第3课时逆否命题的应用及反证法

1、1【学习目标】1.进一步认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系2.会利用命题的等价性和反证法解决问题【学法指导】从四种命题的相互关系看命题的真假， 通过利用反证法与等价命题证明一些结论，锻炼思维的灵活性.2前课复习前课复习 1.原命题： 若 p,则 q.其逆命题是否命题是逆否命题是；2.原命题，逆命题，否命题，逆否命题，这四种命题中是互为逆否关系，是互否关系，是互逆关系；3.原命题，逆命题，否命题，逆否命题，这四种命题中真命题的个数可能是原命题与逆否命题，逆命题与否命题原命题与逆否命题，逆命题与否命题 原命题与否命题，逆命题与逆否命题原命题与否命题，逆命题与逆否命题 原命题与逆命题，否命题

2、与逆否命题原命题与逆命题，否命题与逆否命题 0,2,4 3热身训练热身训练 1.若命题A 的否命题为 B， 命题 B 的逆命题为 C， 则 C 是B 的()A逆命题B否命题C逆否命题D以上都不对2.写出命题“若 x2+y20，则 xy0”的逆命题、否命题、逆否命题.3.设原命题是“当c0 时，若 ab,则 acbc，写出其逆命题、否命题和逆否命题 C其中 c0 是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是 ab,结论是 acbc4问题探究问题探究 反证法反证法1.反证法的概念从命题结论的反面出发， 引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。2.反证法证明问题的步骤：假设命题的结

3、论不成立,即假设结论的反面成立;（反设）从这个假设出发,经过推理证明,得出矛盾;（归谬）由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.（结论）3.反证法的使用范围：难于直接使用已知条件导出结论的命题；唯一性命题；“至多”或“至少”性命题； 否定性或肯定性命题。5问题探究问题探究 等价命题证明问题与反证法等价命题证明问题与反证法问题利用已有知识，你认为等价命题证明问题和反证法是不是一回事？答案利用等价命题证明问题，是反证法的一种，反证法证题时否定结论，经过推理论证，可以和已知条件矛盾，也可以和已知的事实结论矛盾，甚至和自身矛盾；而利用逆否命题证明只是和已知条件矛盾，即从否定结论，得到否定条件6理

4、论迁移理论迁移例 证明：已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a、bR，若 f(a)f(b)f(a)f(b)，则 ab0.证明原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若 ab0，则 f(a)f(b)f(a)f(b)”当 ab0 时，ab，ba，又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，即逆否命题为真命题原命题为真命题证明原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若 ab0，则 f(a)f(b)f(a)f(b)”当 ab0 时，ab，ba，又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，

5、f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，即逆否命题为真命题原命题为真命题当 ab0 时，ab，ba，又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，即逆否命题为真命题原命题为真命题当 ab0 时，ab，ba，又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，即逆否命题为真命题原命题为真命题当 ab0 时，ab，ba，又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，即逆否命题为真命题原命题为真命题7理论迁移理论迁移变式训练 证明：若 a24

6、b22a10，则 a2b1.8理论迁移理论迁移例 判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式x2(2a1)xa220 的解集非空，则 a1”的逆否命题的真假已知 a，x 为实数，若 a1，则关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220的解集为空集真假判断如下：9理论迁移理论迁移例 判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式x2(2a1)xa220 的解集非空，则 a1”的逆否命题的真假反思与感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题10

7、理论迁移理论迁移例 已知 a，b，cR，证明：若 abc1，则 a，b，c 中至少有一个小于13.证明：原命题的逆否命题为：已知 a，b，cR，若 a，b，c 都不小于1由条件 a13，b13，c13，三式相加得 abc1，显然逆否命题为真命题所以原命题也为真命题即已知 a，b，cR，若 abc1，证明：原命题的逆否命题为：已知 a，b，cR，若 a，b，c 都不小于13，则 abc13，b13，c13，三式相加得 abc1，显然逆否命题为真命题所以原命题也为真命题即已知 a，b，cR，若 abc1，3，三式相加得 abc1，显然逆否命题为真命题所以原命题也为真命题即已知 a，b，cR，若 a

8、bc1，3，三式相加得 abc1，显然逆否命题为真命题所以原命题也为真命题即已知 a，b，cR，若 abc1，11理论迁移理论迁移例 已知 a，b，cR，证明：若 abc1，则 a，b，c 中至少有一个小于13.证明：(反证法)假设 a，b，c 都不小于1由 a13，b13，c13，三式相加得 abc1，这与已知条件 abc=1 相矛盾所以假设不成立，原命题成立证明：(反证法)假设 a，b，c 都不小于13，即 a13，b13，c133，三式相加得 abc1，这与已知条件 abc=1 相矛盾所以假设不成立，原命题成立3，三式相加得 abc1，这与已知条件 abc1 相矛盾所以假设不成立，原命题

9、成立12达标检测达标检测1.已知命题p:“若 ac0,则二次方程 ax2bxc0没有实根”写出命题 p 的否命题；判断命题 p 的否命题的真假，并证明你的结论解:命题 p 的否命题为“若 ac0，则二次方程 ax2bxc0 有实根”命题 p 的否命题是真命题证明如下：ac0b24ac0二次方程 ax2bxc0 有实根该命题是真命题解:命题 p 的否命题为“若 ac0，则二次方程 ax2bxc0 有实根”命题 p 的否命题是真命题证明如下：ac0b24ac0即二次方程 ax2bxc0 有实根该命题是真命题13达标检测达标检测2.判断命题：“若 b1，则关于 x 的方程 x22bxb2b0有实根”

10、的逆否命题的真假解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可方程判别式为4b24(b2b)4b，因为 b1，所以40， 故此方程有两个不相等的实根， 即原命题为真，故它的逆否命题也为真14达标检测达标检测2.判断命题：“若 b1，则关于 x 的方程 x22bxb2b0有实根”的逆否命题的真假解方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于 x 的方程 x22bxb2b0 无实根，则 b1”方程判别式为4b24(b2b)4b，因为方程无实根，所以0，即4b0，所以 b1 成立，即原命题的逆否命题为真15达标检测达标检测3.证明：若 x2+y20，则 xy04.证明：若034222baba，16归纳延伸归纳延伸1.原命题和逆否命题的真假性相同， 所以可以利用等价命题判断一个命题的真假.2.利用等价命题证明问题， 是反证法的