第二型线积分与面积分PPT课件

1、 若场不仅与位置有关，而且也与时间有关，则称其为非定常场，或时变场。分别记为u(M,t)或A(M,t). 如果场的物理量仅与点M的位置有关，不随时间变化，那么这种场称为定常场或稳定场。或向量场分别记为u(M)或A(M).视场是数量场本节我们仅讨论定常场。 我们知道，给定了一个场，在数学上也给定了一个函数。对于一个平面或空间的数量场2()( , ), ( , )uu Mu x yx yDR或3()( , , ), ( , , )uu Mu x y zx y zDR相应的二元函数或三元函数可以分别通过等值线或等值面来几何表示。第1页/共57页例7.1 高度场的等高线.例7.2 电位场的等值面. 设

2、有带电量为q的点电荷，则在空间形成一个电位场。若建立坐标系，并将此点电荷放在坐标原点，则电位场可以表示为04()qurr222.rxyz其其中中 是是介介电电系系数数，uC电电位位场场的的等等值值面面为为22224()qxyzRRC第2页/共57页 它它是是一一族族以以坐坐标标原原点点为为球球心心的的球球面面。因因此此，在在每每一一球球面面上上电电位位u u均均相相同同，而而且且半半径径R R越越大大，球球面面上上的的电电位位的的值值C C越越小小。 等值面是宏观了解数量场分布的一种方法。对数量场微观的研究主要是研究函数 u=u(M) 在各点沿各个方向变化的快慢程度，以及沿什么方向变化最大等，

3、即讨论它的方向导数和梯度。 无论是数量场还是向量场，我们都需要从宏观和微观两个方面去研究它们。 为了对向量场进行比较深入的研究，需要首先讨论第二型线积分和面积分。第3页/共57页二、二、 第二型线积分（对坐标的曲线积分）第二型线积分（对坐标的曲线积分）1.1.第二型线积分的概念第二型线积分的概念首先我们看一个具体的例子首先我们看一个具体的例子引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, ABLxy求质点移动过程中变力所作的功W.),(, ),(),(yxQyxPyxF第4页/共57页cosWF AB “

4、大化小” “常代变”“近似和” “取极限”常力沿直线所作的功解决办法:ABF ABF现在是 变力,( , )F x y1) “大化大化小小”.把L分成 n 个小弧段,所做的功为,kWF 沿kkMM1nkkWW1则第5页/共57页1kMkMABxy2) “常代变常代变”L有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk则有kkkkyQxP),(),(kkkkkkMMFW1),(k),(kkF用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykx3) “近似和近似和”4) “取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(其中 为 n 个小

5、弧段的 最大长度)第6页/共57页定义定义. ()LA MAB设设 是是向向量量场场所所在在区区域域中中的的以以 为为起起点点为为终终点点的的一一条条有有向向光光滑滑曲曲线线。 12110,(1,2, ;,).niinLMMMLnMMin MA MB用用 上上的的点点把把 分分成成 个个有有向向小小弧弧段段 10() nkkkkA PMM1,iikMMP在在每每一一有有向向小小弧弧段段上上任任取取一一点点作作点点积积 10(),(1,2, ;,)kkknA PMMin MA MB 将将各各小小弧弧段段所所对对应应的的点点积积相相加加得得和和式式第7页/共57页()A ML总总存存在在，则则称称

6、此此极极限限为为向向量量值值函函数数沿沿有有向向曲曲线线 的的第第二二型型积积分分，简简称称第第二二型型线线积积分分。记记为为 1kkkLPMM如如果果无无论论 被被怎怎样样划划分分，点点在在上上被被怎怎样样选选取取，极极限限 100lim()nkkkkA PMM 100()lim().nkkkLkA MdsA PMM 此此时时称称向向量量值值函函数数A(M)A(M)在在L L上上可可积积。 为为各各小小弧弧段段长长度度的的最最大大值值. . 第8页/共57页100()lim().nkkkLkA MdsA PMM 第二型线积分的向量形式为在直角坐标系下可以表示成坐标形式。L设设 为为空空间间曲

