第二讲 最大可能法

1、回顾旧知回顾旧知一般的讲，风险型决策问题应该具备下列一般的讲，风险型决策问题应该具备下列4 4个要素：个要素：（1 1）决策的备选方案；）决策的备选方案；（2 2）未来状态及其概率；）未来状态及其概率；（3 3）单个备选方案在不同状态下的损益值；）单个备选方案在不同状态下的损益值；（4 4）决策准则）决策准则. .接下来，我们来介绍一种风险决策的方法接下来，我们来介绍一种风险决策的方法. . 1.在熟悉上一讲的基础上充分理解风险决策在熟悉上一讲的基础上充分理解风险决策的定义，了解本节内容是上一讲的延伸；的定义，了解本节内容是上一讲的延伸； 2.熟悉并掌握最大可能法的方法，并能灵活熟悉并掌握最大

2、可能法的方法，并能灵活应用它解决实际问题应用它解决实际问题.1.通过最大可能法的学习，理解和掌握一通过最大可能法的学习，理解和掌握一种风险与决策方法的应用；种风险与决策方法的应用； 2.培养通过已学过的基本思想，具体解决培养通过已学过的基本思想，具体解决实际问题实际问题.1.通过对一种风险与决策方法的具体了解，通过对一种风险与决策方法的具体了解，能够体会数学中的联系与结合，有利于理解和能够体会数学中的联系与结合，有利于理解和掌握掌握. 2.通过课堂学习培养敢于结合以前所学知通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.联系上

3、一讲风险与决策的初步了解，了解联系上一讲风险与决策的初步了解，了解最大可能法的初步应用最大可能法的初步应用. 深刻准确地理解最大可能法的应用，并能深刻准确地理解最大可能法的应用，并能利用它分析并解决实际问题利用它分析并解决实际问题. 我们知道，一个事件的我们知道，一个事件的概率越大概率越大，它发生的，它发生的可能性就越大可能性就越大.当面对未来情况的各种状态时，由当面对未来情况的各种状态时，由于已经知道它们出现的于已经知道它们出现的概率概率，或者这些概率可以，或者这些概率可以估算出来，决策者就可以挑选其中估算出来，决策者就可以挑选其中概率最大概率最大状态状态作为考虑问题的出发点，然后在挑选对自

4、己最有作为考虑问题的出发点，然后在挑选对自己最有利的利的行动方案行动方案.提示提示这实际上是对这实际上是对“最大可能法最大可能法”的详细解释的详细解释. .探究探究 某农户要在地里种一种农作物，它可以种玉某农户要在地里种一种农作物，它可以种玉米、小麦或棉花米、小麦或棉花.根据历年的气象资料了解到天气根据历年的气象资料了解到天气干旱、天气正常和天气多雨的概率分别为干旱、天气正常和天气多雨的概率分别为0.3，0.6，0.1.这三种农作物在三种天气状态下获利情这三种农作物在三种天气状态下获利情况如下表所示，该农户应该怎样决策呢？况如下表所示，该农户应该怎样决策呢？方案方案干旱干旱正常正常多雨多雨种玉

5、米种玉米0.20.40.3中小麦中小麦0.20.50.4种棉花种棉花0.30.60.2分析分析 该用户的目的是获取最大利润该用户的目的是获取最大利润.未来天气状态未来天气状态正常的概率是正常的概率是0.6，远大于干旱年份的概率，远大于干旱年份的概率0.3和多和多雨的年份雨的年份0.1，使用最大可能法进行决策，应该选，使用最大可能法进行决策，应该选定天气正常作为考虑哪种农作物的出发点定天气正常作为考虑哪种农作物的出发点. 解：在天气正常的年份里，由上表可知中间解：在天气正常的年份里，由上表可知中间那一列棉花获利最多（那一列棉花获利最多（0.6万元），该用户的最佳万元），该用户的最佳行动方案是在这

6、块地里种棉花行动方案是在这块地里种棉花.注意注意 在这里需要指出，该农户决定中棉花，并不意在这里需要指出，该农户决定中棉花，并不意味着他就能获得味着他就能获得0.60.6万元的利润，毕竟这是一个带有万元的利润，毕竟这是一个带有风险的决策风险的决策. .运用概率的思想方法不难发现，虽然未运用概率的思想方法不难发现，虽然未来天气多雨的概率只有百分之十，但是天有不测风来天气多雨的概率只有百分之十，但是天有不测风云，一旦降水量多的年份来临，该农户就只有云，一旦降水量多的年份来临，该农户就只有0.20.2万万元，比种玉米和小麦的收入要少元，比种玉米和小麦的收入要少. .即我们的预测可以最合理，即我们的预

