波的叠加干涉和驻波.

1、12u u t t波传播方向波传播方向波波t+ t+ t t1.1.内容内容 介质中任一波阵面上的各点，介质中任一波阵面上的各点， 都是发射子波的新波都是发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面 根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面，根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面，就可以确定下一时刻的波阵面。就可以确定下一时刻的波阵面。3 波在传播过程中，遇到障碍物波在传播过程中，遇到障碍物时其传播方向发生改变，绕过障碍时其传播方向发生改变，绕过障碍物的边缘继续传播的现象。物的边缘继续传播的现象。利用惠更斯原理可解释波的衍射、

2、反射和折射。利用惠更斯原理可解释波的衍射、反射和折射。2.2.惠更斯原理的应用惠更斯原理的应用1 1、波的衍射、波的衍射 波达到狭缝处，缝上各点都可看波达到狭缝处，缝上各点都可看 作子波源，作出子波包络，得到新的作子波源，作出子波包络，得到新的 波前。在缝的边缘处，波的传播方向发生改变。波前。在缝的边缘处，波的传播方向发生改变。当狭缝缩小，与波长相近时，衍射效果显著。当狭缝缩小，与波长相近时，衍射效果显著。衍射现象是波动特征之一。衍射现象是波动特征之一。水波通过狭缝后的衍射图象。水波通过狭缝后的衍射图象。4 当波传播到两种介质的分界当波传播到两种介质的分界面时，一部分反射形成反射波，面时，一部

3、分反射形成反射波，另一部分进入介质形成折射波。另一部分进入介质形成折射波。iir. .入射线、反射线和界面的法入射线、反射线和界面的法线在同一平面上；线在同一平面上；2 . .波的反射与折射波的反射与折射ii. .反射角等于入射角。反射角等于入射角。. .入射线、折射线和界面的法线在同一平面上；入射线、折射线和界面的法线在同一平面上；. .21sinsinuuri2112nn1u1n2n2u1221nucn 5 由惠更斯原理，由惠更斯原理，A、B为同一波面上的两点，为同一波面上的两点，A、B点会发射子波，点会发射子波，irABCDitu 2rtu 1经经t后，后， B点发射的子波到达界面处点发

4、射的子波到达界面处D点，点， A点的到达点的到达C点，点，ADBDisinADtu 1ADACrsinADtu 221sinsinuuritt/212121n证毕证毕 惠更斯原理不能说明子波的强度分布，也不能解惠更斯原理不能说明子波的强度分布，也不能解释波动为什么不会向后传播的问题。释波动为什么不会向后传播的问题。61.1.内容内容1. .几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播过程中没有遇到其它波一样。过程中没有遇到其它波一样。2. .在相遇区域内，

5、介质任一点的振动为各列波单独存在相遇区域内，介质任一点的振动为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和。在时在该点所引起的振动位移的矢量和。波的独立性原理波的独立性原理波的叠加原理。波的叠加原理。7 叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个原因；为简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个原因； 波的叠加原理并不是普遍成立的，有些是不遵波的叠加原理并不是普遍成立的，有些是不遵守叠加原理的。守叠加原理的。 如果描述某种运动的微分方程是线性微分方程如果描述某种运动的微分方程是线性微分方程，这个运动就遵从叠加原理，

6、如果不是线性微分方，这个运动就遵从叠加原理，如果不是线性微分方程，它就不遵从叠加原理。程，它就不遵从叠加原理。222221tyuxy1y若若 、 分别是它的解，则分别是它的解，则 也是它的解也是它的解,即上述波动方程遵从叠加原理。即上述波动方程遵从叠加原理。)(21yy 2y波动方程：波动方程：它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。81.1.波的干涉现象波的干涉现象 频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两列波（或多列波）相遇时，两列波（或多列波）相遇时，在介质中某些位置的在介质中某些位置的点振幅始终最大，

7、另一些位置振幅始终最小，而其点振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变。它位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变。称称这种稳定的叠加图样为这种稳定的叠加图样为干涉干涉现象现象。2.2.相干条件相干条件1. .两列波振动方向相同；两列波振动方向相同；2. .两列波频率相同；两列波频率相同；3. .两列波有稳定的相位差。两列波有稳定的相位差。满足相干条件的波满足相干条件的波源称为源称为相干波源。相干波源。93.3.干涉加强、减弱条件干涉加强、减弱条件设有两个频率相同的波源设有两个频率相同的波源 和和 ，1S2S其振动表达式为：其振动表达式为：)cos(11

