第三章刚体的定轴转动PPT课件

1、3-0 3-0 第三章教学基本要求第三章教学基本要求3-1 3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律刚体定轴转动的动能定理和转动定律3-2 3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律第1页/共36页一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念. .二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概 念念 (72(72学时不要求用学时不要求用积分计算转动惯量积分计算转动惯量) .) .三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功

2、能转换关系三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转换关系. .四、理解刚体定轴转动定律四、理解刚体定轴转动定律. .五、理解角动量的概念五、理解角动量的概念, , 理解刚体定轴转动的角动量守恒定律理解刚体定轴转动的角动量守恒定律. .七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转动的运动学公式计算、刚体定轴转动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题质点刚体系统的简单动力学问题. .六、会计算力矩的功六、会计算力矩的功 (72(72学时只限于恒定力矩的功学时只限于恒定力矩的功) ) 、定轴转动刚体的转动动能和对、定轴转动刚体的

3、转动动能和对轴的角动量轴的角动量. . 八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. . 明确选择分析解决质明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序. . 第2页/共36页预习要点预习要点1. 注意描述刚体定轴转动的运动学方法注意描述刚体定轴转动的运动学方法.2. 阅读附录阅读附录1中矢量乘法中矢量乘法. 力对转轴的力矩如何计算力对转轴的力矩如何计算?3. 领会刚体定轴转动的动能定理的意义领会刚体定轴转动的动能定理的意义. 注意区分平注意区分平动动能和转动动能的计算式动动能和

4、转动动能的计算式. 注意力矩的功的计算注意力矩的功的计算方法方法.4. 转动惯量的定义是什么转动惯量的定义是什么? 转动惯量与哪些因素有关转动惯量与哪些因素有关?5. 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意注意它的应用方法它的应用方法.第3页/共36页 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）.刚体的运动形式：平动、转动 . 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同. 转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动. 转动分定轴转动和非定轴转动. 转轴不动, 刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；垂直于转轴的

5、平面叫转动平面.第4页/共36页)()(ttt角位移)(t 角坐标tttddlim0角速度角加速度tddxz)(tO 定轴(Oz轴)条件下，由Oz轴正向俯视，逆时针转向的 取正，顺时针取负.、第5页/共36页Pz*OFdFrMsinMFrd( :力臂)d 刚体绕Oz轴旋转, O为轴与转动平面的交点，力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的位矢. Fr 对转轴z的力矩 F1. 力矩 M第6页/共36页drcosdcosddFsFrFW21dMW力矩的功2. 力矩作功 orvFxvFOxrtFrdddsind FrM第7页/共36页1. 1. 转动动能2ivim

6、21刚体内部质量为 的质量元的速度为 imirivniiirm122)(212222211k212121nnmmmEvvvniim1212iv动能为刚体定轴转动的总能量（转动动能）ni2ii )(rm121第8页/共36页niiirmJ12定义转动惯量niiirm12相当于描写转动惯性的物理量. .2. 2. 转动惯量单位：kg m2（千克 米2）.2k21JE刚体定轴转动动能计算式： 对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴的距离为r，则转动惯量mrJd2与平动动能2k21vmEniiirmE122k)(21比较转动动能第9页/共36页lrrJ02d32/02121d2lrrJl231m

7、l 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元 rr,mddrrmrJddd22 求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心和过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量.lOOrdrrd2l2lOO2121ml如转轴过端点垂直于棒 刚体的转动惯量与刚体的质量m、刚体的质量分布和转轴的位置有关.3. 3. 转动惯量的计算举例第10页/共36页求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘对通过直径的转轴的转动惯量。解：d2dRRmm mrJd2202d2)sin(RRmR221mR(1) 圆环：dsin22022mR dm第11页/共36页241mRo dm(2) 圆盘：d2d

8、2Rmm mJJd21d2RRm022d221 可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。第12页/共36页4. 4. 部分均匀刚体的转动惯量 薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直221mrJ2r球体转轴沿直径522mrJ第13页/共36页l 细棒转轴通过中心与棒垂直122mlJl 细棒转轴通过端点与棒垂直32mlJ第14页/共36页 刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的变化只有定轴转动动能的变化.由质点组动能定理0kkinexEEWW, 0inW0dexMW20k02k21,21JEJE第15页/共36页 合

9、外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量.得刚体定轴转动的动能定理2022121d0JJMW注意: 2. 刚体的定轴转动的动能应用 计算.2k21JE1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系.第16页/共36页21222121d21JJMW由动能定理：取微分形式：d)21(dd2JJM两边除dtdtdddJtM由于ttdd,dd故得JtJMdd 刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积. .第17页/共36页 如果在一个物体系中，有的物体