7、曲线线，在在直直角角坐坐标标系系下下，()( ( , , ),( , , ),( , , )A MP x y z Q x y zR x y z 1kkMM把把各各小小段段的的弦弦向向量量写写成成分分量量形形式式： 1,kkkkkMMxyz（）, , 1, ,kkkkkxyzMMx y z其其中中分分别别表表示示在在三三个个坐坐标标轴轴上上的的投投影影。 第9页/共57页( , , )( , , )( , , ),LP x y z dxQ x y z dyR x y z dz ,kkkkkPP将将点点 的的坐坐标标记记为为 （）, ,于于是是 100()lim()nkkkLkA MdsA PMM

8、 00lim,nkkkkkkkkkkPQyRkkkkkk（） x x（）（） z z 这这个个极极限限相相应应地地记记为为这这就就是是第第二二型型线线积积分分的的。因因此此，第第二二型型线线积积分分也也称称为为对对坐坐标标的的线线坐坐标标形形式式积积分分。即即( , , )( , , )( , , ),LP x y z dxQ x y z dyR x y z dz ()LA Mds P(x,y P(x,y，z),Q(x,y,z),R(x,y,z)z),Q(x,y,z),R(x,y,z)都都叫叫做做被被积积函函数数，L L叫叫做做积积分分曲曲线线弧弧。第10页/共57页.LLLP(x, y,z)

9、dxQ(x, y,z)dyR(x, y,z)dz特特别别地地，()( ( , , ),0,0)A MP x y z(1)(1)若若，则则 ().LLA MdsP(x, y,z)dx ()(0,( , , ),0)A MQ x y z(2)(2)若若，则则 ().LLA MdsQ(x, y,z)dy ()(0,0,( , , )A MR x y z(3)(3)若若，则则 ().LLA MdsR(x, y,z)dz 因因此此，LP(x, y,z)dxQ(x, y,z)dyR(x, y,z)dz 第11页/共57页()( ( , ),( , )LxoyA MP x y Q x y(4)(4)若若 为

10、为平平面面上上的的光光滑滑曲曲线线，则则 ()( , ).LLA MdsP(x, y)dxQ x y dy()A MdsABBALk-1kk-1k 第第二二型型线线积积分分中中，积积分分微微元元是是两两向向量量的的点点积积，。沿沿的的积积分分与与沿沿的的积积分分路路径径 具具有有方方向向性性，由由于于其其中中分分点点的的顺顺序序刚刚好好相相反反，向向量量MMMM 反反向向，从从而而积积分分的的值值反反号号。第第二二型型线线积积分分与与第第一一型型线线积积分分的的主主要要差差别别在在于于：f(M)ds第第一一型型线线积积分分中中，积积分分微微元元是是两两数数量量的的乘乘积积积积分分路路径径没没有

11、有方方向向性性，dsds是是弧弧微微分分，它它，始始终终为为正正。第12页/共57页2. 第二型线积分的性质第二型线积分的性质12122( ) (),( , )( , )( , ). LLLLLLA x y dsA x y dsA x y ds积积分分路路径径可可加加性性如如果果把把 分分成成和和则则3( ),LLL设设 是是有有向向曲曲线线弧弧是是与与 方方向向相相反反的的有有向向曲曲线线弧弧 则则即对坐标的曲线积分与积分弧段的方向有关.12121 ( ), ), ), ), ). LLLA x yA x y dsA x y dsA x y ds线线性性性性设设 ， 为为常常数数，则则 （

12、( , )( , ) LLA x y dsA x y ds因此关于对坐标的曲线积分，我们必须注意积分弧段的方向。第13页/共57页 沿沿闭闭曲曲线线C C行行走走使使C C所所围围的的区区域域始始终终在在人人的的左左侧侧，反反之之为为负负向向。12 4( )CCC1212如如果果由由闭闭合合曲曲线线 所所围围成成的的平平面面区区域域D D被被划划分分成成两两个个无无公公共共内内点点的的区区域域D D 和和D D ，它它们们的的边边界界分分别别记记为为和和，则则12( , )( , )( , ).CCCA x y dsA x y dsA x y ds 12CCC其其中中 ，或或者者都都取取正正向