8、010tAy)cos(22020tAy1r2rP1S2S两列波传播到两列波传播到 P P 点引起的振动分别为：点引起的振动分别为： )2cos(1111rtAy)2cos(2222rtAy在在 P P 点的振动为同方向同频率振动的合成。点的振动为同方向同频率振动的合成。A A1 1、A A2 2是是S S1 1、S S2 2在在P P点引起的振动的振幅。点引起的振动的振幅。10下面讨论干涉现象中的强度分布下面讨论干涉现象中的强度分布在在 P 点的合成振动为：点的合成振动为：)cos(21tAyyy 由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：强度

9、为：cos22121IIIII)(2)(1212rr 对空间不同的位置，都有恒定的对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有在空间形成稳定的分布，即有干涉现象干涉现象。 1r2r1S2Spcos2212221AAAAA1121maxAAAA2121max2IIIIII)(2)(1212rr ,cos2212221AAAAA1cos当当时，时，干涉相长干涉相长1cos当当时，时，干涉相消干涉相消|21minAAAA2121min2IIIIII,.)3 ,2, 1 ,0( ,2kk即即)3 , 2 , 1 , 0( ,) 12(kk即即12当两相干波源为同相波

10、源当两相干波源为同相波源时，有：时，有：)(2)(1212rr 此时相干条件写为：此时相干条件写为：21,.3 , 2 , 1 , 0,21kkrr,.3 , 2 , 1 , 0,2) 12(21kkrr干涉相长干涉相长干涉相消干涉相消称 为波程差 初位相相同的两个相干波源，在两列波叠加的初位相相同的两个相干波源，在两列波叠加的区域内，当波程差为零或波长的整数倍时，合振动区域内，当波程差为零或波长的整数倍时，合振动的振幅最大，干涉相长；当波程差为半波长的奇数的振幅最大，干涉相长；当波程差为半波长的奇数倍时合振幅最小，干涉相消。倍时合振幅最小，干涉相消。干涉加强减弱条件：干涉加强减弱条件：k2)

11、12(k加强加强减弱减弱13例：两相干波源例：两相干波源 A、B 位置如图所示，频率位置如图所示，频率 =100Hz，波速波速 u =10 m/s， A A B B= = ，求：，求：P 点振动情况。点振动情况。解：解：um1 .0100105m1Ar22B2015 rABPm205m1Br2002ABABrr201P点干涉减弱。点干涉减弱。14例例2：两相干波源分别在两相干波源分别在 PQ 两点处，初相相同，两点处，初相相同，它们相距它们相距 3 / / 2，由，由 P、Q 发出频率为发出频率为 ，波长，波长为为的两列相干波，的两列相干波，R 为为 PQ 连线上的一点。连线上的一点。求：求：

12、自自P、Q 发出的两列波发出的两列波在在 R 处的相位差。处的相位差。两波两波源在源在 R 处干涉时的合振幅。处干涉时的合振幅。2/3PQR解：解：)(221rr2323为为 的奇数倍，的奇数倍，|21AA 合振幅最小，合振幅最小，151. .驻波的产生驻波的产生 有两列相干波，它们不仅频率相同、位相差恒有两列相干波，它们不仅频率相同、位相差恒定、振动方向相同，而且振幅也相等。当它们在同定、振动方向相同，而且振幅也相等。当它们在同一直线上沿相反方向传播时，在它们迭加的区域内一直线上沿相反方向传播时，在它们迭加的区域内就会形成一种特殊的波。这种波称为驻波。就会形成一种特殊的波。这种波称为驻波。

13、当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠加可产生驻波。加可产生驻波。驻波的特点：媒质中各质点都作稳定的振动。波形驻波的特点：媒质中各质点都作稳定的振动。波形并没有传播。并没有传播。162. .驻波的表达式驻波的表达式设有两列相干波，分别沿设有两列相干波，分别沿X X轴轴正、负方向传播，选初相位正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为：均为零的表达式为：)2cos(1xtAy)2cos(2xtAy)2cos()2cos(21xtAxtAyyy0tx0 x0t2yx0 x1y其合成波称为驻波其表达式：其合成波称为驻波其表达式：反射波反射波入射波入射波17tx