10、作平动，有的物体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法. . 但应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动. . 把平动物体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方程. . 有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公式补充方程，然后对这些方程综合求解. .第18页/共36页例: :一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对滑动. .求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张力. .受力图如下，T1Fgm1T1Fa12mm设设T2Fgm2aT2For

11、mm1m2JRFRFT1T2amFgm2T22amgmF11T1ra 解: :第19页/共36页得解得解,21)(2112mmmgmmarmmmgmm)21()(2112,21)212(21211mmmgmmmFTmmmgmmmFT21)212(21122221MrJ 第20页/共36页 1）系统对轴的转动惯量J是杆的转动惯量J1与小球的转动惯量J2之和.o例: 一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以不计的小球，另一端可绕水平转轴转动. 某瞬时细杆在竖直面内绕轴转动的角速度为 ，杆与竖直轴的夹角为 . 设杆的质量为 、杆长为 l，小球的质量为 .1m2m求： 1）系统对轴的转动惯量； 2

12、）在图示位置系统的转动动能； 3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩.gm1gm2解:l21JJJ22231lmml2231lmm)(第21页/共36页2）系统的转动动能为：2k21JE22213121lmm)(3）系统所受重力有杆的中立和小球的重力.则系统所受重力对轴的力矩的大小为：21MMMgmlgmsinsin212glmmsin)(2121ogm1l第22页/共36页预习要点预习要点1. 认识质点对定点的动量矩的定义，认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动刚体对转轴的动量矩如何计算量矩如何计算?2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学

13、表达式是怎样的怎样的?3. 动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?第23页/共36页1. 质点的vvmrprL0vr0L0Lrxyzom 质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原点的角动量mrvrmLsin0v大小 的方向符合右手法则.0L单位 或12smkgsJ第24页/共36页 质点对定点O的动量矩 在某坐标轴Oz上的投影 称为该质点对轴Oz的动量矩. 质点作圆运动时，其对过圆心O且运动平面垂直的轴Oz的动量矩： 0LzL000z0cosLLL或00zcosLLLmrrmL20sin又rmv故得mrL2z

14、（取正号LZ与Oz同向，负号反向）第25页/共36页2、刚体的动量矩iiiivmRL因iiRv，所以 的大小为iLiiiivRmL质元 对O 点的动量矩为：im刚体关于O 的动量矩：)(iiiiiivmRLL第26页/共36页JLz对于定轴转动， 对沿定轴的分量 为：zLL2coscosiiiiiiiiizrmvrmvRmLL称刚体绕定轴转动的动量矩。刚体转动惯量：2iirmJ刚体绕定轴的动量矩：第27页/共36页L为正，其方向沿Oz正向，反之沿Oz负向.对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和.第28页/共36页刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.121221dLLJJtMtt将

15、上式变形后积分动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的增量.tJMdd由刚体定轴转动定律tLtJMddd)(dLJtMd)(dd21dtttM表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累, 称为冲量矩.第29页/共36页动量矩守恒定律: : 当刚体转动系统受到的合外力矩为零时，系统的动量矩守恒. .若 ，0 M花样滑冰跳水运动员跳水注意注意1. 1. 对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量矩始终保持不变. .2. 2. 动量矩守恒定律与动量守恒定律一样, ,也是自然界的一条普遍规律. .则JL常量. .第30页/共36页moLL0Jmlml

16、vv0（1 1）0v解： 杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行，对轴无力矩；桌面及轴皆光滑，无摩擦力矩；轴对杆的反作用力过轴也无力矩. .因此，球与杆在碰撞过程中，所受外力矩为零，在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒. .即：例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m、长为2l、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆. .有一质量为m的小球以与杆垂直的速度 与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度 及杆的转动角速度.0vv第31页/共36页弹性碰撞动能守恒222212121Jmmvv0（2 2）lmlmJ2231)2(121其中mo0v联立(1)、(2)式求解mmm-m3)3(0vvlmmm)3(60v第32页/共36页例 匀质细棒：l 、m，可绕通过端点O的水平轴转动。棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与放在地面的物体m相撞。该物体与地面的摩擦系数为 ，撞后物体沿地面滑行一距离 s 而停止。求撞后棒的质心C 离地面的最大高度 h ，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。分三个阶段进行分析。解：第一阶段：棒自由摆落的过程，机械能守恒。2223121212ml