7、测可以最合理，但并不一定是最好！但并不一定是最好！定义定义1 1损益函数：损益函数： 损益函数损益函数R（a，x）是一个关于是一个关于两个变量两个变量a，x的函数，其中第一个变量的函数，其中第一个变量a表示决策者可以采取表示决策者可以采取的的各种方案各种方案.在上一个例题中，在上一个例题中，a1表示种玉米，表示种玉米，a2表示种小麦，表示种小麦，a3表示种棉花表示种棉花.第二个变量第二个变量x表示未表示未来外界情况可能发生的来外界情况可能发生的各种状态各种状态.在上一例题中在上一例题中，x1表示天气干旱，表示天气干旱，x2表示天气正常，表示天气正常，x3表示天表示天气多雨气多雨.想一想想一想R

8、(a1,x1)代表什么意思？代表什么意思？R（a3，x3)呢？呢？ 解：解：R(a1,x1)意味着在干旱天气下种玉米的意味着在干旱天气下种玉米的获利；获利；R(a3,x3)表示在正常天气状态下种棉花的表示在正常天气状态下种棉花的获利获利. .那在上个例题中所有的损益那在上个例题中所有的损益值情况是怎样的呢？值情况是怎样的呢？R(a1,x1）=0.2,R(a1,x2)=0.4,R(a1,x3)=0.3,R(a2,x1）=0.2，R(a2,x3)=0.5,R(a2,x3)=0.4,R(a3,x1)=0.3,R(a3,x20=0.6，R(a3,x3）=0.2.定义定义2 2损益矩阵：损益矩阵： 把把

9、9个收益值按照上面的次序用矩阵形个收益值按照上面的次序用矩阵形式表示出来，就得到了损益矩阵式表示出来，就得到了损益矩阵.损益矩阵可损益矩阵可用大写的应为字母用大写的应为字母R表示，即表示，即0.20.40.30.20.50.40.30.60.2即损益函数值按一定次即损益函数值按一定次序排列起来序排列起来. .总结总结 1.损益函数损益函数R（a，x）和损益矩阵）和损益矩阵R能充分能充分反映各个备选方案在不同状态下的收益值或损反映各个备选方案在不同状态下的收益值或损失值，使决策者做风险决策的重要依据失值，使决策者做风险决策的重要依据. 2.通过上面的分析，我们可以知道，用函数通过上面的分析，我们

10、可以知道，用函数或矩阵的手段来研究数学问题，往往使其变得更或矩阵的手段来研究数学问题，往往使其变得更加简便且更加能反映实质，所以我们应该掌握他加简便且更加能反映实质，所以我们应该掌握他们的基本应用们的基本应用.实际问题 为生产某种产品，投资方有两种投资方案，为生产某种产品，投资方有两种投资方案，一个是建设大工厂，另一个是建设小工厂一个是建设大工厂，另一个是建设小工厂.大工厂大工厂需要投资需要投资300万元，小工厂需要投资万元，小工厂需要投资150万元，两万元，两者的使用期限都是者的使用期限都是10年年.估计在此期间，产品畅销估计在此期间，产品畅销的概率是的概率是0.7，产品滞销的概率是，产品滞

11、销的概率是0.3.两个方案的两个方案的年度收益情况如下表所示年度收益情况如下表所示.投资方应该做出怎样的投资方应该做出怎样的决策呢？决策呢？方案方案a1：造大工厂：造大工厂a2：造小工厂：造小工厂x1：产品畅销：产品畅销 x2：产品滞销：产品滞销0.70.310040-2020 两个方案的年度收益情况单位：两个方案的年度收益情况单位：万元万元 解：投资方案的决策目标是获取最大利润解：投资方案的决策目标是获取最大利润.由于上表中给出的是一年的收益情况，为了讨由于上表中给出的是一年的收益情况，为了讨论方便，需要求出工厂投产论方便，需要求出工厂投产10年的损益函数年的损益函数R（a，x)或损益矩阵或

12、损益矩阵R.R(a1,x1)=10010-300=700;R(a1,x2)=(-20) 10-300=-500;R(a2,x1)=4010-150=250;R(a2,x2)=2010-150=50.损益函数为损益函数为损益矩阵为损益矩阵为700-50025050使用概率的记号，由题意，使用概率的记号，由题意， P（产品畅销）（产品畅销）=0.7 P（产品滞销）（产品滞销）=0.3. 根据最大可能法，应与未来产品畅销的状根据最大可能法，应与未来产品畅销的状态作为选择基建方案的出发点态作为选择基建方案的出发点. 从损益矩阵从损益矩阵 R= 表示产品畅销的第一表示产品畅销的第一列数据易见，早大工厂的