13、向，或或者者都都取取负负向向。闭闭曲曲线线C C的的正正向向如如下下确确定定：第14页/共57页3.对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法( )( ),.( )xx tyy ttzz t从从 到到 光滑曲线L的参数方程是Lt=t= 对对应应于于曲曲线线L L的的起起点点，t=t= 对对应应于于曲曲线线 的的终终点点。又又设设向向量量值值函函数数( , , )( ( , , ),( , , ),( , , )A x y zP x y z Q x y zR x y zL在在曲曲线线 上上连连续续，则则通通过过和和式式极极限限，用用与与推推导导第第一一型型积积分分类类似似的的方方法法，可可

14、以以证证明明( , , )LA x y z ds 必必存存在在，且且有有第15页/共57页( , , )( ( ), ( ), ( ) ( ).LR x y z dzR x ty tz tz t dt( , , )LA x y z ds ( ( , , ),( , , ),( , , ) (,)LP x y z Q x y zR x y zdx dy dz( , , )( , , )( , , ),LP x y z dxQ x y z dyR x y z dz其其中中( , , )( ( ), ( ), ( )( ),LP x y z dxP x ty tz tx t dt( , , )( (

15、 ), ( ), ( )( ),LQ x y z dyQ x ty tz ty t dt第16页/共57页322. 3,(3,2,1)(0,0,0).1计算其中 是从点到点例的直线段x dxzy dy x ydzABAB第17页/共57页220,(,),( ),( ),( )( ),(,)(,),LtM x yLALBttttP x y dxQ x y dy当当参参数数 单单调调地地由由变变到到时时 点点从从 的的起起点点沿沿运运动动到到终终点点在在以以及及为为端端点点的的闭闭区区间间上上具具有有一一阶阶连连续续导导数数 且且则则曲曲线线积积分分存存在在 且且( , ),( , ),P x y

16、 Q x yLL设设在在曲曲线线弧弧 上上有有定定义义且且连连续续的的参参数数方方程程为为( ),( ),xtyt ( ),( ) ( ) ( ),( )( )PtttQtttdt ( , )( , )LP x y dxQ x y dyLL积分下限 对应 的起点，上限 对应 的终点。第18页/共57页特殊情形.)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则(2):( ).从从 到到L xx yycd .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则(1):( ).L yy xxab从 到的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到例例2. 计算,dLxyx其

17、中L 为沿抛物线xy 2从点第19页/共57页例例3. 计计算算其中 L 为,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则第20页/共57页yxo例例4. 计算计算,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;1

18、0:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2xy2yx10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11第21页/共57页 例4的结果显示，对于某些第二型线积分，其积分值取决于起点和终点，与路径无关，这是一个重要而有趣的性质。什么样的第二型积分具有这样的性质呢？我们将在后面下一节讨论。2222 M(x,y)F1(0, ),xyabBbF设一个质点在处受到力 的作用，F的大小与M到原点

19、O的距离成正比，F的方向恒指向原点.此质点由点A(a,0)沿椭圆按逆时针方向到求 力 所 例5作的功。第22页/共57页4.两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系上上式式表表达达了了两两类类曲曲线线积积分分之之间间的的联联系系。我我们们知知道道，第第二二型型线线积积分分中中的的微微元元向向量量ds = (dx,dy,dz) LM就就是是有有向向曲曲线线 在在点点处处的的切切向向量量，且且222| ds |()()()dxdydzds dsds,ee ds 若若用用 表表示示 的的单单位位向向量量，则则于于是是()( ()LLA M dsA M e ds 第23页/共57页 ( , ),

20、,Lx y z若若有有向向曲曲线线 上上点点M M处处切切线线向向量量的的方方向向角角为为的的(coscoscos )PdxQdyRdzPQRds即即A ds A e ds 则,AP Q R记记（），cos,cos,cos,e （） 由上式看到，可把有方向的第二型线积分化为无方向的第一型线积分。第24页/共57页( ),( )xtLyt设设有有向向平平面面光光滑滑曲曲线线弧弧为为 ：,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(则则其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt 12,( , ),tttM x