14、Acos2cos2简谐振动简谐振动简谐振动的振幅简谐振动的振幅 它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。同而不同。驻波方程：驻波方程：txAycos2cos2利用三角函数关系利用三角函数关系求出驻波的表达式：求出驻波的表达式：2cos2cos2coscos)2cos()2cos(21xtAxtAyyy181. .振幅项振幅项xA2cos2只与位置只与位置 有关，而与时间有关，而与时间 无关。无关。波节波节2. .振幅最大的点称为波腹，对应于振幅最大的点称为波腹，

15、对应于 即即1|2cos|xkx 2的各点；振幅值最大为的各点；振幅值最大为2A。波腹波腹波腹的位置为：波腹的位置为：,.3, 2, 1, 0,2kkx波节的位置为：波节的位置为：,.3, 2, 1, 0,4) 12 (kkx0|2cos|x振幅为零的点称为波节，振幅为零的点称为波节，对应于对应于 即即2) 12(2kx 的各点。的各点。txAycos2cos219相邻波腹间的距离为：相邻波腹间的距离为：相邻波节间的距离为：相邻波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为相邻波腹与波节间的距离为 4因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。4)12(41)1(21

16、kkxxkk222)1(1kkxxkk23. .驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是一种特殊的振动。一种特殊的振动。波节波节 波腹波腹 相邻的两个波节和波腹之间的距离都是相邻的两个波节和波腹之间的距离都是2结论：结论：203. .驻波的相位驻波的相位txAycos2cos2 时间部分提供的相位对于所有的时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，而是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。空间变化带来的相位是不同的。44x内，内，；02cos2xA在在434 x范围内，范围内，02cos2xA 在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大在波节两侧点

17、的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。或同时达到反向最小。速度方向相反。是波节，在范围是波节，在范围如如4x考查波节两边的振幅，考查波节两边的振幅， 两个波节之间的点其振动相位相同。两个波节之间的点其振动相位相同。 同时达到最同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。大或同时达到最小。速度方向相同。结论：结论：21txAycos2cos2txAVmVEk22222sin)2(cos221txAuVxyVYEp222222cos2sin)2(2)(214. .驻波的能量驻波的能量 由上式可知：各质点位移达到最大时由上式可知：各质点位移达到最大时,动能为零，势动能为零，

18、势能不为零。在波节处相对形变最大，势能最大；在波能不为零。在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。当腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在波腹。动能集中在波腹。 能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，能量不被传播。这可从能流密度证明：因为能流密度等能量不被传播。这可从能流密度证明：因为能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和

19、为零。所以为零。所以驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运动状态，稳定态动状态，稳定态。22例题例题 ： 位于位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都两点的两个波源，振幅相等，频率都是是100赫兹，相差为赫兹，相差为 ，其，其A、B 相距相距30米，波速为米，波速为400米米/秒，求秒，求: AB连线之间因相干涉而静止的各点的位置。连线之间因相干涉而静止的各点的位置。解：解：如图所示，取如图所示，取A点为坐标原点，点为坐标原点，A、B联线为联线为X轴轴，取，取A点的振动方程点的振动方程 :)cos(tAyA在在X轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方

20、程：)2cos(xtAyAB点的振动方程点的振动方程 :)0cos(tAyBBAXxm30 x30O在在X轴上轴上B点发出的行波方程：点发出的行波方程：)30(20cosxtAyB23相干相消的点需满足：相干相消的点需满足：kx 230sec/4mu因为因为：,.2, 1, 0215kkx可见在可见在A、B两点是波腹处。两点是波腹处。BAXxm30 x30因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：静止的点满足：) 12()30(22kxx)3 , 2 , 1(kmx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3 , 1244. .半波损失半波损失 入射波在反射时入射波在反射时反射波相位突变了反射波相位突变了，相当于波，相当于波程损失了半个波长的程损失了半个波长的现象称为现象称为半波损失半波损失。波节波节 波腹波腹 在绳与墙壁固定处，为波在绳与墙壁固定处，为波节位置。节位置。 这一现象说明，在反射端，入射波与反射波在这一现象说明，在反射端，入射波与反射波在该点各自引起的两个振动位相相反，两位相相差为该点各自引起的两个振动位相相反，两位相相差为 ，相当于波程相差相当于波程相差 /2。 反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波节反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波节还是波腹与这分界处两边的介质性质有关。还是