy根据波函数根据波函数 得：得： 速速 度：度： 加速度：加速度： ) (2cos xTtAy解解: : (1) 按所给条件按所给条件, , 取波函数的一般形式为取波函数的一般形式为式中式中 为为坐标原点坐标原点的振动的振动初相初相，由已知得：，由已知得： 2 代入所给数据，代入所给数据， 得得 2 ) 0 . 4 0 . 2 (2cos 0 . 1 xty波函数