13、总利润列数据易见，早大工厂的总利润700万元远大于造万元远大于造小工厂的总利润小工厂的总利润250万元，投资方应该采纳造大工万元，投资方应该采纳造大工厂的基建方案厂的基建方案. 700-50025050 进一步观察益损矩阵进一步观察益损矩阵R可以看出，造大工厂可以看出，造大工厂虽然可能获得虽然可能获得700万元，但承担的风险很大，一万元，但承担的风险很大，一旦由于种种始料未及的原因产品滞销，就要遭旦由于种种始料未及的原因产品滞销，就要遭受损失受损失500万元万元.而若建设小工厂，不管产品畅销而若建设小工厂，不管产品畅销、滞销，均能获利，但获利的数量相对来说要、滞销，均能获利，但获利的数量相对来

14、说要小得多小得多.这个例子表明风险型决策在实际工作中这个例子表明风险型决策在实际工作中有很大的应用价值有很大的应用价值.总结总结 我们把用最大可能法进行决策的步骤归纳如下：我们把用最大可能法进行决策的步骤归纳如下：第一步第一步 明确问题的决策目标；明确问题的决策目标；第二步第二步 明确未来状态明确未来状态x1，x2，及其概率，确定可及其概率，确定可 供选择的方案供选择的方案a1，a2，；第三步第三步 明确损益函数明确损益函数R（a，x）或损益函数或损益函数R；第四步第四步 由未来状态的概率与由未来状态的概率与R（a，x）（或）（或R）从从a1， a2，中选出最佳行动方案中选出最佳行动方案. 1

15、.最大可能法最大可能法：当面对未来情况的各种状：当面对未来情况的各种状态时，由于已经知道它们出现的概率，或者这态时，由于已经知道它们出现的概率，或者这些概率可以估算出来，决策者就可以挑选其中些概率可以估算出来，决策者就可以挑选其中概率最大状态作为考虑问题的出发点，让后在概率最大状态作为考虑问题的出发点，让后在挑选对自己最有利的行动方案挑选对自己最有利的行动方案. 2.损益函数损益函数R（a，x）是一个关于两个变量是一个关于两个变量a，x的函数，其中第一个变量的函数，其中第一个变量a表示决策者可以表示决策者可以采取的各种方案；第二个变量采取的各种方案；第二个变量x表示未来外界情表示未来外界情况可

16、能发生的各种状态况可能发生的各种状态. 3.损益矩阵：损益矩阵：把损益函数中的可能值把损益函数中的可能值按照一定的次序用矩阵形式表示出来，就按照一定的次序用矩阵形式表示出来，就得到了损益矩阵得到了损益矩阵.损益矩阵可用大写的英文损益矩阵可用大写的英文字母字母R表示表示.其一般形式为其一般形式为a11a12a13a21a22a23a31a32a33习题二参考解答习题二参考解答.1.用最大可能法用最大可能法.(1)决策目标：利润最大决策目标：利润最大.(2)未来状态及其概率：未来状态及其概率：P（天晴）（天晴）=0.5，P(天天阴）阴）=0.2，P（天气经常下雨）（天气经常下雨）=0.3.备选方案

17、：备选方案：a1:采购西瓜，采购西瓜，a2：采购哈密瓜：采购哈密瓜.(3)损益矩阵损益矩阵R：2000010000-1000015000100003000 (4)应假定未来天晴，由损益矩阵应假定未来天晴，由损益矩阵R的第一的第一列容易看出列容易看出2000015000,最佳决策方案是最佳决策方案是a1；采购西瓜采购西瓜.2.用最大可能法用最大可能法.(1)决策目标：收益最大决策目标：收益最大.(2) 损益矩阵，损益矩阵，24002400240024002400240090032003200320032003200-60017004000400040004000-2100200250048004

18、8004800-3600-13001000330056005600-5100-2800-500180041006400a件件x件件 (3)应假定今冬需求量应假定今冬需求量5件，由益损矩阵件，由益损矩阵R的第三列容易看出，数值的第三列容易看出，数值4000最大，于是，最大，于是，最佳决策方案订购最佳决策方案订购5件皮上衣件皮上衣.3.用最大可能法用最大可能法. (1) 本题的未来状态应设为市场的日销量，本题的未来状态应设为市场的日销量，利用去年同期的销售记录可以估计其概率分布，利用去年同期的销售记录可以估计其概率分布，这里，总的销售天数为这里，总的销售天数为18+36+27+9=90(天天).x箱箱100120140160P0.20.20.30.1(2)益损矩阵为益损矩阵为5000500050005000440060006000600038005400700070003200480064008000 (3)决策目标是获利越多越好决策目标是获利越多越好.每天销售每天销售120箱箱的概率的概率0.4最大，可以此组织生产最大，可以此组织生产.从损益矩阵从损益矩阵R第第二列容易看出，此时获利二列容易看出，