21、yLALB单单调调地地由由 变变到到 时时 点点从从 的的起起点点 沿沿 运运动动到到终终点点ABLxyMT特别第25页/共57页cos,cos, cos, ,x y z 由于切线的方向余弦都是的函数。一般情况下，它们的形式比较复杂。所以除了一些特殊情况外，第二型线积分不必化为第一型线积分。注意：第26页/共57页二者夹角为 例例6. 设设,max22QPM曲线段 L 的长度为s, 证明),(, ),(yxQyxP续,sMyQxPLdd证证:LyQxPddsQPLdcoscos设sMsQPLdcoscos说明说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 )cos,(cos, ),(t

22、QPAstALdsALdcos第27页/共57页三、第二型面积分三、第二型面积分1. 有向曲面及曲面元素的投影有向曲面及曲面元素的投影 曲面的分类曲面的分类:（1 1）双侧曲面; ;曲面分内侧和外侧曲面分上侧和下侧曲面分左侧和右侧 双侧曲面的特征：规定了此曲面在一点P处法向量的指向后，当点在曲面上连续移动而不越过其边界再回到原来位置时，法向量的指向不变。第28页/共57页莫比乌斯带莫比乌斯带典型的单侧曲面典型的单侧曲面 （2 2）单侧曲面. . 单侧曲面的特征：规定了此曲面在一点P处法向量的指向后，当点在曲面上连续移动而不越过其边界再回到原来位置时，法向量的指向改变。 对于双侧曲面，我们把确定

23、了法向量指向的曲面称为有向曲面。第29页/共57页其方向用其方向用法向量指向表示法向量指向表示:方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定其曲面元在 xoy 面上的投影记为(),x y yxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定类似可规定() ,()yzzxSS指定了侧的曲面叫有向曲面,第30页/共57页引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面求单位时间流过有向曲面 的流量的流量 . S分析分析: 若若 是面积为是面积为S 的平面

24、闭区域的平面闭区域, 则流量则流量 法向量: 流速为常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS v nSnv , v n 记记则单位时间内流过闭区域的流体组成一个底面积S，斜高为|v|的斜柱体，流量即为斜柱体的体积.2、第二型面积分的概念、第二型面积分的概念第31页/共57页 对一般的对一般的有向曲面有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(i

25、S稳定流动的不可压缩流体的速度),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设, 则 第32页/共57页7 2 . 定定义义 （第第二二型型面面积积分分） 设设在在向向量量场场A(M)A(M)的的场场域域中中有有一一可可求求面面积积的的有有向向曲曲面面S,S,指指定定它它的的一一侧侧。12,.,.,nkkSSSMS 把把曲曲面面S S任任意意划划分分成成n n小小片片：任任取取一一点点作作点点积积1 2()(),(, ,., .)kkkA Mn MSkn()kkkkn MMSS其其中中是是曲曲面面在在点点处处指指向向给给定定侧

26、侧的的，表表示示小小曲曲面面单单位位法法向向量量的的面面积积。作作和和式式()()kkkA Mn MSn nk=1k=1第33页/共57页0lim()().kkkdSSA(M) ndSA(M) dSA Mn MSn nk=1k=10kkkSMSSdA(M)S如如果果无无论论曲曲面面 怎怎样样划划分分, ,点点在在上上如如何何选选取取，当当各各小小曲曲面面的的直直径径的的最最大大值值时时上上述述和和式式都都趋趋于于同同一一常常数数，则则称称此此极极限限为为向向量量场场沿沿有有向向曲曲面面 的的第第二二型型面面积积分分，记记为为0lim()().kkkdSA(M) ndSA Mn MSn nk=1

27、k=1如如果果记记,ndSdSdS曲曲面面面面积积微微元元向向称称为为量量，于于是是第34页/共57页在在直直角角坐坐标标系系下下，设设(M) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)()(cos,cos,cos )(,)kkkkAn MM 则则有有01(M)(M)lim(M )()nkkdkSSAndSAdSAn MS第35页/共57页|.dS =|dS |其其中中01 lim (,)cos(,)cos(,)cos ( , , )cos( , , )cos( , , )cos ( , , )cos( , , )cos( , , )cos nkkkkkkkkdkkkkkSSP

