上海八年级下平面向量知识点总结

1、平面向量重难点突破1. 向量加法的运算及其几何意义。2. 对向量加法定义的理解。3. 向量的减法运算及其几何意义。4. 对向量减法定义的理解。5. 实数与向量积的意义。6. 实数与向量积的运算律。7. 两个向量共线的等价条件及其运用。8. 对向量共线的等价条件的理解运用。每课一记一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行：(1) 寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；(2) 用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。二、1.向量的加法定义向量加法的定义：如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作AB =a，BC =b，则向量AC叫做a与b的和，记

2、作a+b，即a+b=AB + BC = AC。求两个向量和的运算，叫做向量的加法2. 向量加法的法则:(1) 向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。零位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。(2) 平行四边形法则向量加法的平行四边形法则如图4,以同一点0为起点的两个已知向量 a b为邻边作平行四边形，则以 0为起点的对角线0C就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量 加法的平行四边形法则。3

3、. 向量a，b的加法也满足交换律和结合律： 对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a 两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相 加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。 当a，b不共线时，|a+b| v|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)；当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|;当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|( 或|b|-|a|)。其中当向量a的长度 大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|。一般地，我们有 |a+b| < |a

4、|+|b|。 如图 5,作 AB =a，AD =b，以 AB.AD为邻边作二ABCD 则 BC =b，DC =a。因为 AC =AB +AD =a+b, AC =AD + DC =b+a,所以 a+b=b+a如图 6,因为 AD =AC+CD =( AB + BC)+CD=+b)+c ,AD = AB + BD = AB +( BC +CD )=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得 新知识的过程与方法。三、用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算

5、， 最后回扣物理冋题，解决冋题。四、向量也有减法运算。由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。'于是:-(-a)=a。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=O 。所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b， b=-a， a+b=O。1. 平行四边形法则a/ :图1如图1，设向量AB =b，AC =a，则AD =-b，由向量减法的定义，知AE =a+(-b)=a-b 又 b+BC =a，所以 BC =a-b。由此，我们得到a-b的作图方法。图22. 三角形法则 如图2,已知a、b,在平面内任取一点0,

6、作0A=a, OB =b,则BA =a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。(1) 定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。与数x的相反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，叫做 a 的相反向量，记作-a。(2) 向量减法的定义。我们定义 a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。规定：零向量的相反向量是零向量。(3) 向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的 几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。五、我们规定实数 入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记 作入a，它的长度与方

7、向规定如下：(1) 1 入 a|=| 入 |a| ; 当入0时，入a的方向与a的方向相同；当入V 0时，入a的方向与a的方 向相反。由(1)可知，入=0时，入a=0。根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。实数与向量的积的运算律设入、卩为实数，那么(1) 入(卩a)=(入卩)a;(2) (入 + )a=入 a+ 卩 a;(3) 入(a+b)=入 a+ 入 b.特别地，我们有(-入)a=-(入a)=入(-a)，入(a - b)=入a -入b。向量共线的等价条件是：如果a(a工0)与b共线，那么有且只有一个实数 入，使 b=X a。共线向量可能有以下几种情况：(1) 有一个为零向量；(

8、2) 两个都为零向量；(3) 同向且模相等；(4) 同向且模不等；反向且模相等；(6)反向且模不等。数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大 小由|入| |a|确定。它的几何意义是把向量 a沿a的方向或a的反方向放大或 缩小。向量的平行与直线的平行是不同的， 直线的平行是指两条直线在同一平面 内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况， 又包含两个向量在同一条 直线上的情形。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量a、b,以及任意实数 入、i、 2，恒有 入(ia± 2b)=入ia土入2 bo经典例题例1化简：(1) BC +AB(2

9、) DB+CD +BC(3) AB+DF +CD +BC +FA解：(1) BC +AB =AB +BC =AC(2) DB +CD+BC =BC+CD+DB =( BC+CD )+ DB=BD + DB=0(3) AB + DF +CD +BC + FA=AB +BC +CD +DF + FA=AC +CD +DF +FA =AD +DF +FA =AF +FA =0解析：要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量。例 2 若 AC =a+b, DB =a-b 当a.b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？ 当a.b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|? 当a.b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？ a+b与a-b可能是相等向量吗?解析：如图6,用向量构建平行四边形，其中向量 AC、DB恰为平行四边形的 对角线。由平行四边形法则，得AC =a+b, DB = AB - AD =a-b。由此问题就可转换为： 当边AB AD满足什么条件时，对角线互相垂直？（|a|=|b|） 当边AB AD满足什么条件时，对角