28、SQSRSP x y zdS Q x y zdSR x y zdSP x y zQ x y zR x y zdS第36页/共57页cos,cos,cos,dSdSdSdSyoz zox xoy由由于于分分别别是是曲曲面面微微元元向向量量在在坐坐标标平平面面的的的的投投影影，把把它它们们分分别别记记做做dS （dydz,dzdx,dxdydydz,dzdx,dxdy）或或,dScosa = dydz,dScos= dzdx,dScos = dxdy注意：有的书也把dxdy写成dxdy.但应注意它不同于直角坐标系下二重积分的面积微元。这里的dxdy包含符号（取决于曲面法线的侧）.第37页/共57页

29、 上式右端是第二型面积分的上式右端是第二型面积分的坐标坐标表示表示,因此第因此第二型面积分也称为对坐标的面积分二型面积分也称为对坐标的面积分。因因此此( , , )( , , )( , , ).DP x y z dy dz Q x y z dz dx Q x y z dx dy(M)SAdS ( , , )cos( , , )cos( , , )cos .DP x y zQ x y zQ x y zdS上式是三个积分的组合，他们也可以单独出现。上式是三个积分的组合，他们也可以单独出现。第38页/共57页存在条件存在条件:当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面

30、上上连连续续时时, ,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在. .第39页/共57页物理意义物理意义:()( , , )( , , )( , , ) A MdSP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy在单位时间内流向指定侧的流体的体积. .3.性质性质:12121. ()()() A MdSA MdSA MdS性质其中等式两端的积分曲面同侧。其中等式两端的积分曲面同侧。2. ()(). A MdSA MdS性质若改变积分曲面的侧，则积分的值反号，即第40页/共57页关于对坐标的曲面积分，必须注意积分曲面所取的侧.121212123. ()()().,.A Md

31、SA MdSA MdS 性质若有向曲面 所围空间区域 被另一位于 内部的曲面分成了两个内部不相交的区域和，其边界曲面分别是和，则这里 和都取相同的侧第41页/共57页 ),(yxfz xyDxyzoxys)( 4、对坐标的曲面积分的计算法、对坐标的曲面积分的计算法( , , ) , , ( , )xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy则则 ,函数),(yxzz 在xyD一阶连续偏导数,被积函数),(zyxR在上连续. 上具有n在xoy面上的投影区域为xyDcos0, s ()()xyxys 第42页/共57页 若,),( , ),(:zyDzyzyxx则有( , , )

32、ddP x y zyz), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy则有( , , )ddQ x y zzx) z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负前正后负)(右正左负右正左负)说明说明: 如果积分曲面 取下侧, 则( , , )ddR x y zxy) ,(yxDyxR),(yxzyxdd第43页/共57页计算时应注意以下两点计算时应注意以下两点曲面的侧“一投, ,二代, ,三定号”( , , ) , , ( , )xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy一投二代三定号222( , , )|0,0,0. x dydz

33、y dzdxz dxdyx y zxaybzc计算曲面积分 ，其中 是长方体 的整个表面的外侧，例Oabc第44页/共57页例例 2 2 计算计算xyzdxdy 其中是球面其中是球面1222 zyx外侧外侧 在在0, 0 yx的部分的部分. . 解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 21xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 第45页/共57页例3 1: x=0 2: y=0 3: z=0 4

34、: x+y+z=1解:dxdy (1)xdydz ydxdz 31)1(2)1( xzDdxdzzxydxdzdydzxdxdy0 xyxyDDdxdydxdy (2)(1)yzyzyzDDDdydzyz dydzyz dydz (1)xzDxz dxdz 34dxdydxdy 14(1)(1)xdydzxdydz24ydxdzydxdz 第46页/共57页5、两类曲面积分的联系、两类曲面积分的联系两类曲面积分之间的联系：dSRQPdxdyRQdzdxPdydzI)coscoscos( cos ,cos,cos( , , ).x y z是有向曲面 上点处法向量的方向余弦01(M)(M)lim(M )()nkkdkSSAndSAdSAn MS第47页/共57页coscos(coscoscos )coscosIPQRdS 利用两类曲面积分之间的关系可简化曲面积分计算cos0 如时cosco